Страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

145. Периметр треугольника равен 16 см. Две его стороны равны между собой, и каждая из них на 2,9 см больше третьей. Каковы стороны треугольника?

Пусть $a$, $b$ и $c$ – стороны треугольника. Периметр треугольника $P$ – это сумма длин всех его сторон, то есть $P = a + b + c$. По условию задачи, периметр равен 16 см.

В задаче сказано, что две стороны треугольника равны между собой. Допустим, это стороны $a$ и $b$, следовательно, $a = b$. Такой треугольник является равнобедренным.

Также известно, что каждая из равных сторон на 2,9 см больше третьей стороны $c$. Это можно записать в виде уравнения: $a = b = c + 2,9$.

Обозначим длину третьей стороны $c$ через $x$ см. Тогда длина каждой из двух равных сторон будет $(x + 2,9)$ см.

Теперь мы можем составить уравнение для периметра, подставив в него выражения для сторон:
$P = c + (c + 2,9) + (c + 2,9)$
$16 = x + (x + 2,9) + (x + 2,9)$

Решим полученное уравнение:
$16 = 3x + 5,8$
$3x = 16 - 5,8$
$3x = 10,2$
$x = \frac{10,2}{3}$
$x = 3,4$

Таким образом, мы нашли длину третьей, меньшей стороны: $c = 3,4$ см.

Теперь вычислим длины двух равных сторон:
$a = b = x + 2,9 = 3,4 + 2,9 = 6,3$ см.

Проверим результат: $6,3$ см $+ 6,3$ см $+ 3,4$ см $= 16$ см.

Ответ: Две стороны треугольника равны по 6,3 см, а третья сторона равна 3,4 см.

149. Прибыль, полученная фирмой за первые два квартала текущего года, составила 126 000 р., причём прибыль, полученная во втором квартале, была на 10% выше, чем в первом. Какую прибыль получила эта фирма в первом квартале?

Для решения этой задачи обозначим прибыль, полученную фирмой в первом квартале, через переменную $x$.

По условию, прибыль во втором квартале была на 10% выше, чем в первом. Чтобы найти 10% от $x$, нужно умножить $x$ на 0,1. Таким образом, прибыль во втором квартале равна:
$x + 0,1x = 1,1x$

Общая прибыль за первые два квартала равна сумме прибылей за первый и второй кварталы. Известно, что она составляет 126 000 рублей. Составим и решим уравнение:
$x + 1,1x = 126 000$
$2,1x = 126 000$

Теперь найдем значение $x$:
$x = \frac{126 000}{2,1}$
Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{1 260 000}{21}$
$x = 60 000$

Следовательно, прибыль, полученная фирмой в первом квартале, составила 60 000 рублей.

Ответ: 60 000 рублей.

146. Протяжённость автомобильной трассы составляет 6940 м. Большую часть трассы занимают два тоннеля, длина одного из которых на 17 м больше длины другого. Найдите длину каждого тоннеля, если наземная часть трассы составляет 703 м.

1. Найдем общую протяженность, которую занимают два тоннеля. Для этого нужно из общей протяженности автомобильной трассы вычесть длину ее наземной части.
$6940 - 703 = 6237$ м.

2. Найдем длину каждого тоннеля. Пусть длина меньшего тоннеля равна $x$ м. Согласно условию, длина второго тоннеля на 17 м больше, следовательно, она равна $(x + 17)$ м. Сумма длин двух тоннелей равна 6237 м. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 17) = 6237$
$2x + 17 = 6237$
$2x = 6237 - 17$
$2x = 6220$
$x = 6220 / 2$
$x = 3110$ м.

Итак, длина меньшего тоннеля составляет 3110 м. Теперь найдем длину большего тоннеля:
$3110 + 17 = 3127$ м.

Ответ: длина одного тоннеля 3110 м, а длина другого – 3127 м.

150. Три школы получили 70 компьютеров. Вторая школа получила на 6 компьютеров больше первой, а третья — на 10 компьютеров больше второй. Сколько компьютеров получила каждая школа?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ — это количество компьютеров, которое получила первая школа.

Согласно условию, вторая школа получила на 6 компьютеров больше, чем первая. Значит, количество компьютеров у второй школы равно $x + 6$.

Третья школа получила на 10 компьютеров больше, чем вторая. Следовательно, количество компьютеров у третьей школы равно $(x + 6) + 10$, что упрощается до $x + 16$.

Общее количество компьютеров, полученных тремя школами, составляет 70. Составим уравнение, просуммировав количество компьютеров каждой школы:
$x + (x + 6) + (x + 16) = 70$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив переменные и числа:
$3x + 22 = 70$

Далее, перенесем 22 в правую часть уравнения:
$3x = 70 - 22$
$3x = 48$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{48}{3}$
$x = 16$

Таким образом, первая школа получила 16 компьютеров.

Теперь, зная $x$, найдем количество компьютеров для второй и третьей школ:
Количество компьютеров у второй школы: $16 + 6 = 22$.
Количество компьютеров у третьей школы: $16 + 16 = 32$.

Проверим решение: $16 + 22 + 32 = 70$. Общее количество компьютеров совпадает с условием задачи, значит, расчеты верны.

Ответ: первая школа получила 16 компьютеров, вторая — 22 компьютера, а третья — 32 компьютера.

143. В одной кассе кинотеатра продали на 36 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего было продано 392 билета?

Для решения этой задачи составим уравнение. Обозначим за $x$ количество билетов, проданных в той кассе, где их было меньше.

Согласно условию, в другой кассе продали на 36 билетов больше, то есть $(x + 36)$ билетов.

Общее количество проданных билетов равно 392. Мы можем составить уравнение, сложив количество билетов, проданных в обеих кассах:

$x + (x + 36) = 392$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

1. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$:

$2x + 36 = 392$

2. Перенесем число 36 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$2x = 392 - 36$

$2x = 356$

3. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{356}{2}$

$x = 178$

Таким образом, в кассе, где было продано меньше билетов, продали 178 билетов.

Теперь найдем количество билетов, проданных в другой кассе, прибавив 36:

$178 + 36 = 214$

Проверим полученные результаты:

Разница между проданными билетами: $214 - 178 = 36$. Это соответствует условию.

Общее количество билетов: $214 + 178 = 392$. Это также соответствует условию.

Ответ: в одной кассе продали 214 билетов, а в другой — 178 билетов.

147. Старинная задача. Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый — вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132 рупии. Сколько дал каждый?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это сумма в рупиях, которую пожертвовал первый жертвователь.

Основываясь на условиях задачи, выразим суммы, которые внесли остальные жертвователи, через $x$:
- Второй жертвователь дал вдвое больше первого, то есть: $2 \cdot x = 2x$.
- Третий жертвователь дал втрое больше второго, то есть: $3 \cdot (2x) = 6x$.
- Четвёртый жертвователь дал вчетверо больше третьего, то есть: $4 \cdot (6x) = 24x$.

Общая сумма пожертвований составляет 132 рупии. Мы можем составить уравнение, сложив вклады всех четырёх жертвователей:
$x + 2x + 6x + 24x = 132$

Теперь решим это уравнение. Сначала приведём подобные слагаемые в левой части:
$(1 + 2 + 6 + 24)x = 132$
$33x = 132$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 33:
$x = \frac{132}{33}$
$x = 4$

Итак, мы нашли, что первый жертвователь дал 4 рупии. Теперь мы можем рассчитать, сколько дали остальные:
Первый жертвователь: $x = 4$ рупии.
Второй жертвователь: $2x = 2 \cdot 4 = 8$ рупий.
Третий жертвователь: $6x = 6 \cdot 4 = 24$ рупии.
Четвёртый жертвователь: $24x = 24 \cdot 4 = 96$ рупий.

Проверим правильность решения, сложив все суммы: $4 + 8 + 24 + 96 = 132$. Сумма верна.

Ответ: первый жертвователь дал 4 рупии, второй — 8 рупий, третий — 24 рупии, а четвёртый — 96 рупий.

144. На Парковой и Молодёжной улицах восстановили разрушенные в половодье 19 домов. На Парковой было восстановлено на 3 дома меньше, чем на Молодёжной. Сколько домов было восстановлено на каждой из этих улиц?

Для решения задачи введём переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество домов, восстановленных на Молодёжной улице. Согласно условию, на Парковой улице было восстановлено на 3 дома меньше, чем на Молодёжной, следовательно, количество домов на Парковой улице можно выразить как $(x - 3)$.

Суммарно на двух улицах восстановили 19 домов. На основе этого можно составить следующее уравнение:

$x + (x - 3) = 19$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

1. Раскроем скобки и объединим слагаемые с $x$:

$2x - 3 = 19$

2. Перенесём свободный член (-3) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$2x = 19 + 3$

$2x = 22$

3. Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{22}{2}$

$x = 11$

Таким образом, количество домов, восстановленных на Молодёжной улице, составляет 11.

Теперь вычислим количество домов, восстановленных на Парковой улице, подставив найденное значение $x$ в выражение $(x - 3)$:

$11 - 3 = 8$

На Парковой улице было восстановлено 8 домов.

Выполним проверку: $11$ домов (на Молодёжной) + $8$ домов (на Парковой) = $19$ домов. Это соответствует общему числу, указанному в условии задачи.

Ответ: на Молодёжной улице было восстановлено 11 домов, на Парковой улице — 8 домов.

148. Двое рабочих изготовили 86 деталей, причём первый изготовил на 15% деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготовил второй рабочий.

Согласно условию, первый рабочий изготовил на 15% деталей больше, чем второй. Чтобы найти количество деталей, изготовленных первым рабочим, нужно к количеству деталей второго рабочего ($x$) прибавить 15% от этого количества ($0.15x$).

Количество деталей первого рабочего = $x + 0.15x = 1.15x$.

Вместе двое рабочих изготовили 86 деталей. Мы можем составить уравнение, сложив количество деталей, изготовленных каждым рабочим:

$1.15x + x = 86$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$2.15x = 86$

$x = \frac{86}{2.15}$

Для упрощения вычислений, умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x = \frac{86 \times 100}{2.15 \times 100} = \frac{8600}{215}$

$x = 40$

Таким образом, второй рабочий изготовил 40 деталей.

Теперь, зная $x$, мы можем найти, сколько деталей изготовил первый рабочий:

$1.15x = 1.15 \times 40 = 46$

Следовательно, первый рабочий изготовил 46 деталей.

Проверим полученные результаты. Общее количество деталей: $46 + 40 = 86$, что соответствует условию. Разница в производительности: первый рабочий изготовил на $46 - 40 = 6$ деталей больше. В процентном отношении от работы второго рабочего это составляет $\frac{6}{40} \times 100\% = 0.15 \times 100\% = 15\%$, что также соответствует условию.

Ответ: первый рабочий изготовил 46 деталей, второй рабочий изготовил 40 деталей.