Страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

180. В фермерском хозяйстве отведены под пшеницу три участка, площади которых равны 12 га, 8 га и 6 га. Средняя урожайность на первом участке составляет 18 ц с 1 га, на втором — 19 ц с 1 га, на третьем — 23 ц с 1 га. Чему равна средняя урожайность пшеницы в этом хозяйстве? Можно ли найти среднюю урожайность пшеницы, вычислив среднее арифметическое чисел 18, 19 и 23?

Чему равна средняя урожайность пшеницы в этом хозяйстве?

Чтобы найти среднюю урожайность по всему хозяйству, нужно общий урожай (в центнерах), собранный со всех участков, разделить на общую площадь этих участков (в гектарах). Такой способ расчета называется нахождением среднего взвешенного.

1. Сначала вычислим, сколько центнеров пшеницы собрали с каждого участка. Для этого умножим площадь участка на его урожайность:

• Урожай с первого участка: $12 \text{ га} \times 18 \text{ ц/га} = 216 \text{ ц}$
• Урожай со второго участка: $8 \text{ га} \times 19 \text{ ц/га} = 152 \text{ ц}$
• Урожай с третьего участка: $6 \text{ га} \times 23 \text{ ц/га} = 138 \text{ ц}$

2. Теперь найдем общий урожай, собранный со всех трех участков, сложив полученные значения:

$\text{Общий урожай} = 216 + 152 + 138 = 506 \text{ ц}$

3. Далее найдем общую площадь всех участков:

$\text{Общая площадь} = 12 + 8 + 6 = 26 \text{ га}$

4. Наконец, разделим общий урожай на общую площадь, чтобы найти среднюю урожайность по хозяйству:

$\text{Средняя урожайность} = \frac{506 \text{ ц}}{26 \text{ га}} = \frac{253}{13} \text{ ц/га} = 19\frac{6}{13} \text{ ц/га}$

В виде десятичной дроби это приблизительно равно $19,46$ ц/га.

Ответ: Средняя урожайность пшеницы в этом хозяйстве равна $19\frac{6}{13}$ ц/га.

Можно ли найти среднюю урожайность пшеницы, вычислив среднее арифметическое чисел 18, 19 и 23?

Вычислим среднее арифметическое указанных урожайностей:

$\frac{18 + 19 + 23}{3} = \frac{60}{3} = 20 \text{ ц/га}$

Сравним полученное значение с правильным ответом из первого пункта:

$20 \text{ ц/га} \neq 19\frac{6}{13} \text{ ц/га}$

Результаты не совпадают. Находить среднюю урожайность как среднее арифметическое отдельных урожайностей можно только в том случае, если бы площади участков были равны. Поскольку в задаче площади участков ($12$ га, $8$ га и $6$ га) различны, каждый из них вносит разный "вклад" в итоговый результат. Участок с меньшей урожайностью ($18$ ц/га) имеет наибольшую площадь ($12$ га), а участок с самой высокой урожайностью ($23$ ц/га) — наименьшую площадь ($6$ га). Поэтому правильный расчет требует использования среднего взвешенного, где "весами" служат площади участков.

Ответ: Нет, найти среднюю урожайность таким способом нельзя, потому что площади участков не равны между собой. Расчет через среднее арифметическое ($20$ ц/га) дает неверный результат.

181. Проведя учёт числа бракованных деталей в 10 ящиках с одинаковым числом деталей, получили следующий ряд данных:

1, 2, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 3, 2.

Найдите для этого ряда среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

Для решения задачи нам дан следующий ряд данных, представляющий число бракованных деталей в 10 ящиках:

1, 2, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 3, 2

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма этих чисел, деленная на их количество. Сначала найдем сумму всех чисел в ряду:

$1 + 2 + 2 + 3 + 1 + 0 + 2 + 1 + 3 + 2 = 17$

Количество чисел в ряду (количество ящиков) равно 10. Теперь разделим сумму на количество:

$ \text{Среднее арифметическое} = \frac{17}{10} = 1,7$

Что характеризует этот показатель? Среднее арифметическое показывает, сколько в среднем бракованных деталей приходится на один ящик. Если бы общее число бракованных деталей было распределено поровну между всеми ящиками, в каждом было бы по 1,7 детали.

Ответ: 1,7.

Размах

Размах ряда данных – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду. Найдем наибольшее и наименьшее значения в данном ряду:

Наибольшее значение: 3

Наименьшее значение: 0

Вычислим размах:

$ \text{Размах} = 3 - 0 = 3$

Что характеризует этот показатель? Размах показывает, насколько велик разброс в количестве бракованных деталей между ящиками. В данном случае разница между ящиком с наибольшим и ящиком с наименьшим числом бракованных деталей составляет 3 детали.

Ответ: 3.

Мода

Мода ряда данных – это число, которое встречается в этом ряду чаще других. Посчитаем, сколько раз встречается каждое число: число 0 встречается 1 раз, число 1 – 3 раза, число 2 – 4 раза, а число 3 – 2 раза. Чаще всего в ряду встречается число 2.

$ \text{Мода} = 2$

Что характеризует этот показатель? Мода указывает на наиболее типичное, самое частое значение в наборе данных. В данном случае это означает, что чаще всего в ящике обнаруживали 2 бракованные детали.

Ответ: 2.

178. На соревнованиях по фигурному катанию выступление спортсмена было оценено следующими баллами:

$5,2, 5,4, 5,5, 5,4, 5,1, 5,1, 5,4, 5,5, 5,3.$

Для полученного ряда чисел найдите среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

Дан ряд чисел, представляющих собой оценки за выступление спортсмена: 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3. Всего в ряду 9 чисел.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма этих чисел, деленная на их количество. Сначала найдем сумму всех оценок:

$5,2 + 5,4 + 5,5 + 5,4 + 5,1 + 5,1 + 5,4 + 5,5 + 5,3 = 47,9$

Теперь разделим полученную сумму на количество оценок (9):

$Среднее \ арифметическое = \frac{47,9}{9} \approx 5,32$

Ответ: среднее арифметическое ряда примерно равно 5,32.

Размах

Размах ряда – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду. Для начала упорядочим ряд по возрастанию, чтобы легко найти эти значения:

5,1; 5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,4; 5,4; 5,5; 5,5.

Наибольшее значение: $5,5$.

Наименьшее значение: $5,1$.

Вычислим размах:

$Размах = 5,5 - 5,1 = 0,4$

Ответ: размах ряда равен 0,4.

Мода

Мода ряда – это число, которое встречается в этом ряду чаще всего. Посмотрим на частоту появления каждого числа в ряду:

• 5,1 встречается 2 раза
• 5,2 встречается 1 раз
• 5,3 встречается 1 раз
• 5,4 встречается 3 раза
• 5,5 встречается 2 раза

Чаще всего встречается оценка 5,4 (3 раза).

Ответ: мода ряда равна 5,4.

Что характеризует каждый из этих показателей?

Среднее арифметическое – это показатель центральной тенденции, который характеризует "типичную" или среднюю оценку, полученную спортсменом. Он дает общее представление об уровне выступления, сглаживая отдельные высокие и низкие оценки.

Размах – это мера разброса данных. В данном контексте он характеризует степень согласованности судей. Маленький размах (как в нашем случае, 0,4) говорит о том, что мнения судей были близки, и их оценки не сильно отличались друг от друга. Большой размах указывал бы на значительные расхождения в оценках.

Мода – это наиболее часто встречающаяся оценка. Она показывает, какую оценку судьи выставляли чаще всего. Это значение может указывать на наиболее распространенное мнение судей о качестве выступления.

182. Каждый из 24 участников соревнований по стрельбе произвёл по десять выстрелов. Отмечая всякий раз число попаданий в цель, получили следующий ряд данных: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 5, 6, 4, 3, 6, 5. Найдите для этого ряда размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

Размах

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных. Для начала найдём эти значения в исходном ряду: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 5, 6, 4, 3, 6, 5.

Наибольшее значение (максимум) в ряду: $9$.

Наименьшее значение (минимум) в ряду: $3$.

Теперь вычислим размах:

$Размах = 9 - 3 = 6$

Размах характеризует меру разброса данных. В данном случае он показывает, что разница между самым лучшим и самым худшим результатом по числу попаданий составляет 6.

Ответ: размах ряда равен 6.

Мода

Мода — это значение в ряду данных, которое встречается наиболее часто. Чтобы её найти, подсчитаем, сколько раз встречается каждое число:

• 3 встречается 2 раза
• 4 встречается 2 раза
• 5 встречается 5 раз
• 6 встречается 7 раз
• 7 встречается 3 раза
• 8 встречается 3 раза
• 9 встречается 2 раза

Число 6 встречается 7 раз, что чаще любого другого значения. Следовательно, 6 является модой этого ряда.

Мода характеризует наиболее типичный, или самый частый, результат. В данном случае это означает, что результат в 6 попаданий из 10 был самым распространённым среди участников соревнований.

Ответ: мода ряда равна 6.

179. В аттестате о среднем образовании у четырёх друзей — выпускников школы — оказались следующие оценки:

Ильин: 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 4, 4;

Семёнов: 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 4;

Попов: 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4;

Романов: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 3, 4, 4.

С каким средним баллом окончил школу каждый из друзей?

Укажите наиболее типичную для каждого из них оценку в

аттестате. Какие статистические характеристики вы использовали при ответе?

Для ответа на поставленные вопросы нам понадобятся две основные статистические характеристики: среднее арифметическое и мода.

• Средний балл — это среднее арифметическое всех оценок. Оно вычисляется путем сложения всех оценок и деления полученной суммы на их количество.
• Наиболее типичная оценка — это мода ряда оценок. Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего.

Проведем расчеты для каждого из друзей.

Ряд оценок Ильина: 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 4, 4.
Всего у него 15 оценок. Из них: оценка «4» — 9 раз, оценка «5» — 6 раз.

1. Средний балл (среднее арифметическое):
Сумма оценок: $9 \cdot 4 + 6 \cdot 5 = 36 + 30 = 66$.
Средний балл: $66 \div 15 = 4.4$.

2. Наиболее типичная оценка (мода):
Чаще всего встречается оценка «4» (9 раз), поэтому она является модой.

Ответ: средний балл Ильина — 4.4; наиболее типичная оценка — 4.

Ряд оценок Семёнова: 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 4.
Всего у него 15 оценок. Из них: оценка «3» — 9 раз, оценка «4» — 5 раз, оценка «5» — 1 раз.

1. Средний балл (среднее арифметическое):
Сумма оценок: $9 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 1 \cdot 5 = 27 + 20 + 5 = 52$.
Средний балл: $52 \div 15 \approx 3.47$.

2. Наиболее типичная оценка (мода):
Чаще всего встречается оценка «3» (9 раз), следовательно, она является модой.

Ответ: средний балл Семёнова — приблизительно 3.47; наиболее типичная оценка — 3.

Ряд оценок Попова: 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4.
Всего у него 15 оценок. Из них: оценка «4» — 5 раз, оценка «5» — 10 раз.

1. Средний балл (среднее арифметическое):
Сумма оценок: $5 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 20 + 50 = 70$.
Средний балл: $70 \div 15 = \frac{14}{3} \approx 4.67$.

2. Наиболее типичная оценка (мода):
Чаще всего встречается оценка «5» (10 раз), поэтому она является модой.

Ответ: средний балл Попова — приблизительно 4.67; наиболее типичная оценка — 5.

Ряд оценок Романова: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 3, 4, 4.
Всего у него 15 оценок. Из них: оценка «3» — 4 раза, оценка «4» — 10 раз, оценка «5» — 1 раз.

1. Средний балл (среднее арифметическое):
Сумма оценок: $4 \cdot 3 + 10 \cdot 4 + 1 \cdot 5 = 12 + 40 + 5 = 57$.
Средний балл: $57 \div 15 = 3.8$.

2. Наиболее типичная оценка (мода):
Чаще всего встречается оценка «4» (10 раз), следовательно, она является модой.

Ответ: средний балл Романова — 3.8; наиболее типичная оценка — 4.

Для ответа на вопросы были использованы две статистические характеристики:

1. Для нахождения среднего балла каждого ученика использовалось среднее арифметическое. Эта мера центральной тенденции дает обобщенное представление об успеваемости ученика.
2. Для определения наиболее типичной оценки использовалась мода. Эта характеристика показывает наиболее часто встречающуюся оценку в аттестате, что и делает ее «самой типичной».

Ответ: среднее арифметическое и мода.

183. В таблице записаны результаты ежедневного измерения в полдень температуры воздуха в течение первой декады марта:

Найдите среднюю температуру в полдень в эту декаду. Составьте таблицу отклонений от средней температуры воздуха в полдень в каждый из дней декады.

Найдите среднюю температуру в полдень в эту декаду.

Для того чтобы найти среднюю температуру за декаду (10 дней), необходимо сложить все ежедневные значения температуры и разделить полученную сумму на количество дней.

Исходный ряд температурных значений, °C: -2, -1, -3, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 3.

1. Вычислим сумму всех значений температуры:

$S = (-2) + (-1) + (-3) + 0 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 3 = 9$

2. Разделим сумму на количество дней в декаде, то есть на 10:

Средняя температура $T_{ср} = \frac{S}{10} = \frac{9}{10} = 0,9$ °C.

Ответ: 0,9 °C.

Составьте таблицу отклонений от средней температуры воздуха в полдень в каждый из дней декады.

Отклонение от средней температуры для каждого дня вычисляется как разность между температурой в этот день ($T_{день}$) и средней температурой ($T_{ср} = 0,9$ °C). Расчет производится по формуле: Отклонение = $T_{день} - T_{ср}$.

Рассчитаем отклонения для каждого дня:

1 марта: $-2 - 0,9 = -2,9$ °C

2 марта: $-1 - 0,9 = -1,9$ °C

3 марта: $-3 - 0,9 = -3,9$ °C

4 марта: $0 - 0,9 = -0,9$ °C

5 марта: $1 - 0,9 = 0,1$ °C

6 марта: $2 - 0,9 = 1,1$ °C

7 марта: $2 - 0,9 = 1,1$ °C

8 марта: $3 - 0,9 = 2,1$ °C

9 марта: $4 - 0,9 = 3,1$ °C

10 марта: $3 - 0,9 = 2,1$ °C

Ответ: