Страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

208. Найдите сумму всех целых чисел от -102 до 104.

Для решения задачи необходимо найти сумму всех целых чисел в диапазоне от $-102$ до $104$ включительно. Запишем эту сумму, обозначив ее как $S$:

$S = (-102) + (-101) + (-100) + \dots + (-1) + 0 + 1 + \dots + 100 + 101 + 102 + 103 + 104$

Можно заметить, что в этой последовательности чисел для каждого отрицательного числа в диапазоне от $-102$ до $-1$ существует парное ему положительное число в диапазоне от $1$ до $102$. Сумма каждой такой пары противоположных по знаку чисел равна нулю.

Например:

$(-102) + 102 = 0$

$(-101) + 101 = 0$

...и так далее, вплоть до:

$(-1) + 1 = 0$

Таким образом, сумма всех целых чисел от $-102$ до $102$ (включая ноль) будет равна нулю:

$(-102) + (-101) + \dots + (-1) + 0 + 1 + \dots + 101 + 102 = 0$

Теперь всю исходную сумму $S$ можно представить как сумму этой части, которая равна нулю, и оставшихся слагаемых:

$S = ((-102) + (-101) + \dots + 102) + 103 + 104$

Подставляя известное значение суммы в скобках, получаем:

$S = 0 + 103 + 104$

Выполним сложение и найдем окончательный результат:

$S = 207$

Ответ: 207

212. При каких значениях переменных не имеет смысла выражение:

а) $\frac{5}{2x - 4}$;

б) $\frac{3}{4y + 2}$;

в) $\frac{a}{a - b}$;

г) $\frac{b}{a + b}$?

Выражение, которое представляет собой дробь, не имеет смысла в том случае, когда его знаменатель равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Чтобы найти значения переменных, при которых выражение не имеет смысла, необходимо приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

а) Дано выражение $\frac{5}{2x - 4}$.
Знаменатель этого выражения равен $2x - 4$.
Приравняем знаменатель к нулю:
$2x - 4 = 0$
Перенесем $-4$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2x = 4$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{4}{2}$
$x = 2$
Ответ: выражение не имеет смысла при $x = 2$.

б) Дано выражение $\frac{3}{4y + 2}$.
Знаменатель этого выражения равен $4y + 2$.
Приравняем знаменатель к нулю:
$4y + 2 = 0$
Перенесем $2$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$4y = -2$
Разделим обе части уравнения на 4:
$y = \frac{-2}{4}$
$y = -0.5$
Ответ: выражение не имеет смысла при $y = -0.5$.

в) Дано выражение $\frac{a}{a - b}$.
Знаменатель этого выражения равен $a - b$.
Приравняем знаменатель к нулю:
$a - b = 0$
Выразим $a$ через $b$:
$a = b$
Ответ: выражение не имеет смысла при таких значениях переменных $a$ и $b$, которые равны друг другу, то есть при $a = b$.

г) Дано выражение $\frac{b}{a + b}$.
Знаменатель этого выражения равен $a + b$.
Приравняем знаменатель к нулю:
$a + b = 0$
Выразим $a$ через $b$:
$a = -b$
Ответ: выражение не имеет смысла при таких значениях переменных $a$ и $b$, которые являются противоположными числами, то есть при $a = -b$.

209. Найдите произведение всех целых чисел от -11 до 13.

Требуется найти произведение всех целых чисел от -11 до 13. Целые числа — это числа без дробной части. Диапазон "от -11 до 13" включает и сами эти числа.

Выпишем последовательность целых чисел, которые необходимо перемножить: -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Произведение этих чисел можно представить в виде математического выражения: $P = (-11) \cdot (-10) \cdot \ldots \cdot (-1) \cdot 0 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 12 \cdot 13$

Важно заметить, что среди множителей присутствует число 0. Согласно одному из основных свойств умножения, произведение любого выражения на ноль равно нулю.

Так как один из множителей равен 0, то результат всего произведения также будет равен 0. Нет необходимости вычислять произведение остальных чисел.

Ответ: 0

213. Составьте выражение для решения задачи:

a) Периметр прямоугольника 16 см, одна из его сторон $m$ см. Какова площадь прямоугольника?

б) Площадь прямоугольника 28 м$^2$, а одна из его сторон равна $а$ м. Чему равен периметр прямоугольника?

в) Из двух городов, расстояние между которыми $s$ км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Скорость одного из них $v_1$ км/ч, а скорость другого $v_2$ км/ч. Через сколько часов они встретятся?

г) Через какое время мотоциклист догонит велосипедиста, если расстояние между ними $s$ км, скорость велосипедиста $v_1$ км/ч, а скорость мотоциклиста $v_2$ км/ч?

Периметр прямоугольника $P$ сo сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Из условия известно, что периметр $P = 16$ см, а одна из сторон равна $m$ см. Пусть это будет сторона $a$, тогда $a = m$. Подставим известные значения в формулу периметра: $16 = 2(m+b)$. Чтобы найти вторую сторону $b$, разделим обе части уравнения на 2: $8 = m + b$. Отсюда $b = 8 - m$. Теперь можем найти площадь, подставив выражения для сторон $a$ и $b$ в формулу площади: $S = m \cdot (8 - m)$.

Ответ: $m(8-m)$

Площадь прямоугольника $S$ со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, площадь $S = 28$ м², а одна из его сторон равна $a$ м. Обозначим эту сторону как $x=a$, а другую сторону как $y$. Подставим известные значения в формулу площади: $28 = a \cdot y$. Выразим из этого уравнения вторую сторону $y$: $y = \frac{28}{a}$. Теперь, зная обе стороны, можем составить выражение для периметра: $P = 2(x+y) = 2(a + \frac{28}{a})$.

Ответ: $2(a + \frac{28}{a})$

Данная задача описывает встречное движение. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их относительная скорость, называемая скоростью сближения, равна сумме их скоростей. Скорость сближения автомобилей: $v_{сбл.} = v_1 + v_2$. Время $t$, через которое они встретятся, можно найти, разделив начальное расстояние $s$ между ними на скорость сближения. Используем формулу $t = \frac{s}{v}$. Подставляя скорость сближения, получаем искомое выражение: $t = \frac{s}{v_1 + v_2}$.

Ответ: $\frac{s}{v_1 + v_2}$

Это задача на движение вдогонку. Чтобы мотоциклист догнал велосипедиста, его скорость должна быть больше ($v_2 > v_1$). Скорость, с которой расстояние между ними сокращается (скорость сближения), равна разности их скоростей. Скорость сближения: $v_{сбл.} = v_2 - v_1$. Время $t$, необходимое для того, чтобы догнать, находится путем деления начального расстояния $s$ на скорость сближения. Используем формулу $t = \frac{s}{v}$. Подставив скорость сближения, получаем выражение: $t = \frac{s}{v_2 - v_1}$.

Ответ: $\frac{s}{v_2 - v_1}$

210. Найдите значение выражения:

а) $\frac{m}{m - 1}$ при $m = -\frac{1}{3}$;

б) $\frac{2a + 1}{a - 4}$ при $a = 3.5$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{m}{m-1}$ при $m = -\frac{1}{3}$, необходимо подставить значение $m$ в выражение.
Подставляем $m = -\frac{1}{3}$:
$\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3} - 1}$
Сначала упростим знаменатель. Представим 1 как $\frac{3}{3}$:
$-\frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} = \frac{-1-3}{3} = -\frac{4}{3}$
Теперь вернемся к исходной дроби:
$\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}}$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$(-\frac{1}{3}) \div (-\frac{4}{3}) = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{3}{4})$
Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сокращаем тройки:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{2a+1}{a-4}$ при $a = 3,5$, необходимо подставить значение $a$ в выражение.
Подставляем $a = 3,5$:
$\frac{2 \cdot 3,5 + 1}{3,5 - 4}$
Сначала вычислим значение числителя:
$2 \cdot 3,5 + 1 = 7 + 1 = 8$
Теперь вычислим значение знаменателя:
$3,5 - 4 = -0,5$
Выполним деление:
$\frac{8}{-0,5} = -16$
Ответ: -16

214. От прямоугольного листа картона со сторонами $a$ см и $b$ см отрезали по углам квадраты со сторонами $x$ см (рис. 7). Из оставшейся части сделали открытую коробку. Запишите формулу для вычисления объёма $V$ коробки. Вычислите по формуле объём коробки, если $a = 35$, $b = 25$, $x = 5$. Какие значения может принимать переменная $x$ при указанных значениях $a$ и $b$?

Рис. 7

Запишите формулу для вычисления объёма V коробки.

Исходный лист картона имеет размеры $a \times b$. По углам вырезаются квадраты со стороной $x$. Когда оставшиеся части сгибаются, чтобы сформировать открытую коробку, её размеры становятся следующими:

• Длина нового основания: изначальная длина $a$ уменьшается на $x$ с каждой стороны, то есть на $2x$. Длина коробки равна $a - 2x$.
• Ширина нового основания: изначальная ширина $b$ уменьшается на $x$ с каждой стороны, то есть на $2x$. Ширина коробки равна $b - 2x$.
• Высота коробки: высота равна стороне вырезанного квадрата, то есть $x$.

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда (коробки) вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты. Таким образом, формула для объёма:

$V = (a - 2x) \cdot (b - 2x) \cdot x$

Ответ: $V = x(a - 2x)(b - 2x)$.

Вычислите по формуле объём коробки, если a = 35, b = 25, x = 5.

Используем полученную формулу и подставим в неё заданные значения $a = 35$ см, $b = 25$ см и $x = 5$ см.

$V = 5 \cdot (35 - 2 \cdot 5) \cdot (25 - 2 \cdot 5)$

Сначала выполним действия в скобках:

$35 - 2 \cdot 5 = 35 - 10 = 25$ см (длина коробки)

$25 - 2 \cdot 5 = 25 - 10 = 15$ см (ширина коробки)

Теперь вычислим объём:

$V = 5 \cdot 25 \cdot 15 = 125 \cdot 15 = 1875$ см³.

Ответ: 1875 см³.

Какие значения может принимать переменная x при указанных значениях a и b?

Для того чтобы коробка имела физический смысл, все её размеры (длина, ширина, высота) должны быть положительными числами. Это накладывает следующие ограничения на переменную $x$:

1. Высота должна быть положительной: $x > 0$.

2. Длина должна быть положительной: $a - 2x > 0$. Отсюда следует, что $a > 2x$, или $x < \frac{a}{2}$.

3. Ширина должна быть положительной: $b - 2x > 0$. Отсюда следует, что $b > 2x$, или $x < \frac{b}{2}$.

Переменная $x$ должна удовлетворять всем трём неравенствам одновременно. Подставим значения $a = 35$ и $b = 25$:

$x < \frac{35}{2} \Rightarrow x < 17.5$

$x < \frac{25}{2} \Rightarrow x < 12.5$

Поскольку $x$ должно быть меньше и $17.5$, и $12.5$, мы должны выбрать более сильное (строгое) ограничение, то есть $x < 12.5$. Объединяя это с первым условием ($x>0$), получаем итоговый интервал для возможных значений $x$.

$0 < x < 12.5$

Ответ: Переменная $x$ может принимать любые значения в интервале $(0; 12.5)$.

211. Известно, что при некоторых значениях $a$ и $b$ значение выражения $2(a + b)$ равно $-8,1$. Найдите при тех же значениях $a$ и $b$ значение выражения:

а) $3(a + b)$;

б) $-0,5(a + b)$;

в) $4a + 4b$;

г) $-5a - 5b$.

По условию задачи нам дано, что значение выражения $2(a + b)$ равно $-8,1$.

$$2(a + b) = -8,1$$

Для решения последующих заданий сначала найдем значение выражения $(a + b)$. Для этого разделим обе части равенства на 2:

$$(a + b) = -8,1 \div 2$$

$$(a + b) = -4,05$$

Теперь, зная значение суммы $(a + b)$, мы можем найти значения требуемых выражений.

а) Найдем значение выражения $3(a + b)$.

Подставим найденное значение $(a + b) = -4,05$ в это выражение:

$$3(a + b) = 3 \cdot (-4,05) = -12,15$$

Ответ: $-12,15$.

б) Найдем значение выражения $-0,5(a + b)$.

Подставим значение $(a + b) = -4,05$:

$$-0,5(a + b) = -0,5 \cdot (-4,05) = 2,025$$

Ответ: $2,025$.

в) Найдем значение выражения $4a + 4b$.

Сначала вынесем общий множитель 4 за скобки:

$$4a + 4b = 4(a + b)$$

Теперь подставим значение $(a + b) = -4,05$:

$$4(a + b) = 4 \cdot (-4,05) = -16,2$$

Ответ: $-16,2$.

г) Найдем значение выражения $-5a - 5b$.

Вынесем общий множитель -5 за скобки:

$$-5a - 5b = -5(a + b)$$

Подставим значение $(a + b) = -4,05$:

$$-5(a + b) = -5 \cdot (-4,05) = 20,25$$

Ответ: $20,25$.