Страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

256. В ряду чисел

8, 16, 26, ___, 48, ___, 46

два числа оказались стёртыми. Найдите эти числа, если известно, что одно из них на 20 больше другого, а среднее арифметическое этого ряда чисел равно 32.

Обозначим два стёртых числа как $x$ и $y$.

По условию задачи, одно из чисел на 20 больше другого. Пусть $y$ будет большим числом, тогда мы можем записать первое уравнение:
$y = x + 20$

Также известно, что среднее арифметическое всего ряда чисел равно 32. Ряд состоит из 7 чисел: 5 известных (8, 16, 26, 48, 46) и 2 неизвестных ($x$ и $y$).

Среднее арифметическое вычисляется по формуле:
$Среднее = \frac{Сумма \, всех \, чисел}{Количество \, чисел}$

Подставим известные значения в формулу:
$32 = \frac{8 + 16 + 26 + x + 48 + y + 46}{7}$

Сначала найдем сумму известных чисел:
$8 + 16 + 26 + 48 + 46 = 144$

Теперь уравнение для среднего арифметического выглядит так:
$32 = \frac{144 + x + y}{7}$

Чтобы найти сумму неизвестных чисел ($x + y$), умножим обе части уравнения на 7:
$32 \times 7 = 144 + x + y$
$224 = 144 + x + y$

Теперь выразим сумму $x + y$:
$x + y = 224 - 144$
$x + y = 80$

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $y = x + 20$
2) $x + y = 80$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x + (x + 20) = 80$
$2x + 20 = 80$
$2x = 80 - 20$
$2x = 60$
$x = \frac{60}{2}$
$x = 30$

Теперь, зная значение $x$, найдем $y$, используя первое уравнение:
$y = 30 + 20$
$y = 50$

Таким образом, два стёртых числа — это 30 и 50.

Ответ: 30 и 50.

253. Среднее арифметическое некоторого ряда данных, состоящего из 10 чисел, равно 7. К этому ряду приписали числа 17 и 18. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Для того чтобы найти среднее арифметическое нового ряда, нужно сначала вычислить сумму чисел в исходном ряду, затем найти сумму и количество чисел в новом ряду, и, наконец, вычислить их среднее арифметическое.

1. Найдем сумму чисел исходного ряда.
Среднее арифметическое ($ \bar{x} $) определяется как отношение суммы всех чисел ряда ($S$) к их количеству ($n$): $ \bar{x} = \frac{S}{n} $.
Из этой формулы можно выразить сумму чисел: $ S = \bar{x} \times n $.
По условию, исходный ряд состоит из 10 чисел ($n_1 = 10$), а их среднее арифметическое равно 7 ($\bar{x}_1 = 7$).
Сумма чисел исходного ряда ($S_1$) равна:
$ S_1 = 7 \times 10 = 70 $

2. Найдем сумму и количество чисел нового ряда.
К исходному ряду приписали числа 17 и 18.
Новая сумма ($S_2$) будет равна сумме исходного ряда плюс добавленные числа:
$ S_2 = S_1 + 17 + 18 = 70 + 35 = 105 $
Новое количество чисел ($n_2$) будет равно исходному количеству плюс два добавленных числа:
$ n_2 = 10 + 2 = 12 $

3. Вычислим среднее арифметическое нового ряда.
Теперь разделим новую сумму на новое количество чисел, чтобы найти среднее арифметическое нового ряда ($\bar{x}_2$):
$ \bar{x}_2 = \frac{S_2}{n_2} = \frac{105}{12} $
Сократим дробь на 3:
$ \frac{105 \div 3}{12 \div 3} = \frac{35}{4} $
Преобразуем дробь в десятичное число:
$ \frac{35}{4} = 8.75 $

Ответ: 8,75

257. В ряду данных, состоящем из 12 чисел, наибольшее число увеличили на 6. Изменится ли при этом и как:

а) среднее арифметическое;

б) размах;

в) мода;

г) медиана?

Пусть исходный ряд данных состоит из 12 чисел. Упорядочим их по возрастанию: $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{11} \le x_{12}$. В этом ряду $x_1$ — наименьшее число, а $x_{12}$ — наибольшее. По условию, наибольшее число $x_{12}$ увеличили на 6. Новый ряд данных в упорядоченном виде будет выглядеть так: $x_1, x_2, \dots, x_{11}, x_{12} + 6$, так как новое число по-прежнему будет наибольшим.

а) среднее арифметическое
Среднее арифметическое вычисляется как сумма всех чисел, деленная на их количество.
Изначальное среднее арифметическое: $M_{старое} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{12}}{12}$.
После увеличения наибольшего числа на 6, общая сумма всех чисел также увеличится на 6.
Новое среднее арифметическое: $M_{новое} = \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_{12}) + 6}{12} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{12}}{12} + \frac{6}{12} = M_{старое} + 0.5$.
Таким образом, среднее арифметическое увеличится.
Ответ: Да, изменится. Среднее арифметическое увеличится на $0.5$.

б) размах
Размах ряда — это разность между его наибольшим и наименьшим значениями.
Изначальный размах: $R_{старый} = x_{12} - x_1$.
В новом ряду наименьшее число $x_1$ не изменилось, а наибольшее стало равно $x_{12} + 6$.
Новый размах: $R_{новый} = (x_{12} + 6) - x_1 = (x_{12} - x_1) + 6 = R_{старый} + 6$.
Таким образом, размах увеличится на 6.
Ответ: Да, изменится. Размах увеличится на 6.

в) мода
Мода — это значение в ряду, которое встречается наиболее часто.
При увеличении наибольшего числа его значение меняется. Частоты всех остальных чисел в ряду остаются прежними. Если исходное наибольшее число не было модой (например, встречалось в ряду лишь один раз, что типично для наибольшего значения), то мода ряда не изменится. Если же наибольшее число было модой, то его частота уменьшится, и модой может стать другое число. В общем случае, без дополнительной информации о распределении чисел, принято считать, что изменение одного крайнего значения не влияет на моду.
Ответ: Скорее всего, не изменится. Она изменится только в том случае, если наибольшее число было модой и после его изменения другое число стало встречаться чаще.

г) медиана
Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд пополам. Для ряда из 12 элементов (четное число) медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов.
В упорядоченном ряду $x_1, x_2, \dots, x_6, x_7, \dots, x_{12}$ центральными элементами являются 6-й ($x_6$) и 7-й ($x_7$).
Изначальная медиана: $Med_{старая} = \frac{x_6 + x_7}{2}$.
После увеличения наибольшего числа $x_{12}$, оно остается на последнем месте в упорядоченном ряду. Порядок и значения первых 11 чисел, включая центральные $x_6$ и $x_7$, не меняются.
Новая медиана: $Med_{новая} = \frac{x_6 + x_7}{2}$.
Следовательно, медиана не изменится.
Ответ: Нет, не изменится.

254. Сколько чисел в ряду, если его медианой служит:

а) пятнадцатый член ряда;

б) среднее арифметическое семнадцатого и восемнадцатого членов ряда?

а) Если медианой служит один из членов ряда, это означает, что общее количество членов в ряду, которое мы обозначим как $n$, является нечетным. Номер (позиция) медианного члена в упорядоченном по возрастанию ряду находится по формуле $N_{медианы} = \frac{n+1}{2}$.
По условию задачи, медианой является пятнадцатый член ряда, следовательно, его позиция $N_{медианы} = 15$. Подставим это значение в формулу и найдем $n$:
$15 = \frac{n+1}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$30 = n+1$
Отсюда находим $n$:
$n = 30 - 1 = 29$
Таким образом, если медианой является 15-й член, то в ряду 29 чисел (14 чисел до него, он сам и 14 чисел после него).
Ответ: 29

б) Если медиана является средним арифметическим двух членов ряда, это означает, что общее количество членов в ряду, $n$, является четным. Позиции этих двух центральных членов в упорядоченном ряду определяются формулами: $N_1 = \frac{n}{2}$ и $N_2 = \frac{n}{2} + 1$.
По условию задачи, медиана — это среднее арифметическое семнадцатого ($17$) и восемнадцатого ($18$) членов. Следовательно, позиции центральных членов — $N_1=17$ и $N_2=18$.
Возьмем первую формулу, чтобы найти $n$:
$\frac{n}{2} = 17$
Умножим обе части уравнения на 2:
$n = 17 \cdot 2 = 34$
Мы можем проверить результат, используя вторую позицию: $N_2 = \frac{34}{2} + 1 = 17 + 1 = 18$. Результат совпадает с условием.
Таким образом, если медиана является средним арифметическим 17-го и 18-го членов, то в ряду 34 числа (16 чисел до них, они сами (2 числа) и 16 чисел после них).
Ответ: 34

255. В ряду чисел 12, ___, ___, 7, 15, 20 пропущены два числа, одно из которых вдвое больше другого. Найдите эти числа, если известно, что среднее арифметическое ряда равно 13.

Обозначим одно из пропущенных чисел за $x$. Согласно условию, второе пропущенное число вдвое больше первого, следовательно, оно равно $2x$.

Теперь полный ряд чисел выглядит так: $12, x, 2x, 7, 15, 20$. Всего в ряду 6 чисел.

Среднее арифметическое ряда — это отношение суммы всех его членов к их количеству. По условию, среднее арифметическое равно 13. Мы можем составить уравнение:

$\frac{12 + x + 2x + 7 + 15 + 20}{6} = 13$

Упростим выражение в числителе, сложив известные числа и переменные:

$12 + 7 + 15 + 20 = 54$

$x + 2x = 3x$

Подставим эти значения обратно в уравнение:

$\frac{54 + 3x}{6} = 13$

Для решения уравнения умножим обе его части на 6:

$54 + 3x = 13 \cdot 6$

$54 + 3x = 78$

Теперь вычтем 54 из обеих частей уравнения:

$3x = 78 - 54$

$3x = 24$

Найдем $x$, разделив обе части на 3:

$x = \frac{24}{3}$

$x = 8$

Мы нашли одно из пропущенных чисел. Второе число равно $2x$:

$2 \cdot 8 = 16$

Следовательно, пропущенные числа — это 8 и 16.

Ответ: 8 и 16.