Страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

188. Известно, что ряд данных состоит из натуральных чисел. Может ли для этого ряда быть дробным числом:

а) среднее арифметическое;

б) мода;

в) размах;

г) медиана?

а) среднее арифметическое;

Среднее арифметическое ряда данных — это сумма всех чисел ряда, делённая на их количество. По условию, ряд данных состоит из натуральных чисел. Сумма натуральных чисел всегда является натуральным числом. Однако результат деления этой суммы на количество элементов (которое также является натуральным числом) не всегда является целым числом.

Например, рассмотрим ряд данных, состоящий из двух натуральных чисел: {1, 2}.

Их среднее арифметическое равно: $ \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 $.

Число 1.5 является дробным.

Ответ: Да, среднее арифметическое может быть дробным числом.

б) мода;

Мода ряда данных — это значение, которое встречается в ряду чаще всего. Так как по условию ряд данных состоит только из натуральных чисел, то и любое значение в этом ряду, включая самое часто встречающееся, является натуральным числом. Следовательно, мода не может быть дробным числом.

Например, в ряду {2, 3, 3, 5, 6} мода равна 3, что является натуральным числом.

Ответ: Нет, мода не может быть дробным числом.

в) размах;

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду. Поскольку все числа в ряду натуральные, то и наибольшее, и наименьшее значения также являются натуральными числами. Разность двух натуральных (и в общем случае целых) чисел всегда является целым числом, а не дробным.

Например, для ряда {3, 5, 11} размах равен $11 - 3 = 8$. Число 8 является целым.

Ответ: Нет, размах не может быть дробным числом.

г) медиана?

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Её вычисление зависит от количества элементов в ряду.

• Если количество элементов в ряду нечётное, то медиана равна центральному элементу ряда, который по условию является натуральным числом.
• Если количество элементов в ряду чётное, то медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Оба этих элемента — натуральные числа. Их сумма может быть как чётной, так и нечётной. Если их сумма нечётная, то при делении на 2 получится дробное число.

Например, рассмотрим ряд данных, состоящий из четырёх натуральных чисел: {1, 2, 5, 6}.

Два центральных элемента упорядоченного ряда — это 2 и 5. Их сумма $2+5=7$ — нечётное число. Медиана ряда равна: $ \frac{2+5}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 $.

Число 3.5 является дробным.

Ответ: Да, медиана может быть дробным числом.

186. Найдите медиану ряда чисел:

а) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52;

б) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417;

в) 16, 18, 20, 22, 24, 26;

г) 1,2, 1,4, 2,2, 2,6, 3,2, 3,8, 4,4, 5,6.

а) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52;

Для нахождения медианы необходимо упорядочить ряд чисел. Данный ряд уже упорядочен по возрастанию. Количество чисел в ряду — 9 (нечетное число). Медианой будет число, стоящее ровно посередине. Порядковый номер медианы для нечетного ряда находится по формуле $\frac{n+1}{2}$, где $n$ — количество чисел. $\frac{9+1}{2} = 5$. Медианой является пятый член ряда.
В данном ряду это число 41.
Ответ: 41.

б) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417;

Ряд уже упорядочен по возрастанию. Количество чисел в ряду — 7 (нечетное число). Медианой будет число, стоящее посередине. Порядковый номер медианы: $\frac{7+1}{2} = 4$. Медианой является четвертый член ряда.
В данном ряду это число 207.
Ответ: 207.

в) 16, 18, 20, 22, 24, 26;

Ряд уже упорядочен по возрастанию. Количество чисел в ряду — 6 (четное число). Медианой будет среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине. Это числа на позициях $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2}+1$, то есть 3-е и 4-е числа. Третье число — 20, четвертое — 22.
Найдем их среднее арифметическое: $\frac{20 + 22}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
Ответ: 21.

г) 1,2, 1,4, 2,2, 2,6, 3,2, 3,8, 4,4, 5,6.

Ряд уже упорядочен по возрастанию. Количество чисел в ряду — 8 (четное число). Медианой будет среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине. Это числа на позициях $\frac{8}{2}$ и $\frac{8}{2}+1$, то есть 4-е и 5-е числа. Четвертое число — 2,6, пятое — 3,2.
Найдем их среднее арифметическое: $\frac{2,6 + 3,2}{2} = \frac{5,8}{2} = 2,9$.
Ответ: 2,9.

187. Найдите среднее арифметическое и медиану ряда чисел:

а) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2;

б) 21,6, 37,3, 16,4, 12,6.

а)

Для нахождения среднего арифметического ряда чисел 3,8; 7,2; 6,4; 6,8; 7,2; необходимо сложить все числа и разделить полученную сумму на их количество. В данном ряду 5 чисел.
Сумма чисел: $3,8 + 7,2 + 6,4 + 6,8 + 7,2 = 31,4$.
Среднее арифметическое: $\frac{31,4}{5} = 6,28$.

Для нахождения медианы, сначала необходимо упорядочить ряд чисел по возрастанию: 3,8; 6,4; 6,8; 7,2; 7,2.
Так как количество чисел в ряду нечётное (5), медианой является число, стоящее в середине упорядоченного ряда. В данном случае это третье число.
Медиана: 6,8.

Ответ: среднее арифметическое 6,28; медиана 6,8.

б)

Для нахождения среднего арифметического ряда чисел 21,6; 37,3; 16,4; 12,6; необходимо сложить все числа и разделить полученную сумму на их количество. В данном ряду 4 числа.
Сумма чисел: $21,6 + 37,3 + 16,4 + 12,6 = 87,9$.
Среднее арифметическое: $\frac{87,9}{4} = 21,975$.

Для нахождения медианы, сначала необходимо упорядочить ряд чисел по возрастанию: 12,6; 16,4; 21,6; 37,3.
Так как количество чисел в ряду чётное (4), медиана равна среднему арифметическому двух чисел, стоящих в середине упорядоченного ряда (второго и третьего).
Медиана: $\frac{16,4 + 21,6}{2} = \frac{38}{2} = 19$.

Ответ: среднее арифметическое 21,975; медиана 19.