Страница 24 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

96. Приведите подобные слагаемые:

а) $13a + 2b - 2a - b$;

б) $41x - 58x + 6y - y$;

в) $-5.1a - 4b - 4.9a + b$;

г) $7.5x + y - 8.5x - 3.5y$.

а) Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $13a + 2b - 2a - b$, нужно сгруппировать слагаемые с одинаковой буквенной частью (подобные) и выполнить действия с их коэффициентами.
Группируем слагаемые с переменной $a$ и с переменной $b$:
$(13a - 2a) + (2b - b)$
Выполняем вычитание в каждой группе:
$13a - 2a = (13 - 2)a = 11a$
$2b - b = (2 - 1)b = 1b = b$
Соединяем полученные результаты:
$11a + b$
Ответ: $11a + b$

б) В выражении $41x - 58x + 6y - y$ сгруппируем подобные слагаемые. Это слагаемые с переменной $x$ и слагаемые с переменной $y$.
$(41x - 58x) + (6y - y)$
Теперь выполним действия с коэффициентами в каждой группе:
$41x - 58x = (41 - 58)x = -17x$
$6y - y = (6 - 1)y = 5y$
Объединим результаты:
$-17x + 5y$
Ответ: $-17x + 5y$

в) В выражении $-5,1a - 4b - 4,9a + b$ найдем и сгруппируем подобные слагаемые.
Слагаемые с переменной $a$: $-5,1a$ и $-4,9a$.
Слагаемые с переменной $b$: $-4b$ и $b$.
Сгруппируем их:
$(-5,1a - 4,9a) + (-4b + b)$
Вычислим сумму коэффициентов для каждой переменной:
$-5,1a - 4,9a = (-5,1 - 4,9)a = -10a$
$-4b + b = (-4 + 1)b = -3b$
Запишем итоговое упрощенное выражение:
$-10a - 3b$
Ответ: $-10a - 3b$

г) Рассмотрим выражение $7,5x + y - 8,5x - 3,5y$. Сгруппируем подобные слагаемые: члены с $x$ и члены с $y$.
$(7,5x - 8,5x) + (y - 3,5y)$
Выполним арифметические операции с коэффициентами. Учтем, что коэффициент при $y$ без числа равен 1.
$7,5x - 8,5x = (7,5 - 8,5)x = -1x = -x$
$y - 3,5y = (1 - 3,5)y = -2,5y$
Объединим полученные слагаемые:
$-x - 2,5y$
Ответ: $-x - 2,5y$

100. Упростите выражение:

а) $5 - (a - 3)$;

б) $7 + (12 - 2b)$;

в) $64 - (14 + 7x)$;

г) $38 + (12p - 8)$.

а) Чтобы упростить выражение $5 - (a - 3)$, необходимо раскрыть скобки. Так как перед скобками стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
$5 - (a - 3) = 5 - a + 3$
Теперь приведем подобные слагаемые, сложив числовые значения:
$5 + 3 = 8$
Таким образом, упрощенное выражение выглядит так: $8 - a$.
Ответ: $8 - a$

б) Чтобы упростить выражение $7 + (12 - 2b)$, необходимо раскрыть скобки. Так как перед скобками стоит знак «плюс», знаки всех слагаемых внутри скобок сохраняются.
$7 + (12 - 2b) = 7 + 12 - 2b$
Теперь приведем подобные слагаемые, сложив числовые значения:
$7 + 12 = 19$
Таким образом, упрощенное выражение выглядит так: $19 - 2b$.
Ответ: $19 - 2b$

в) Чтобы упростить выражение $64 - (14 + 7x)$, раскроем скобки. Перед скобками стоит знак «минус», поэтому знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
$64 - (14 + 7x) = 64 - 14 - 7x$
Приведем подобные слагаемые, выполнив вычитание числовых значений:
$64 - 14 = 50$
Таким образом, упрощенное выражение выглядит так: $50 - 7x$.
Ответ: $50 - 7x$

г) Чтобы упростить выражение $38 + (12p - 8)$, раскроем скобки. Перед скобками стоит знак «плюс», поэтому знаки слагаемых внутри скобок не меняются.
$38 + (12p - 8) = 38 + 12p - 8$
Приведем подобные слагаемые, выполнив вычитание числовых значений:
$38 - 8 = 30$
Таким образом, упрощенное выражение выглядит так: $30 + 12p$ или $12p + 30$.
Ответ: $12p + 30$

104. Докажите, что при любом a значение выражения $3(a + 2) - 3a$ равно 6.

Чтобы доказать, что значение выражения $3(a + 2) - 3a$ равно 6 при любом значении переменной $a$, нужно это выражение упростить.

Первым шагом раскроем скобки, используя распределительный закон умножения. Для этого умножим число 3 на каждое слагаемое внутри скобок:$3(a + 2) = 3 \cdot a + 3 \cdot 2 = 3a + 6$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:$3(a + 2) - 3a = (3a + 6) - 3a$.

Следующим шагом приведем подобные слагаемые. В выражении есть слагаемые $3a$ и $-3a$, которые являются противоположными. Их сумма равна нулю:$3a - 3a = 0$.

Таким образом, выражение упрощается до константы:$3a + 6 - 3a = (3a - 3a) + 6 = 0 + 6 = 6$.

Мы видим, что в результате преобразований переменная $a$ сократилась. Это означает, что значение выражения не зависит от значения $a$ и всегда равно 6, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение $3(a + 2) - 3a$ принимает вид $3a + 6 - 3a = 6$. Поскольку результат является числом и не содержит переменной $a$, значение выражения равно 6 при любом значении $a$.

97. Приведите подобные слагаемые:

а) $8x - 6y + 7x - 2y;$

б) $27p + 14q - 16p - 3q;$

в) $3,5b - 2,4c - 0,6c - 0,7b;$

г) $1,6a + 4x - 2,8a - 7,5x.$

а) $8x - 6y + 7x - 2y$

Чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сгруппировать члены выражения, имеющие одинаковую буквенную часть, и выполнить с их числовыми коэффициентами указанные арифметические действия.

В данном выражении есть две группы подобных слагаемых:
1. Слагаемые с переменной $x$: $8x$ и $7x$.
2. Слагаемые с переменной $y$: $-6y$ и $-2y$.

Сгруппируем их и выполним вычисления:
$8x - 6y + 7x - 2y = (8x + 7x) + (-6y - 2y) = (8 + 7)x + (-6 - 2)y = 15x - 8y$.

Ответ: $15x - 8y$.

б) $27p + 14q - 16p - 3q$

Здесь также две группы подобных слагаемых: с переменной $p$ и с переменной $q$.

1. Слагаемые с $p$: $27p$ и $-16p$.
2. Слагаемые с $q$: $14q$ и $-3q$.

Группируем и вычисляем:
$27p + 14q - 16p - 3q = (27p - 16p) + (14q - 3q) = (27 - 16)p + (14 - 3)q = 11p + 11q$.

Ответ: $11p + 11q$.

в) $3,5b - 2,4c - 0,6c - 0,7b$

Находим подобные слагаемые с переменными $b$ и $c$.

1. Слагаемые с $b$: $3,5b$ и $-0,7b$.
2. Слагаемые с $c$: $-2,4c$ и $-0,6c$.

Объединяем их и производим вычисления:
$3,5b - 2,4c - 0,6c - 0,7b = (3,5b - 0,7b) + (-2,4c - 0,6c) = (3,5 - 0,7)b + (-2,4 - 0,6)c = 2,8b - 3c$.

Ответ: $2,8b - 3c$.

г) $1,6a + 4x - 2,8a - 7,5x$

В этом выражении подобными являются слагаемые с переменной $a$ и слагаемые с переменной $x$.

1. Слагаемые с $a$: $1,6a$ и $-2,8a$.
2. Слагаемые с $x$: $4x$ и $-7,5x$.

Группируем и вычисляем:
$1,6a + 4x - 2,8a - 7,5x = (1,6a - 2,8a) + (4x - 7,5x) = (1,6 - 2,8)a + (4 - 7,5)x = -1,2a - 3,5x$.

Ответ: $-1,2a - 3,5x$.

101. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

а) $x + (2x + 0.5);$

б) $3x - (x - 2);$

в) $4a - (a + 6);$

г) $6b + (10 - 4.5b).$

а) $x + (2x + 0,5)$

Сначала раскрываем скобки. Так как перед скобками стоит знак «плюс», мы просто убираем скобки, сохраняя знаки слагаемых внутри них.

$x + (2x + 0,5) = x + 2x + 0,5$

Теперь приводим подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть (в данном случае это $x$ и $2x$). Складываем их коэффициенты.

$x + 2x = (1 + 2)x = 3x$

Таким образом, выражение упрощается до:

$3x + 0,5$

Ответ: $3x + 0,5$

б) $3x - (x - 2)$

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак «минус». При этом мы убираем скобки и знак «минус», а знаки всех слагаемых внутри скобок меняем на противоположные.

$3x - (x - 2) = 3x - x + 2$

Приводим подобные слагаемые $3x$ и $-x$.

$3x - x = (3 - 1)x = 2x$

В результате получаем:

$2x + 2$

Ответ: $2x + 2$

в) $4a - (a + 6)$

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак «минус». Знаки слагаемых $a$ и $6$ внутри скобок меняются на противоположные.

$4a - (a + 6) = 4a - a - 6$

Приводим подобные слагаемые $4a$ и $-a$.

$4a - a = (4 - 1)a = 3a$

В результате получаем:

$3a - 6$

Ответ: $3a - 6$

г) $6b + (10 - 4,5b)$

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак «плюс». Знаки слагаемых внутри скобок остаются без изменений.

$6b + (10 - 4,5b) = 6b + 10 - 4,5b$

Приводим подобные слагаемые $6b$ и $-4,5b$.

$6b - 4,5b = (6 - 4,5)b = 1,5b$

В результате получаем выражение (принято записывать слагаемое с переменной на первом месте):

$1,5b + 10$

Ответ: $1,5b + 10$

105. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

а) $3(6 - 5x) + 17x - 10;$

б) $8(3y + 4) - 29y + 14;$

в) $7(2z - 3) + 6z - 12;$

г) $2(7,3 - 1,6a) + 3,2a - 9,6;$

д) $-5(0,3b + 1,7) + 12,5 - 8,5b;$

е) $-4(3,3 - 8c) + 4,8c + 5,2.$

а) $3(6 - 5x) + 17x - 10$

Сначала раскроем скобки, умножив 3 на каждый член в скобках:

$3 \times 6 - 3 \times 5x = 18 - 15x$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$18 - 15x + 17x - 10$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и числовые члены):

$(-15x + 17x) + (18 - 10)$

Выполним сложение и вычитание:

$2x + 8$

Ответ: $2x + 8$

б) $8(3y + 4) - 29y + 14$

Раскроем скобки, умножив 8 на каждый член в скобках:

$8 \times 3y + 8 \times 4 = 24y + 32$

Подставим в исходное выражение:

$24y + 32 - 29y + 14$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(24y - 29y) + (32 + 14)$

Выполним вычисления:

$-5y + 46$

Ответ: $-5y + 46$

в) $7(2z - 3) + 6z - 12$

Раскроем скобки, умножив 7 на каждый член в скобках:

$7 \times 2z - 7 \times 3 = 14z - 21$

Подставим в исходное выражение:

$14z - 21 + 6z - 12$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(14z + 6z) + (-21 - 12)$

Выполним вычисления:

$20z - 33$

Ответ: $20z - 33$

г) $2(7,3 - 1,6a) + 3,2a - 9,6$

Раскроем скобки, умножив 2 на каждый член в скобках:

$2 \times 7,3 - 2 \times 1,6a = 14,6 - 3,2a$

Подставим в исходное выражение:

$14,6 - 3,2a + 3,2a - 9,6$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-3,2a + 3,2a) + (14,6 - 9,6)$

Выполним вычисления (члены с $a$ взаимно уничтожаются):

$0 + 5 = 5$

Ответ: $5$

д) $-5(0,3b + 1,7) + 12,5 - 8,5b$

Раскроем скобки, умножив -5 на каждый член в скобках:

$-5 \times 0,3b - 5 \times 1,7 = -1,5b - 8,5$

Подставим в исходное выражение:

$-1,5b - 8,5 + 12,5 - 8,5b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-1,5b - 8,5b) + (-8,5 + 12,5)$

Выполним вычисления:

$-10b + 4$

Ответ: $-10b + 4$

е) $-4(3,3 - 8c) + 4,8c + 5,2$

Раскроем скобки, умножив -4 на каждый член в скобках:

$-4 \times 3,3 - (-4) \times 8c = -13,2 + 32c$

Подставим в исходное выражение:

$-13,2 + 32c + 4,8c + 5,2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(32c + 4,8c) + (-13,2 + 5,2)$

Выполним вычисления:

$36,8c - 8$

Ответ: $36,8c - 8$

98. Раскройте скобки:

а) $x + (b + c + d - m);$

б) $a - (b - c - d);$

в) $x + y - (b + c - m);$

г) $x + (a - b) - (c + d).$

а) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки и этот знак «+», а знаки слагаемых в скобках оставить без изменений.

$x + (b + c + d - m) = x + b + c + d - m$

Ответ: $x + b + c + d - m$

б) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–», нужно убрать скобки и этот знак «–», а знаки всех слагаемых в скобках изменить на противоположные.

$a - (b - c - d) = a - b - (-c) - (-d) = a - b + c + d$

Ответ: $a - b + c + d$

в) Раскроем скобки, перед которыми стоит знак «–». Для этого уберем скобки и знак «–» перед ними, а знаки слагаемых $b, c, -m$ изменим на противоположные.

$x + y - (b + c - m) = x + y - b - c - (-m) = x + y - b - c + m$

Ответ: $x + y - b - c + m$

г) В данном выражении две пары скобок. Перед первыми скобками $(a - b)$ стоит знак «+», поэтому при их раскрытии знаки слагаемых не меняются. Перед вторыми скобками $(c + d)$ стоит знак «–», поэтому при их раскрытии знаки слагаемых меняются на противоположные.

$x + (a - b) - (c + d) = x + a - b - c - d$

Ответ: $x + a - b - c - d$

102. Упростите выражение и найдите его значение:

а) $(5x - 1) - (2 - 8x)$ при $x = 0,75$;

б) $(6 - 2x) + (15 - 3x)$ при $x = -0,2$;

в) $12 + 7x - (1 - 3x)$ при $x = -1,7$;

г) $37 - (x - 16) + (11x - 53)$ при $x = -0,03$.

а)

Сначала упростим выражение $(5x - 1) - (2 - 8x)$. Для этого раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:
$(5x - 1) - (2 - 8x) = 5x - 1 - 2 + 8x$
Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с $x$ и числовые члены:
$(5x + 8x) + (-1 - 2) = 13x - 3$
Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = 0,75$:
$13 \cdot (0,75) - 3 = 9,75 - 3 = 6,75$
Ответ: $6,75$.

б)

Сначала упростим выражение $(6 - 2x) + (15 - 3x)$. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри нее не меняются:
$(6 - 2x) + (15 - 3x) = 6 - 2x + 15 - 3x$
Приведем подобные слагаемые:
$(-2x - 3x) + (6 + 15) = -5x + 21$
Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = -0,2$:
$-5x + 21 = -5 \cdot (-0,2) + 21 = 1 + 21 = 22$
Ответ: $22$.

в)

Сначала упростим выражение $12 + 7x - (1 - 3x)$. Раскроем скобки. Перед скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:
$12 + 7x - 1 + 3x$
Приведем подобные слагаемые:
$(7x + 3x) + (12 - 1) = 10x + 11$
Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = -1,7$:
$10x + 11 = 10 \cdot (-1,7) + 11 = -17 + 11 = -6$
Ответ: $-6$.

г)

Сначала упростим выражение $37 - (x - 16) + (11x - 53)$. Раскроем скобки. При раскрытии первой скобки (перед которой стоит минус) знаки меняются, при раскрытии второй (перед которой стоит плюс) — остаются без изменений:
$37 - x + 16 + 11x - 53$
Приведем подобные слагаемые:
$(-x + 11x) + (37 + 16 - 53) = 10x + (53 - 53) = 10x + 0 = 10x$
Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = -0,03$:
$10x = 10 \cdot (-0,03) = -0,3$
Ответ: $-0,3$.

106. Упростите выражение и найдите его значение:

а) $0,6(p - 3) + p + 2$ при $p = 0,5$;

б) $4(0,5q - 6) - 14q + 21$ при $q = \frac{1}{3}$.

а) Сначала упростим выражение $0,6(p - 3) + p + 2$.

Для этого раскроем скобки, умножив $0,6$ на каждый член в скобках:

$0,6 \cdot p - 0,6 \cdot 3 + p + 2 = 0,6p - 1,8 + p + 2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с переменной $p$ и свободные члены:

$(0,6p + p) + (-1,8 + 2) = 1,6p + 0,2$

Мы получили упрощенное выражение $1,6p + 0,2$.

Теперь подставим в него значение $p = 0,5$:

$1,6 \cdot 0,5 + 0,2 = 0,8 + 0,2 = 1$

Ответ: 1

б) Сначала упростим выражение $4(0,5q - 6) - 14q + 21$.

Для этого раскроем скобки, умножив $4$ на каждый член в скобках:

$4 \cdot 0,5q - 4 \cdot 6 - 14q + 21 = 2q - 24 - 14q + 21$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с переменной $q$ и свободные члены:

$(2q - 14q) + (-24 + 21) = -12q - 3$

Мы получили упрощенное выражение $-12q - 3$.

Теперь подставим в него значение $q = \frac{1}{3}$:

$-12 \cdot \frac{1}{3} - 3 = -\frac{12}{3} - 3 = -4 - 3 = -7$

Ответ: -7

99. Запишите без скобок выражение:

а) $m + (a - k - b);$

б) $m - (a - k - b);$

в) $x + a + (m - 2);$

г) $a - (b - c) + (m + n).$

а) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», необходимо убрать скобки и сам знак «+», при этом знаки всех слагаемых внутри скобок остаются без изменений.
$m + (a - k - b) = m + a - k - b$
Ответ: $m + a - k - b$

б) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «−», необходимо убрать скобки и сам знак «−», при этом знаки всех слагаемых внутри скобок нужно изменить на противоположные.
$m - (a - k - b) = m - a - (-k) - (-b) = m - a + k + b$
Ответ: $m - a + k + b$

в) В данном выражении перед скобками стоит знак «+», поэтому, раскрывая их, мы просто убираем скобки, не меняя знаки слагаемых.
$x + a + (m - 2) = x + a + m - 2$
Ответ: $x + a + m - 2$

г) В этом выражении есть две пары скобок. Перед первыми скобками $(b - c)$ стоит знак «−», поэтому знаки слагаемых внутри меняются на противоположные. Перед вторыми скобками $(m + n)$ стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых внутри сохраняются.
$a - (b - c) + (m + n) = a - b + c + m + n$
Ответ: $a - b + c + m + n$

103. Упростите выражение:

а) $(x - 1) + (12 - 7,5x)$;

б) $(2p + 1,9) - (7 - p)$;

в) $(3 - 0,4a) - (10 - 0,8a)$;

г) $b - (4 - 2b) + (3b - 1)$;

д) $y - (y + 4) + (y - 4)$;

е) $4x - (1 - 2x) + (2x - 7)$.

а) $(x - 1) + (12 - 7,5x)$

Чтобы упростить выражение, сначала раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых в ней сохраняются. Затем сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$ и константы).

$(x - 1) + (12 - 7,5x) = x - 1 + 12 - 7,5x = (x - 7,5x) + (-1 + 12) = -6,5x + 11$

Ответ: $11 - 6,5x$

б) $(2p + 1,9) - (7 - p)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «-», знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные. Затем сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(2p + 1,9) - (7 - p) = 2p + 1,9 - 7 + p = (2p + p) + (1,9 - 7) = 3p - 5,1$

Ответ: $3p - 5,1$

в) $(3 - 0,4a) - (10 - 0,8a)$

Раскроем скобки, изменив знаки во второй скобке на противоположные из-за знака «-» перед ней. Затем сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(3 - 0,4a) - (10 - 0,8a) = 3 - 0,4a - 10 + 0,8a = (-0,4a + 0,8a) + (3 - 10) = 0,4a - 7$

Ответ: $0,4a - 7$

г) $b - (4 - 2b) + (3b - 1)$

Раскроем скобки. Перед первой скобкой стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых в ней меняются на противоположные. Перед второй скобкой стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых сохраняются. Затем приведем подобные слагаемые.

$b - (4 - 2b) + (3b - 1) = b - 4 + 2b + 3b - 1 = (b + 2b + 3b) + (-4 - 1) = 6b - 5$

Ответ: $6b - 5$

д) $y - (y + 4) + (y - 4)$

Раскроем скобки, учитывая знаки перед ними. Знак «-» перед первой скобкой меняет знаки внутри нее на противоположные. Знак «+» перед второй скобкой оставляет знаки без изменений. Затем приведем подобные слагаемые.

$y - (y + 4) + (y - 4) = y - y - 4 + y - 4 = (y - y + y) + (-4 - 4) = y - 8$

Ответ: $y - 8$

е) $4x - (1 - 2x) + (2x - 7)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки перед ними. Перед первой скобкой стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых в ней меняются на противоположные. Перед второй скобкой стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых сохраняются. Затем приведем подобные слагаемые.

$4x - (1 - 2x) + (2x - 7) = 4x - 1 + 2x + 2x - 7 = (4x + 2x + 2x) + (-1 - 7) = 8x - 8$

Ответ: $8x - 8$