Страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

113. Является ли корнем уравнения $x(x - 5) = 6$ число:

а) 1;

б) -1;

в) 6;

г) -6?

Чтобы определить, является ли число корнем уравнения, необходимо подставить это число вместо переменной $x$ в данное уравнение. Если в результате получится верное числовое равенство, то число является корнем. В противном случае — не является.

Исходное уравнение: $x(x - 5) = 6$.

а) 1;

Подставим значение $x = 1$ в левую часть уравнения:

$1 \cdot (1 - 5) = 1 \cdot (-4) = -4$.

Сравним полученный результат с правой частью уравнения: $-4 \neq 6$.

Равенство неверное, значит, число 1 не является корнем уравнения.

Ответ: нет.

б) -1;

Подставим значение $x = -1$ в левую часть уравнения:

$-1 \cdot (-1 - 5) = -1 \cdot (-6) = 6$.

Сравним полученный результат с правой частью уравнения: $6 = 6$.

Равенство верное, значит, число -1 является корнем уравнения.

Ответ: да.

в) 6;

Подставим значение $x = 6$ в левую часть уравнения:

$6 \cdot (6 - 5) = 6 \cdot 1 = 6$.

Сравним полученный результат с правой частью уравнения: $6 = 6$.

Равенство верное, значит, число 6 является корнем уравнения.

Ответ: да.

г) -6?

Подставим значение $x = -6$ в левую часть уравнения:

$-6 \cdot (-6 - 5) = -6 \cdot (-11) = 66$.

Сравним полученный результат с правой частью уравнения: $66 \neq 6$.

Равенство неверное, значит, число -6 не является корнем уравнения.

Ответ: нет.

117. Имеет ли корни уравнение:

а) $2x + 3 = 2x + 8;$

б) $2y = y?$

а)

Рассмотрим уравнение $2x + 3 = 2x + 8$.
Чтобы определить, имеет ли уравнение корни, попробуем его решить. Для этого сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $2x$ из правой части в левую, а $3$ из левой в правую, меняя их знаки на противоположные.
$2x - 2x = 8 - 3$
Упростим обе части уравнения:
$(2-2)x = 5$
$0 \cdot x = 5$
$0 = 5$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что ни при каком значении переменной $x$ данное уравнение не может стать верным равенством. Следовательно, у этого уравнения нет корней.

Ответ: нет, уравнение не имеет корней.

б)

Рассмотрим уравнение $2y = y$.
Для решения этого уравнения перенесем слагаемое $y$ из правой части в левую с противоположным знаком.
$2y - y = 0$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$y = 0$
Уравнение имеет решение $y = 0$. Чтобы проверить, является ли это значение корнем, подставим его в исходное уравнение:
$2 \cdot 0 = 0$
$0 = 0$
Получилось верное числовое равенство. Это означает, что уравнение имеет корень.

Ответ: да, уравнение имеет один корень $y = 0$.

114. Докажите, что каждое из чисел 7, -3 и 0 является корнем уравнения $x(x + 3)(x - 7) = 0$.

Для того чтобы доказать, что число является корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате подстановки левая и правая части уравнения окажутся равны, то число является корнем.

Рассмотрим уравнение $x(x + 3)(x - 7) = 0$.

Произведение нескольких множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Проверим каждое из предложенных чисел путем подстановки в уравнение.

Проверка для числа 7

Подставим $x = 7$ в левую часть уравнения:

$7 \cdot (7 + 3) \cdot (7 - 7)$

Выполним вычисления:

$7 \cdot 10 \cdot 0 = 0$

Получили $0 = 0$. Равенство верное, следовательно, число 7 является корнем уравнения.

Ответ: число 7 является корнем уравнения.

Проверка для числа -3

Подставим $x = -3$ в левую часть уравнения:

$(-3) \cdot (-3 + 3) \cdot (-3 - 7)$

Выполним вычисления:

$(-3) \cdot 0 \cdot (-10) = 0$

Получили $0 = 0$. Равенство верное, следовательно, число -3 является корнем уравнения.

Ответ: число -3 является корнем уравнения.

Проверка для числа 0

Подставим $x = 0$ в левую часть уравнения:

$0 \cdot (0 + 3) \cdot (0 - 7)$

Выполним вычисления:

$0 \cdot 3 \cdot (-7) = 0$

Получили $0 = 0$. Равенство верное, следовательно, число 0 является корнем уравнения.

Ответ: число 0 является корнем уравнения.

Поскольку при подстановке каждого из чисел 7, -3 и 0 в уравнение получается верное числовое равенство, доказано, что все они являются корнями данного уравнения.

118. Какое из уравнений не имеет корней?

1. $2(x + 3) = 2x + 6$

2. $2y = 4y$

3. $4(c - 2) = 3c - 6$

4. $3x + 11 = 3(x + 4)$

Для того чтобы определить, какое из уравнений не имеет корней, проанализируем каждое из них.

1. $2(x + 3) = 2x + 6$
Раскроем скобки в левой части уравнения, применив распределительный закон: $2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 2x + 6$.
В результате получаем $2x + 6 = 2x + 6$.
Это равенство является тождеством, то есть оно верно при любом значении переменной $x$.
Ответ: уравнение имеет бесконечное множество корней.

2. $2y = 4y$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, например, в правую: $4y - 2y = 0$.
Упростим выражение: $2y = 0$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $y$: $y = 0$.
Ответ: уравнение имеет один корень.

3. $4(c - 2) = 3c - 6$
Раскроем скобки в левой части: $4c - 8 = 3c - 6$.
Сгруппируем члены с переменной $c$ в левой части, а свободные члены (числа) — в правой: $4c - 3c = -6 + 8$.
Упростим обе части: $c = 2$.
Ответ: уравнение имеет один корень.

4. $3x + 11 = 3(x + 4)$
Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x + 11 = 3x + 12$.
Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $3x - 3x = 12 - 11$.
Упростим обе части: $0 \cdot x = 1$, или $0 = 1$.
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения $x$. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное равенство было бы верным.
Ответ: уравнение не имеет корней.

Таким образом, проанализировав все варианты, мы заключаем, что уравнение, которое не имеет корней, находится под номером 4.

111. Является ли число 3 корнем уравнения:

а) $5(2x - 1) = 8x + 1;$

б) $(x - 4)(x + 4) = 7?$

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной в уравнение. Если в результате получится верное числовое равенство, то число является корнем.

а) Проверим уравнение $5(2x - 1) = 8x + 1$.

Подставим значение $x = 3$ в левую и правую части уравнения:

Левая часть: $5(2 \cdot 3 - 1) = 5(6 - 1) = 5 \cdot 5 = 25$.

Правая часть: $8 \cdot 3 + 1 = 24 + 1 = 25$.

Так как левая часть равна правой ($25 = 25$), равенство является верным.

Ответ: да, число 3 является корнем уравнения.

б) Проверим уравнение $(x - 4)(x + 4) = 7$.

Подставим значение $x = 3$ в левую часть уравнения:

Левая часть: $(3 - 4)(3 + 4) = (-1) \cdot 7 = -7$.

Правая часть уравнения равна $7$.

Так как левая часть не равна правой ($-7 \neq 7$), равенство является неверным.

Ответ: нет, число 3 не является корнем уравнения.

115. Докажите, что каждое из чисел 1,2 и -1,2 является корнем уравнения $x^2 = 1,44$.

Чтобы доказать, что число является корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате получится верное числовое равенство, то число является корнем уравнения.

Исходное уравнение: $x^2 = 1,44$.

Проверка для числа 1,2:
Подставим $x = 1,2$ в уравнение:

$(1,2)^2 = 1,2 \times 1,2 = 1,44$

Получаем верное равенство: $1,44 = 1,44$.
Следовательно, число 1,2 является корнем уравнения.

Проверка для числа –1,2:
Подставим $x = -1,2$ в уравнение:

$(-1,2)^2 = (-1,2) \times (-1,2) = 1,44$

Получаем верное равенство: $1,44 = 1,44$.
Следовательно, число –1,2 также является корнем уравнения.

Таким образом, мы доказали, что каждое из чисел 1,2 и –1,2 является корнем уравнения $x^2 = 1,44$.

Ответ: при подстановке чисел 1,2 и -1,2 в уравнение $x^2 = 1,44$ получаются верные равенства $1,44 = 1,44$ и $1,44 = 1,44$ соответственно, что и доказывает, что оба числа являются корнями данного уравнения.

119. Составьте какое-нибудь уравнение, корнем которого является число:

а) 8;

б) -12.

Чтобы составить уравнение, корнем которого является заданное число, нужно создать равенство, которое будет верным при подстановке этого числа вместо переменной (обычно обозначаемой как $x$). Самый простой способ — это начать с равенства «переменная = заданное число» и затем выполнить одинаковые арифметические операции над обеими частями этого равенства.

Требуется составить уравнение, корнем которого является число 8.
1. Начнем с основного равенства, которое определяет корень:$x = 8$
Это само по себе уже является простейшим уравнением, корень которого равен 8.
2. Чтобы получить более сложное на вид уравнение, выполним какое-либо действие с обеими частями. Например, вычтем из обеих частей число 3:$x - 3 = 8 - 3$
3. Упростим правую часть:$x - 3 = 5$
Таким образом, мы получили уравнение $x - 3 = 5$.
4. Проверим, действительно ли его корень равен 8. Для этого решим полученное уравнение, прибавив 3 к обеим частям:$x - 3 + 3 = 5 + 3$$x = 8$
Корень уравнения действительно равен 8, значит, уравнение составлено верно. Можно было составить и другие уравнения, например, $2x = 16$ или $x + 10 = 18$.

Ответ: $x - 3 = 5$.

Требуется составить уравнение, корнем которого является число -12.
1. Начнем с основного равенства:$x = -12$
2. Преобразуем это равенство. Например, прибавим к обеим частям число 12. Это удобный прием, чтобы в одной из частей получился ноль:$x + 12 = -12 + 12$
3. Упростим правую часть:$x + 12 = 0$
Мы получили уравнение $x + 12 = 0$.
4. Проверим, является ли -12 его корнем. Решим уравнение, вычтя 12 из обеих частей:$x + 12 - 12 = 0 - 12$$x = -12$
Корень уравнения равен -12, что и требовалось. Другие возможные примеры: $x + 2 = -10$ или $5x = -60$.

Ответ: $x + 12 = 0$.

112. Какие из чисел -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:

а) $x^2 = 10 - 3x;$

б) $x(x^2 - 7) = 6?$

Чтобы определить, какие из данных чисел являются корнями уравнения, необходимо поочередно подставить каждое число в уравнение вместо переменной $x$ и проверить, выполняется ли равенство.

а) $x^2 = 10 - 3x$

Выполним проверку для каждого числа:

При $x = -2$:
Левая часть: $(-2)^2 = 4$.
Правая часть: $10 - 3(-2) = 10 + 6 = 16$.
$4 \neq 16$. Число $-2$ не является корнем.

При $x = -1$:
Левая часть: $(-1)^2 = 1$.
Правая часть: $10 - 3(-1) = 10 + 3 = 13$.
$1 \neq 13$. Число $-1$ не является корнем.

При $x = 0$:
Левая часть: $0^2 = 0$.
Правая часть: $10 - 3(0) = 10$.
$0 \neq 10$. Число $0$ не является корнем.

При $x = 2$:
Левая часть: $2^2 = 4$.
Правая часть: $10 - 3(2) = 10 - 6 = 4$.
$4 = 4$. Число $2$ является корнем уравнения.

При $x = 3$:
Левая часть: $3^2 = 9$.
Правая часть: $10 - 3(3) = 10 - 9 = 1$.
$9 \neq 1$. Число $3$ не является корнем.

Ответ: 2.

б) $x(x^2 - 7) = 6$

Выполним проверку для каждого числа:

При $x = -2$:
$-2((-2)^2 - 7) = -2(4 - 7) = -2(-3) = 6$.
$6 = 6$. Число $-2$ является корнем уравнения.

При $x = -1$:
$-1((-1)^2 - 7) = -1(1 - 7) = -1(-6) = 6$.
$6 = 6$. Число $-1$ является корнем уравнения.

При $x = 0$:
$0(0^2 - 7) = 0(-7) = 0$.
$0 \neq 6$. Число $0$ не является корнем.

При $x = 2$:
$2(2^2 - 7) = 2(4 - 7) = 2(-3) = -6$.
$-6 \neq 6$. Число $2$ не является корнем.

При $x = 3$:
$3(3^2 - 7) = 3(9 - 7) = 3(2) = 6$.
$6 = 6$. Число $3$ является корнем уравнения.

Ответ: -2, -1, 3.

116. Докажите, что:

а) корнем уравнения $1,4(y+5)=7+1,4y$ является любое число;

б) уравнение $y-3=y$ не имеет корней.

а) Чтобы доказать, что корнем уравнения $1,4(y + 5) = 7 + 1,4y$ является любое число, необходимо преобразовать данное уравнение.

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, используя распределительный закон умножения:

$1,4 \cdot y + 1,4 \cdot 5 = 7 + 1,4y$

$1,4y + 7 = 7 + 1,4y$

Уже на этом этапе видно, что левая и правая части уравнения идентичны. Такое равенство называется тождеством, и оно верно при любом значении переменной. Для формального завершения решения, перенесем все члены, содержащие переменную y, в левую часть, а числовые члены — в правую:

$1,4y - 1,4y = 7 - 7$

$0 \cdot y = 0$

$0 = 0$

Так как мы получили верное числовое равенство, не зависящее от переменной y, это означает, что любое число является решением (корнем) исходного уравнения.

Ответ: Утверждение доказано, корнем уравнения является любое число.

б) Чтобы доказать, что уравнение $y - 3 = y$ не имеет корней, попытаемся его решить.

Перенесем все члены с переменной y в левую часть уравнения, а числовые члены — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.

$y - y = 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$0 \cdot y = 3$

$0 = 3$

В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что не существует такого значения y, которое могло бы удовлетворить исходному уравнению. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: Утверждение доказано, уравнение не имеет корней.