Страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

76. Используя распределительное свойство умножения, выполните действие:

а) $3\frac{1}{8} \cdot 5$;

б) $7 \cdot 2\frac{3}{7}$;

в) $2\frac{2}{5} \cdot 10$;

г) $6 \cdot 4\frac{5}{12}$.

а) Чтобы выполнить умножение, используя распределительное свойство, представим смешанное число $3\frac{1}{8}$ в виде суммы его целой и дробной частей: $3 + \frac{1}{8}$. Затем умножим каждый член этой суммы на 5.

$3\frac{1}{8} \cdot 5 = (3 + \frac{1}{8}) \cdot 5 = 3 \cdot 5 + \frac{1}{8} \cdot 5 = 15 + \frac{5}{8} = 15\frac{5}{8}$.

Ответ: $15\frac{5}{8}$.

б) Представим смешанное число $2\frac{3}{7}$ в виде суммы $2 + \frac{3}{7}$ и применим распределительное свойство умножения.

$7 \cdot 2\frac{3}{7} = 7 \cdot (2 + \frac{3}{7}) = 7 \cdot 2 + 7 \cdot \frac{3}{7} = 14 + \frac{21}{7} = 14 + 3 = 17$.

Ответ: $17$.

в) Представим смешанное число $2\frac{2}{5}$ как сумму его целой и дробной частей $2 + \frac{2}{5}$ и умножим на 10.

$2\frac{2}{5} \cdot 10 = (2 + \frac{2}{5}) \cdot 10 = 2 \cdot 10 + \frac{2}{5} \cdot 10 = 20 + \frac{20}{5} = 20 + 4 = 24$.

Ответ: $24$.

г) Представим смешанное число $4\frac{5}{12}$ в виде суммы $4 + \frac{5}{12}$ и воспользуемся распределительным свойством.

$6 \cdot 4\frac{5}{12} = 6 \cdot (4 + \frac{5}{12}) = 6 \cdot 4 + 6 \cdot \frac{5}{12} = 24 + \frac{30}{12}$.

Упростим полученную дробь $\frac{30}{12}$. Сократим ее на 6: $\frac{30 \div 6}{12 \div 6} = \frac{5}{2}$.

Теперь преобразуем неправильную дробь $\frac{5}{2}$ в смешанное число: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Сложим полученные результаты: $24 + 2\frac{1}{2} = 26\frac{1}{2}$.

Ответ: $26\frac{1}{2}$.

80. Для детского сада купили 5 наборов карандашей и 10 альбомов для рисования. Набор карандашей стоит $a$ рублей, а альбом стоит $b$ рублей. Какова стоимость покупки?

Для того чтобы определить общую стоимость покупки, необходимо вычислить стоимость всех наборов карандашей и всех альбомов по отдельности, а затем сложить эти значения.

1. Найдём стоимость 5 наборов карандашей. Из условия известно, что один набор карандашей стоит a рублей. Следовательно, стоимость 5 таких наборов составит:
$5 \times a = 5a$ (рублей).

2. Найдём стоимость 10 альбомов для рисования. Из условия известно, что один альбом стоит b рублей. Следовательно, стоимость 10 таких альбомов составит:
$10 \times b = 10b$ (рублей).

3. Теперь сложим стоимость наборов карандашей и стоимость альбомов, чтобы получить общую стоимость всей покупки:
$5a + 10b$ (рублей).

Таким образом, мы получили выражение, которое определяет стоимость покупки.

Ответ: $5a + 10b$ рублей.

77. Найдите значение выражения:

а) $3.5 \cdot 6.8 + 3.5 \cdot 3.2;$

б) $12.4 \cdot 14.3 - 12.4 \cdot 4.3.$

Для нахождения значения выражения $3,5 \cdot 6,8 + 3,5 \cdot 3,2$ можно упростить вычисления, используя распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. В данном случае общий множитель $a=3,5$. Вынесем его за скобки:

$3,5 \cdot 6,8 + 3,5 \cdot 3,2 = 3,5 \cdot (6,8 + 3,2)$

Теперь выполним действия по порядку:

1. Сложение в скобках: $6,8 + 3,2 = 10$

2. Умножение: $3,5 \cdot 10 = 35$

Таким образом, значение выражения равно 35.

Ответ: 35

Для нахождения значения выражения $12,4 \cdot 14,3 - 12,4 \cdot 4,3$ используем распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$. Общим множителем здесь является $a=12,4$. Вынесем его за скобки:

$12,4 \cdot 14,3 - 12,4 \cdot 4,3 = 12,4 \cdot (14,3 - 4,3)$

Теперь выполним действия по порядку:

1. Вычитание в скобках: $14,3 - 4,3 = 10$

2. Умножение: $12,4 \cdot 10 = 124$

Таким образом, значение выражения равно 124.

Ответ: 124

81. Автомобиль двигался $t$ ч со скоростью 60 км/ч и $p$ ч со скоростью 50 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?

Средняя скорость $V_{ср}$ определяется как отношение всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему затраченному времени $T_{общ}$.

Формула для расчета средней скорости: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}}$.

1. Вычислим общий путь, пройденный автомобилем ($S_{общ}$).

Путь состоит из двух участков. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ – скорость, а $t$ – время.

Расстояние, пройденное на первом участке:
$S_1 = 60 \text{ км/ч} \cdot t \text{ ч} = 60t \text{ км}$.

Расстояние, пройденное на втором участке:
$S_2 = 50 \text{ км/ч} \cdot p \text{ ч} = 50p \text{ км}$.

Общий путь — это сумма расстояний двух участков:
$S_{общ} = S_1 + S_2 = 60t + 50p \text{ км}$.

2. Вычислим общее время движения ($T_{общ}$).

Общее время — это сумма времени движения на каждом из участков:
$T_{общ} = t + p \text{ ч}$.

3. Найдем среднюю скорость автомобиля.

Подставим полученные значения общего пути и общего времени в формулу для средней скорости:
$V_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{60t + 50p}{t + p} \text{ км/ч}$.

Ответ: $\frac{60t + 50p}{t + p}$ км/ч.

74. Найдите значение выражения:

а) $5\frac{3}{4} - 2\frac{1}{7} + 1\frac{1}{4} - 4\frac{6}{7}$;

б) $8\frac{2}{3} - 6\frac{3}{5} - 2\frac{2}{5} + 1\frac{7}{9}$.

а) $5\frac{3}{4} - 2\frac{1}{7} + 1\frac{1}{4} - 4\frac{6}{7}$

Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями. Помним, что переставлять слагаемые можно вместе с их знаками.

$(5\frac{3}{4} + 1\frac{1}{4}) + (-2\frac{1}{7} - 4\frac{6}{7})$

Вычислим значение первой скобки, сложив целые и дробные части:

$5\frac{3}{4} + 1\frac{1}{4} = (5+1) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 6 + \frac{4}{4} = 6 + 1 = 7$

Вычислим значение второй скобки. Так как оба числа отрицательные, мы их складываем и ставим знак минус:

$-2\frac{1}{7} - 4\frac{6}{7} = -(2\frac{1}{7} + 4\frac{6}{7}) = -((2+4) + (\frac{1}{7} + \frac{6}{7})) = -(6 + \frac{7}{7}) = -(6+1) = -7$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$7 - 7 = 0$

Ответ: $0$

б) $8\frac{2}{3} - 6\frac{3}{5} - 2\frac{2}{5} + 1\frac{7}{9}$

Сначала сгруппируем и вычислим дроби с одинаковым знаменателем 5. Обратите внимание, что оба слагаемых отрицательные:

$-6\frac{3}{5} - 2\frac{2}{5} = -(6\frac{3}{5} + 2\frac{2}{5}) = -((6+2) + (\frac{3}{5} + \frac{2}{5})) = -(8 + \frac{5}{5}) = -(8+1) = -9$

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$8\frac{2}{3} - 9 + 1\frac{7}{9}$

Перегруппируем слагаемые для удобства:

$8\frac{2}{3} + 1\frac{7}{9} - 9$

Сложим смешанные числа. Для этого приведем их дробные части к общему знаменателю 9:

$8\frac{2}{3} = 8\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 8\frac{6}{9}$

Теперь сложим $8\frac{6}{9}$ и $1\frac{7}{9}$:

$8\frac{6}{9} + 1\frac{7}{9} = (8+1) + (\frac{6}{9} + \frac{7}{9}) = 9 + \frac{13}{9}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{13}{9}$ в смешанное число $1\frac{4}{9}$:

$9 + 1\frac{4}{9} = 10\frac{4}{9}$

Теперь вернемся к нашему выражению и выполним вычитание:

$10\frac{4}{9} - 9 = (10-9) + \frac{4}{9} = 1\frac{4}{9}$

Ответ: $1\frac{4}{9}$

78. Вычислите:

a) $15,7 \cdot 3,09 + 15,7 \cdot 2,91;$

б) $4,03 \cdot 27,9 - 17,9 \cdot 4,03.$

а) $15,7 \cdot 3,09 + 15,7 \cdot 2,91$

Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения. Это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.

В нашем выражении общим множителем является число $15,7$. Вынесем его за скобки:

$15,7 \cdot 3,09 + 15,7 \cdot 2,91 = 15,7 \cdot (3,09 + 2,91)$

Теперь выполним действие в скобках:

$3,09 + 2,91 = 6$

Наконец, умножим общий множитель на полученную сумму:

$15,7 \cdot 6 = 94,2$

Ответ: 94,2

б) $4,03 \cdot 27,9 - 17,9 \cdot 4,03$

В этом примере мы применим распределительное свойство умножения относительно вычитания. Общим множителем здесь является число $4,03$. Для удобства сначала применим переместительное свойство умножения ко второму произведению ($a \cdot b = b \cdot a$), чтобы общий множитель стоял на первом месте в обоих членах:

$17,9 \cdot 4,03 = 4,03 \cdot 17,9$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$4,03 \cdot 27,9 - 4,03 \cdot 17,9$

Вынесем общий множитель $4,03$ за скобки, используя правило $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$:

$4,03 \cdot (27,9 - 17,9)$

Выполним вычитание в скобках:

$27,9 - 17,9 = 10$

Осталось умножить общий множитель на полученную разность:

$4,03 \cdot 10 = 40,3$

Ответ: 40,3

82. Найдите координаты точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 4).

$B$

$-2$

$-1$

$C$

$0$

$D$

$1$

$A$

$2$

$x$

Рис. 4

Для того чтобы найти координаты отмеченных точек, необходимо сначала определить цену одного деления на координатной прямой. Рассмотрим отрезок между целыми числами, например, от 0 до 1. Этот отрезок разделен на 5 равных частей, так как между 0 и 1 есть 4 штриха. Следовательно, цена одного деления составляет $1 \div 5 = \frac{1}{5} = 0.2$.

A
Точка A расположена правее отметки 1 на 3 деления. Чтобы найти ее координату, к 1 прибавляем 3 цены деления: $1 + 3 \cdot 0.2 = 1 + 0.6 = 1.6$.
Ответ: $A(1.6)$

B
Точка B расположена левее отметки -1 на 3 деления. Чтобы найти ее координату, из -1 вычитаем 3 цены деления: $-1 - 3 \cdot 0.2 = -1 - 0.6 = -1.6$. Также можно посчитать от -2: точка B находится правее -2 на 2 деления, ее координата равна $-2 + 2 \cdot 0.2 = -2 + 0.4 = -1.6$.
Ответ: $B(-1.6)$

C
Точка C расположена левее отметки 0 на 1 деление. Чтобы найти ее координату, из 0 вычитаем 1 цену деления: $0 - 1 \cdot 0.2 = -0.2$.
Ответ: $C(-0.2)$

D
Точка D расположена правее отметки 0 на 3 деления. Чтобы найти ее координату, к 0 прибавляем 3 цены деления: $0 + 3 \cdot 0.2 = 0.6$.
Ответ: $D(0.6)$

75. Вычислите наиболее рациональным способом:

а) $50 \cdot 1,34 \cdot 0,2;$

б) $-75,7 \cdot 0,5 \cdot 20;$

в) $25 \cdot (-15,8) \cdot 4;$

г) $0,47 \cdot 0,4 \cdot 25.$

а) Чтобы вычислить произведение наиболее рациональным способом, воспользуемся переместительным свойством умножения и сгруппируем множители $50$ и $0,2$, так как их произведение легко посчитать устно.

$50 \cdot 1,34 \cdot 0,2 = (50 \cdot 0,2) \cdot 1,34 = 10 \cdot 1,34 = 13,4$.

Ответ: $13,4$.

б) В данном выражении удобно сначала перемножить $0,5$ и $20$. Это упростит последующее умножение.

$-75,7 \cdot 0,5 \cdot 20 = -75,7 \cdot (0,5 \cdot 20) = -75,7 \cdot 10 = -757$.

Ответ: $-757$.

в) Рациональнее всего сначала умножить $25$ на $4$, так как их произведение равно $100$, что значительно облегчает вычисления.

$25 \cdot (-15,8) \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot (-15,8) = 100 \cdot (-15,8) = -1580$.

Ответ: $-1580$.

г) Здесь также применим переместительное свойство умножения и сгруппируем множители $0,4$ и $25$.

$0,47 \cdot 0,4 \cdot 25 = 0,47 \cdot (0,4 \cdot 25) = 0,47 \cdot 10 = 4,7$.

Ответ: $4,7$.

79. Докажите, что:

a) сумма $24 \cdot 17 + 17 \cdot 6$ делится на 5;

б) сумма $34 \cdot 85 + 34 \cdot 36$ делится на 11.

а)

Чтобы доказать, что сумма $24 \cdot 17 + 17 \cdot 6$ делится на 5, преобразуем данное выражение. Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения и вынесем общий множитель за скобки.

В выражении $24 \cdot 17 + 17 \cdot 6$ общим множителем является число 17. Выносим его за скобки:

$24 \cdot 17 + 17 \cdot 6 = 17 \cdot (24 + 6)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$24 + 6 = 30$

Таким образом, исходная сумма равна произведению:

$17 \cdot 30$

Согласно свойству делимости, если один из множителей в произведении делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. В нашем случае множитель 30 делится на 5 без остатка:

$30 : 5 = 6$

Следовательно, все произведение $17 \cdot 30$ делится на 5, а значит и исходная сумма делится на 5, что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное выражение можно представить в виде $17 \cdot (24 + 6) = 17 \cdot 30$. Так как один из множителей (30) делится на 5, то и все произведение делится на 5.

б)

Чтобы доказать, что сумма $34 \cdot 85 + 34 \cdot 36$ делится на 11, поступим аналогично предыдущему пункту: вынесем общий множитель за скобки.

В выражении $34 \cdot 85 + 34 \cdot 36$ общим множителем является число 34.

$34 \cdot 85 + 34 \cdot 36 = 34 \cdot (85 + 36)$

Вычислим сумму в скобках:

$85 + 36 = 121$

В результате получаем произведение:

$34 \cdot 121$

Проверим делимость одного из множителей на 11. Множитель 121 делится на 11 без остатка, так как $121 = 11 \cdot 11$ (или $11^2$).

$121 : 11 = 11$

Поскольку один из множителей (121) делится на 11, то и все произведение $34 \cdot 121$ делится на 11. Следовательно, исходная сумма также делится на 11, что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное выражение можно представить в виде $34 \cdot (85 + 36) = 34 \cdot 121$. Так как один из множителей (121) делится на 11, то и все произведение делится на 11.