Страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

172. В таблице приведены данные о продаже в течение недели картофеля, завезённого в овощную палатку:

Сколько картофеля в среднем продавали ежедневно в эту неделю?

Чтобы найти среднее количество картофеля, продаваемого ежедневно, необходимо сложить общее количество картофеля, проданного за все дни недели, и разделить полученную сумму на количество дней.

1. Сначала вычислим общее количество проданного картофеля за неделю. Для этого сложим значения продаж за каждый день:

$275 + 286 + 250 + 290 + 296 + 315 + 325 = 2037$ кг

Таким образом, всего за неделю было продано 2037 кг картофеля.

2. Теперь разделим общее количество на число дней в неделе, то есть на 7, чтобы найти среднее дневное значение:

$2037 \div 7 = 291$ кг

Следовательно, в среднем ежедневно в эту неделю продавали 291 кг картофеля.

Ответ: 291 кг.

176. (Для работы в парах.) В ряду чисел 3, 8, 15, 30, ___, 24 пропущено одно число. Найдите его, если:

а) среднее арифметическое ряда равно 18;

б) размах ряда равен 40.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.

3) Обсудите, почему в задании б) получаются два ответа.

Дан ряд чисел: 3, 8, 15, 30, x, 24, где x – пропущенное число. Всего в ряду 6 чисел.

а) среднее арифметическое ряда равно 18;

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма всех чисел, деленная на их количество. По условию, среднее арифметическое равно 18. Составим уравнение:

$\frac{3 + 8 + 15 + 30 + x + 24}{6} = 18$

Найдем сумму известных чисел в числителе:

$3 + 8 + 15 + 30 + 24 = 80$

Подставим сумму в уравнение:

$\frac{80 + x}{6} = 18$

Теперь решим уравнение относительно x. Умножим обе части на 6:

$80 + x = 18 \cdot 6$

$80 + x = 108$

$x = 108 - 80$

$x = 28$

Таким образом, пропущенное число равно 28.

Ответ: 28.

б) размах ряда равен 40.

Размах ряда – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду.

Среди известных чисел (3, 8, 15, 30, 24) наименьшее значение равно 3, а наибольшее – 30.

Пропущенное число x может быть как наибольшим или наименьшим в ряду, так и находиться между ними. Рассмотрим два возможных случая, при которых размах будет равен 40.

Случай 1: Пропущенное число x является наибольшим в ряду.

В этом случае наименьшим числом остается 3, а наибольшим становится x. Тогда размах ряда будет равен $x - 3$.

$x - 3 = 40$

$x = 40 + 3$

$x = 43$

Если пропущенное число равно 43, то ряд выглядит так: 3, 8, 15, 30, 43, 24. Наибольшее число – 43, наименьшее – 3. Размах: $43 - 3 = 40$. Это решение подходит.

Случай 2: Пропущенное число x является наименьшим в ряду.

В этом случае наибольшим числом остается 30, а наименьшим становится x. Тогда размах ряда будет равен $30 - x$.

$30 - x = 40$

$x = 30 - 40$

$x = -10$

Если пропущенное число равно -10, то ряд выглядит так: 3, 8, 15, 30, -10, 24. Наибольшее число – 30, наименьшее – -10. Размах: $30 - (-10) = 30 + 10 = 40$. Это решение также подходит.

Таким образом, в этом задании возможны два ответа, потому что неизвестное число может быть как новым максимумом, так и новым минимумом ряда, чтобы удовлетворить условию о размахе.

Ответ: 43 или -10.

173. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Среднее арифметическое ряда чисел вычисляется по формуле:
$Среднее\ арифметическое = \frac{Сумма\ всех\ чисел\ ряда}{Количество\ чисел\ в\ ряду}$

По условию задачи, у нас есть ряд из 10 чисел, среднее арифметическое которого равно 15. Используя эту информацию, мы можем найти сумму этих десяти чисел. Обозначим эту сумму как $S_{10}$.
$15 = \frac{S_{10}}{10}$

Чтобы найти сумму $S_{10}$, умножим обе части уравнения на 10:
$S_{10} = 15 \times 10 = 150$
Таким образом, сумма исходных десяти чисел равна 150.

Далее к этому ряду приписали число 37. Это означает, что теперь в ряду стало на одно число больше, и общая сумма чисел также увеличилась.

Новое количество чисел в ряду:
$n_{новое} = 10 + 1 = 11$

Новая сумма чисел в ряду ($S_{11}$) равна сумме исходных чисел плюс новое число:
$S_{11} = S_{10} + 37 = 150 + 37 = 187$

Теперь мы можем вычислить среднее арифметическое нового ряда, разделив новую сумму на новое количество чисел:
$Среднее\ арифметическое\ нового\ ряда = \frac{S_{11}}{n_{новое}} = \frac{187}{11}$

Выполним деление:
$187 \div 11 = 17$

Ответ: 17

177. В таблице показано число деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады:

№ п/п Фамилия Число деталей № п/п Фамилия Число деталей

1 Иванов 38

2 Лазарев 42

3 Ильин 36

4 Бережной 45

5 Егоров 48

6 Петров 45

7 Семёнов 45

8 Лукин 42

9 Андреев 40

10 Попов 47

11 Сурков 39

Для представленного в таблице ряда чисел найдите среднее арифметическое, размах и моду. Каков смысл каждого из этих показателей?

Для решения задачи сначала выпишем представленный в таблице ряд чисел (количество изготовленных деталей каждым рабочим):

38, 42, 36, 45, 48, 45, 45, 42, 40, 47, 39.

Всего в ряду 11 чисел, так как в бригаде 11 рабочих.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма всех чисел, деленная на их количество. Этот показатель характеризует среднюю выработку на одного рабочего.

1. Найдем сумму всех изготовленных деталей:

$38 + 42 + 36 + 45 + 48 + 45 + 45 + 42 + 40 + 47 + 39 = 467$

2. Разделим полученную сумму на количество рабочих (11):

$467 \div 11 \approx 42.45$

Смысл показателя: Среднее арифметическое показывает, сколько деталей в среднем изготовил один рабочий за смену. Если бы производительность всех рабочих была одинаковой, то каждый из них изготовил бы примерно 42-43 детали.

Ответ: среднее арифметическое равно $467/11 \approx 42.45$.

Размах

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду.

1. Для удобства упорядочим ряд чисел по возрастанию:

36, 38, 39, 40, 42, 42, 45, 45, 45, 47, 48.

2. Найдем наибольшее и наименьшее значения в ряду:

Наибольшее значение (максимальная выработка): 48 деталей.

Наименьшее значение (минимальная выработка): 36 деталей.

3. Вычислим разность между ними:

$48 - 36 = 12$

Смысл показателя: Размах показывает, насколько сильно отличается производительность рабочих в бригаде. Он равен разнице в количестве деталей, изготовленных самым производительным и наименее производительным рабочим. В данном случае разброс производительности составляет 12 деталей.

Ответ: размах ряда равен 12.

Мода

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в этом ряду чаще всего.

1. Проанализируем упорядоченный ряд:

36, 38, 39, 40, 42, 42, 45, 45, 45, 47, 48.

2. Подсчитаем, сколько раз встречается каждое значение. Число 42 встречается 2 раза, а число 45 – 3 раза. Остальные числа встречаются только по одному разу. Таким образом, наиболее часто встречающееся значение – 45.

Смысл показателя: Мода показывает наиболее типичное, "популярное" количество деталей, изготовленное одним рабочим за смену. Это тот результат, который показали больше рабочих, чем любой другой.

Ответ: мода ряда равна 45.

174. Среднее арифметическое ряда, состоящего из девяти чисел, равно 13. Из этого ряда вычеркнули число 3. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма всех чисел ряда, деленная на их количество. По условию, у нас есть ряд из девяти чисел, и их среднее арифметическое равно 13.

Обозначим сумму исходных девяти чисел как $S_9$, а их количество как $n_1 = 9$. Среднее арифметическое $\bar{x}_1 = 13$.

Формула для среднего арифметического:

$\bar{x}_1 = \frac{S_9}{n_1}$

Чтобы найти сумму всех чисел в исходном ряду, мы можем умножить среднее арифметическое на количество чисел:

$S_9 = \bar{x}_1 \times n_1 = 13 \times 9 = 117$

Итак, сумма девяти чисел равна 117.

Далее из этого ряда вычеркнули число 3. Это означает, что сумма чисел в ряду уменьшилась на 3, а количество чисел в ряду уменьшилось на 1.

Найдем новую сумму чисел ($S_8$):

$S_8 = S_9 - 3 = 117 - 3 = 114$

Найдем новое количество чисел ($n_2$):

$n_2 = n_1 - 1 = 9 - 1 = 8$

Теперь мы можем вычислить среднее арифметическое нового ряда чисел ($\bar{x}_2$), разделив новую сумму на новое количество чисел:

$\bar{x}_2 = \frac{S_8}{n_2} = \frac{114}{8}$

Выполним деление:

$114 \div 8 = 14.25$

Таким образом, среднее арифметическое нового ряда, состоящего из восьми чисел, равно 14.25.

Ответ: 14.25.

175. В ряду чисел 2, 7, 10, ___, 18, 19, 27 одно число оказалось стёртым. Восстановите его, зная, что среднее арифметическое этого ряда чисел равно 14.

Для решения этой задачи воспользуемся определением среднего арифметического. Среднее арифметическое ряда чисел — это сумма всех чисел, делённая на их количество.

Пусть стёртое число равно $x$.

В ряду даны числа: 2, 7, 10, $x$, 18, 19, 27.

Всего в ряду 7 чисел.

По условию, среднее арифметическое этого ряда равно 14. Составим уравнение, исходя из определения среднего арифметического:

$ \frac{2 + 7 + 10 + x + 18 + 19 + 27}{7} = 14 $

Сначала найдём сумму известных чисел:

$ 2 + 7 + 10 + 18 + 19 + 27 = 83 $

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$ \frac{83 + x}{7} = 14 $

Чтобы найти неизвестное слагаемое в числителе, умножим обе части уравнения на 7:

$ 83 + x = 14 \times 7 $

$ 83 + x = 98 $

Теперь найдём $x$, вычтя 83 из обеих частей уравнения:

$ x = 98 - 83 $

$ x = 15 $

Таким образом, стёртое число — это 15.

Ответ: 15.