Страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

268. Функция задана формулой $y = 0,1x + 5$. Для значения аргумента, равного 10; 50; 120, найдите соответствующее значение функции.

Для нахождения соответствующего значения функции $y$ для каждого заданного значения аргумента $x$, необходимо подставить значение $x$ в формулу функции $y = 0.1x + 5$ и выполнить вычисления.

Для значения аргумента, равного 10:

Подставим $x = 10$ в заданную формулу:

$y = 0.1 \cdot 10 + 5$

$y = 1 + 5$

$y = 6$

Таким образом, при $x = 10$, значение функции равно 6.

Ответ: 6

Для значения аргумента, равного 50:

Подставим $x = 50$ в заданную формулу:

$y = 0.1 \cdot 50 + 5$

$y = 5 + 5$

$y = 10$

Таким образом, при $x = 50$, значение функции равно 10.

Ответ: 10

Для значения аргумента, равного 120:

Подставим $x = 120$ в заданную формулу:

$y = 0.1 \cdot 120 + 5$

$y = 12 + 5$

$y = 17$

Таким образом, при $x = 120$, значение функции равно 17.

Ответ: 17

272. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) $y = x^2 + 8$;

б) $y = \frac{1}{x - 7}$;

в) $y = \frac{2}{3 + x}$;

г) $y = \frac{4x - 1}{5}$.

а) Функция $y = x^2 + 8$ является многочленом (квадратичной функцией). Выражение $x^2 + 8$ имеет смысл при любых действительных значениях переменной $x$, поскольку операции возведения в степень и сложения выполнимы для всех действительных чисел. Ограничений на область определения нет.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = \frac{1}{x-7}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции состоит из всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем недопустимое значение $x$, решив уравнение $x - 7 = 0$. Отсюда $x = 7$. Таким образом, область определения — все действительные числа, кроме 7.

Ответ: $(-\infty; 7) \cup (7; +\infty)$.

в) Функция $y = \frac{2}{3+x}$ является дробно-рациональной. Ее область определения — это все действительные числа, за исключением тех, которые обращают знаменатель в ноль. Решим уравнение $3 + x = 0$, чтобы найти такое значение. Получаем $x = -3$. Следовательно, область определения — все действительные числа, кроме -3.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

г) Функция $y = \frac{4x-1}{5}$ является линейной функцией, так как ее можно записать в виде $y = \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$. Знаменатель в исходной формуле — константа 5, которая не равна нулю. Поэтому никаких ограничений на значения переменной $x$ не накладывается. Функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

276. Задайте формулой зависимость массы куска пробки от его объёма, если известно, что плотность пробки равна $0,18 \text{ г}/\text{см}^3$.

Найдите по формуле:

а) массу куска пробки, объём которого равен $240 \text{ см}^3$;

б) объём куска пробки, масса которого равна 64,8 г.

Зависимость массы ($m$) от объёма ($V$) и плотности ($\rho$) определяется по формуле $m = \rho \cdot V$.

По условию задачи плотность пробки составляет $\rho = 0,18$ г/см³. Подставив это значение в формулу, получим формулу зависимости массы куска пробки от его объёма:

$m = 0,18 \cdot V$

Теперь найдём требуемые величины по этой формуле.

а) Найдём массу куска пробки, объём которого равен $V = 240$ см³.

Для этого подставим значение объёма в нашу формулу:

$m = 0,18 \cdot 240 = 43,2$ (г)

Ответ: 43,2 г.

б) Найдём объём куска пробки, масса которого равна $m = 64,8$ г.

Сначала выразим объём $V$ из формулы зависимости: $V = \frac{m}{0,18}$.

Теперь подставим известное значение массы:

$V = \frac{64,8}{0,18} = \frac{6480}{18} = 360$ (см³)

Ответ: 360 см³.

269. Функция задана формулой $y = \frac{12}{x}$. В таблице указаны некоторые значения аргумента. Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции:

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения аргумента $x$ вычислить соответствующее значение функции $y$, подставив его в формулу $y = \frac{12}{x}$.

При x = -6

Подставляем данное значение $x$ в формулу функции:

$y = \frac{12}{-6} = -2$

Ответ: -2

При x = -4

Подставляем данное значение $x$ в формулу функции:

$y = \frac{12}{-4} = -3$

Ответ: -3

При x = -3

Подставляем данное значение $x$ в формулу функции:

$y = \frac{12}{-3} = -4$

Ответ: -4

При x = 2

Подставляем данное значение $x$ в формулу функции:

$y = \frac{12}{2} = 6$

Ответ: 6

При x = 5

Подставляем данное значение $x$ в формулу функции:

$y = \frac{12}{5} = 2,4$

Ответ: 2,4

При x = 6

Подставляем данное значение $x$ в формулу функции:

$y = \frac{12}{6} = 2$

Ответ: 2

При x = 12

Подставляем данное значение $x$ в формулу функции:

$y = \frac{12}{12} = 1$

Ответ: 1

В результате получаем заполненную таблицу:

273. Формула $y = -5x + 6$ задаёт некоторую функцию. При каком значении аргумента значение функции равно 6? 8? 100?

Чтобы найти значение аргумента ($x$), при котором функция принимает заданное значение ($y$), необходимо подставить это значение в формулу $y = -5x + 6$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

Значение функции равно 6

Подставляем $y=6$ в формулу функции:

$6 = -5x + 6$

Переносим слагаемое с $x$ в левую часть, а числовое значение в правую:

$5x = 6 - 6$

$5x = 0$

Находим $x$:

$x = \frac{0}{5}$

$x = 0$

Ответ: $0$.

Значение функции равно 8

Подставляем $y=8$ в формулу функции:

$8 = -5x + 6$

Переносим слагаемые:

$5x = 6 - 8$

$5x = -2$

Находим $x$:

$x = \frac{-2}{5}$

$x = -0.4$

Ответ: $-0.4$.

Значение функции равно 100

Подставляем $y=100$ в формулу функции:

$100 = -5x + 6$

Переносим слагаемые:

$5x = 6 - 100$

$5x = -94$

Находим $x$:

$x = \frac{-94}{5}$

$x = -18.8$

Ответ: $-18.8$.

270. Функция задана формулой $y = x^2 - 9$. Заполните таблицу:

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения x вычислить соответствующее значение y, подставив значение x в формулу функции $y = x^2 - 9$.

При x = -5

Подставляем $x = -5$ в уравнение функции:

$y = (-5)^2 - 9 = 25 - 9 = 16$

Ответ: 16

При x = -4

Подставляем $x = -4$ в уравнение функции:

$y = (-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7$

Ответ: 7

При x = -3

Подставляем $x = -3$ в уравнение функции:

$y = (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0$

Ответ: 0

При x = 0

Подставляем $x = 0$ в уравнение функции:

$y = 0^2 - 9 = 0 - 9 = -9$

Ответ: -9

При x = 2

Подставляем $x = 2$ в уравнение функции:

$y = 2^2 - 9 = 4 - 9 = -5$

Ответ: -5

При x = 3

Подставляем $x = 3$ в уравнение функции:

$y = 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0$

Ответ: 0

При x = 6

Подставляем $x = 6$ в уравнение функции:

$y = 6^2 - 9 = 36 - 9 = 27$

Ответ: 27

В результате получаем следующую заполненную таблицу:

274. Функция задана формулой $y = \frac{2}{3}x$. Заполните пустые клетки таблицы:

Для заполнения пустых клеток таблицы необходимо использовать заданную формулу функции $y = \frac{2}{3}x$. Мы будем последовательно подставлять известные значения x или y из каждого столбца, чтобы найти соответствующее неизвестное значение.

Для первого столбца, где x = -0,5

Подставляем значение $x = -0,5$ в формулу функции. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

$y = \frac{2}{3} \cdot (-0,5) = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 2} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

Для второго столбца, где y = -2

Подставляем значение $y = -2$ в формулу и решаем уравнение относительно x.

$-2 = \frac{2}{3}x$

Чтобы найти x, умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при x, то есть на $\frac{3}{2}$:

$x = -2 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{2 \cdot 3}{2} = -3$.

Ответ: -3

Для третьего столбца, где y = 0

Подставляем значение $y = 0$ в формулу:

$0 = \frac{2}{3}x$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поскольку $\frac{2}{3} \neq 0$, то $x$ должен быть равен нулю.

$x = 0$.

Ответ: 0

Для четвертого столбца, где x = 4,5

Подставляем значение $x = 4,5$ в формулу. Представим $4,5$ в виде обыкновенной дроби: $4,5 = \frac{9}{2}$.

$y = \frac{2}{3} \cdot 4,5 = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 2} = \frac{18}{6} = 3$.

Ответ: 3

Для пятого столбца, где x = 9

Подставляем значение $x = 9$ в формулу:

$y = \frac{2}{3} \cdot 9 = \frac{2 \cdot 9}{3} = \frac{18}{3} = 6$.

Ответ: 6

В результате вычислений получаем полностью заполненную таблицу:

267. Функция задана формулой $y = 2x + 7$. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 1; -20; 43.

Чтобы найти значение функции $y = 2x + 7$ при заданном значении аргумента $x$, необходимо подставить это значение в формулу и произвести вычисления.

При значении аргумента, равном 1:
Подставляем $x = 1$ в формулу функции:
$y = 2 \cdot 1 + 7 = 2 + 7 = 9$
Ответ: 9

При значении аргумента, равном -20:
Подставляем $x = -20$ в формулу функции:
$y = 2 \cdot (-20) + 7 = -40 + 7 = -33$
Ответ: -33

При значении аргумента, равном 43:
Подставляем $x = 43$ в формулу функции:
$y = 2 \cdot 43 + 7 = 86 + 7 = 93$
Ответ: 93

271. Составьте таблицу значений функции, заданной формулой $y = x(x - 3.5)$, где $0 \le x \le 4$, с шагом $0.5$.

Для составления таблицы значений функции $y = x(x - 3,5)$ на отрезке $0 \le x \le 4$ с шагом 0,5, необходимо вычислить значение $y$ для каждого значения $x$ из данного промежутка. Значения $x$ будут: 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4.

Выполним последовательные вычисления:

• Если $x = 0$, то $y = 0 \cdot (0 - 3,5) = 0 \cdot (-3,5) = 0$.
• Если $x = 0,5$, то $y = 0,5 \cdot (0,5 - 3,5) = 0,5 \cdot (-3) = -1,5$.
• Если $x = 1$, то $y = 1 \cdot (1 - 3,5) = 1 \cdot (-2,5) = -2,5$.
• Если $x = 1,5$, то $y = 1,5 \cdot (1,5 - 3,5) = 1,5 \cdot (-2) = -3$.
• Если $x = 2$, то $y = 2 \cdot (2 - 3,5) = 2 \cdot (-1,5) = -3$.
• Если $x = 2,5$, то $y = 2,5 \cdot (2,5 - 3,5) = 2,5 \cdot (-1) = -2,5$.
• Если $x = 3$, то $y = 3 \cdot (3 - 3,5) = 3 \cdot (-0,5) = -1,5$.
• Если $x = 3,5$, то $y = 3,5 \cdot (3,5 - 3,5) = 3,5 \cdot 0 = 0$.
• Если $x = 4$, то $y = 4 \cdot (4 - 3,5) = 4 \cdot 0,5 = 2$.

На основе этих вычислений составим итоговую таблицу значений.

Ответ:

275. Функция задана формулой $y = 0,3x - 6$. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно -6; -3; 0.

Для того чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $y = 0,3x - 6$ принимает заданное значение, необходимо подставить это значение $y$ в формулу и решить полученное линейное уравнение относительно $x$.

1. Найдем значение аргумента, при котором значение функции равно -6.

Подставим $y = -6$ в формулу функции:

$-6 = 0,3x - 6$

Перенесем свободный член (-6) из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:

$0,3x = -6 + 6$

$0,3x = 0$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 0,3:

$x = \frac{0}{0,3}$

$x = 0$

Ответ: 0.

2. Найдем значение аргумента, при котором значение функции равно -3.

Подставим $y = -3$ в формулу функции:

$-3 = 0,3x - 6$

Перенесем свободный член (-6) из правой части в левую:

$0,3x = -3 + 6$

$0,3x = 3$

Теперь разделим обе части уравнения на 0,3:

$x = \frac{3}{0,3}$

Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{3 \cdot 10}{0,3 \cdot 10} = \frac{30}{3}$

$x = 10$

Ответ: 10.

3. Найдем значение аргумента, при котором значение функции равно 0.

Подставим $y = 0$ в формулу функции:

$0 = 0,3x - 6$

Перенесем свободный член (-6) из правой части в левую:

$0,3x = 6$

Разделим обе части уравнения на 0,3:

$x = \frac{6}{0,3}$

Умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{6 \cdot 10}{0,3 \cdot 10} = \frac{60}{3}$

$x = 20$

Ответ: 20.