Страница 12 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Составьте формулу числа:

а) кратного 5;

$5n$

б) кратного 10;

$10n$

в) кратного 101.

$101n$

а) кратного 5;
Число называется кратным другому числу, если оно делится на это число без остатка. Таким образом, любое число, кратное 5, можно представить как произведение числа 5 и некоторого целого числа. Обозначим это целое число переменной $k$. Тогда формула для любого числа $a$, кратного 5, выглядит следующим образом: $a = 5 \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Например, если $k=1$, то $a=5$. Если $k=4$, то $a=20$. Если $k=0$, то $a=0$. Если $k=-3$, то $a=-15$. Все эти числа (5, 20, 0, -15) кратны 5.
Ответ: $a = 5k$, где $k$ — целое число.

б) кратного 10;
Аналогично, любое число, кратное 10, можно получить, умножив 10 на некоторое целое число $k$. Обозначим искомое число буквой $b$. Формула для числа, кратного 10, имеет вид: $b = 10 \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Например, при $k=7$ получаем $b=70$. При $k=10$ получаем $b=100$.
Ответ: $b = 10k$, где $k$ — целое число.

в) кратного 101.
Следуя той же логике, формула для числа, кратного 101, составляется путем умножения 101 на целое число $k$. Обозначим искомое число буквой $c$. Формула будет выглядеть так: $c = 101 \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Например, при $k=2$ получаем $c=202$. При $k=10$ получаем $c=1010$.
Ответ: $c = 101k$, где $k$ — целое число.

45. После того как из бидона отлили 30% молока, в нём осталось 14 л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально?

Пусть $x$ — это первоначальное количество молока в бидоне в литрах. Это количество соответствует 100%.

Из условия известно, что из бидона отлили 30% молока. Найдем, какая часть молока в процентах осталась в бидоне. Для этого вычтем из 100% ту часть, которую отлили:

$100\% - 30\% = 70\%$

Таким образом, в бидоне осталось 70% от первоначального объема молока, что по условию составляет 14 литров.

Теперь мы можем найти первоначальный объем молока $x$. Если 70% от $x$ равно 14, то мы можем составить уравнение. Для этого переведем проценты в десятичную дробь: $70\% = 0.7$.

$0.7 \cdot x = 14$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.7:

$x = \frac{14}{0.7}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{140}{7}$

$x = 20$

Итак, первоначально в бидоне было 20 литров молока.

Ответ: 20 л.

42. Напишите формулу числа, кратного 7. Найдите по этой формуле два трёхзначных числа, кратных 7.

Напишите формулу числа, кратного 7.

Число, кратное 7, — это любое число, которое делится на 7 без остатка. Это значит, что такое число можно получить, умножив число 7 на любое целое число.

Если мы обозначим искомое число, кратное 7, буквой $a$, а произвольное целое число — буквой $k$, то формула примет следующий вид:
$a = 7 \cdot k$
Здесь $k$ — любое целое число, то есть $k \in \mathbb{Z}$ (например, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). В большинстве случаев при решении подобных задач рассматривают натуральные числа, где $k = 1, 2, 3, \ldots$

Ответ: $a = 7 \cdot k$, где $k$ — целое число.

Найдите по этой формуле два трёхзначных числа, кратных 7.

Трёхзначные числа — это целые числа в диапазоне от 100 до 999. Нам необходимо найти два числа, которые соответствуют формуле $a = 7 \cdot k$ и попадают в этот диапазон.

Запишем это в виде двойного неравенства:
$100 \le 7 \cdot k \le 999$
Чтобы определить, какие значения может принимать $k$, разделим все части неравенства на 7:
$\frac{100}{7} \le k \le \frac{999}{7}$
Теперь вычислим приближённые значения границ:
$14,28... \le k \le 142,71...$

Поскольку $k$ по определению является целым числом, оно может принимать любое целочисленное значение от 15 (так как $15 > 14,28...$) до 142 (так как $142 < 142,71...$) включительно.

Теперь выберем два любых целых значения $k$ из этого промежутка и рассчитаем для них числа $a$.

1. Возьмём первое возможное целое значение $k = 15$.
$a_1 = 7 \cdot 15 = 105$
Число 105 является трёхзначным и кратно 7.

2. Возьмём для примера другое значение $k$, например, $k = 100$.
$a_2 = 7 \cdot 100 = 700$
Число 700 также является трёхзначным и кратно 7.

Ответ: 105 и 700.

46. Перевыполнив план на 15%, завод выпустил за месяц 230 станков. Сколько станков должен был выпустить за месяц завод по плану?

Пусть $x$ — это количество станков, которое завод должен был выпустить за месяц по плану. Это плановое количество мы принимаем за 100%.

По условию задачи, завод перевыполнил план на 15%. Это означает, что фактический объем выпуска продукции составил:

$100\% + 15\% = 115\%$

Известно, что завод выпустил 230 станков. Следовательно, эти 230 станков составляют 115% от плана.

Для нахождения планового количества станков ($x$) составим пропорцию:

$x$ станков — $100\%$

$230$ станков — $115\%$

Из данной пропорции следует уравнение:

$ \frac{x}{230} = \frac{100}{115} $

Теперь выразим $x$, чтобы найти его значение:

$ x = 230 \cdot \frac{100}{115} $

Выполним расчеты:

$ x = \frac{23000}{115} $

$ x = 200 $

Таким образом, по плану завод должен был выпустить 200 станков.

Ответ: 200 станков.

39. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $5y + 2;$

б) $\frac{18}{y};$

в) $\frac{1}{x-7};$

г) $\frac{m-1}{4};$

д) $\frac{7a}{3+a};$

е) $\frac{2b}{10-b}?$

а) Выражение $5y + 2$ является многочленом. Операции умножения и сложения, из которых оно состоит, определены для любых действительных чисел. В выражении нет операций, которые могли бы ограничить область допустимых значений (например, деление на переменную или извлечение корня). Поэтому выражение имеет смысл при любых значениях переменной $y$.

Ответ: при любых значениях $y$.

б) Выражение $\frac{18}{y}$ представляет собой дробь. Основное правило для дробей: знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. В данном случае знаменатель равен $y$. Следовательно, для того чтобы выражение имело смысл, должно выполняться условие $y \neq 0$.

Ответ: при всех значениях $y$, кроме $y = 0$.

в) Выражение $\frac{1}{x-7}$ является дробью. Оно имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю. Найдем значение переменной $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его:

$x - 7 = 0$

$x = 7$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 7$.

Ответ: при всех значениях $x$, кроме $x = 7$.

г) В выражении $\frac{m-1}{4}$ знаменатель является числом 4, которое не равно нулю. Числитель $m-1$ определен для любого значения переменной $m$. Так как знаменатель никогда не обращается в ноль, выражение имеет смысл при любом значении $m$.

Ответ: при любых значениях $m$.

д) Выражение $\frac{7a}{3+a}$ является дробью. Оно имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю. Найдем недопустимое значение переменной $a$, приравняв знаменатель к нулю:

$3 + a = 0$

$a = -3$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $a = -3$.

Ответ: при всех значениях $a$, кроме $a = -3$.

е) Выражение $\frac{2b}{10-b}$ является дробью. Найдем значение переменной $b$, при котором знаменатель обращается в ноль, чтобы исключить его:

$10 - b = 0$

$b = 10$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $b$, кроме $b = 10$.

Ответ: при всех значениях $b$, кроме $b = 10$.

43. (Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6.

1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.

2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.

3) Проведите доказательство.

1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.

Утверждение: всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6.

Проверка для третьего десятка (числа от 21 до 30):

Простые числа в этом диапазоне: 23, 29.

• Для числа 23:
  • $23 - 1 = 22$. 22 не делится на 6.
  • $23 + 1 = 24$. $24 : 6 = 4$. 24 делится на 6.
• Для числа 29:
  • $29 - 1 = 28$. 28 не делится на 6.
  • $29 + 1 = 30$. $30 : 6 = 5$. 30 делится на 6.

Для простых чисел из третьего десятка утверждение выполняется.

Проверка для седьмого десятка (числа от 61 до 70):

Простые числа в этом диапазоне: 61, 67.

• Для числа 61:
  • $61 - 1 = 60$. $60 : 6 = 10$. 60 делится на 6.
  • $61 + 1 = 62$. 62 не делится на 6.
• Для числа 67:
  • $67 - 1 = 66$. $66 : 6 = 11$. 66 делится на 6.
  • $67 + 1 = 68$. 68 не делится на 6.

Для простых чисел из седьмого десятка утверждение также выполняется.

Ответ: На приведенных примерах утверждение справедливо. Для простых чисел 23 и 29 число, увеличенное на 1, делится на 6. Для простых чисел 61 и 67 число, уменьшенное на 1, делится на 6.

2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.

Справедливость этого свойства следует из двух ключевых фактов, касающихся делимости.

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3.

Пусть $p$ — простое число, большее или равное 5.

1. Делимость на 2: Любое простое число $p$, начиная с 5, является нечетным. Если к нечетному числу прибавить или отнять 1, результат всегда будет четным числом. Следовательно, и $p-1$, и $p+1$ всегда делятся на 2.
2. Делимость на 3: Рассмотрим тройку последовательных целых чисел: $p-1, p, p+1$. Среди любых трех последовательных целых чисел одно и только одно обязательно делится на 3. Поскольку $p$ — простое число и $p \ge 5$, оно не может делиться на 3 (единственное простое число, делящееся на 3, это само число 3). Значит, на 3 должно делиться либо число $p-1$, либо число $p+1$.

Объединяя эти два факта, мы получаем, что одно из чисел ($p-1$ или $p+1$) делится на 3, и при этом оба они делятся на 2. То число, которое делится и на 2, и на 3, будет делиться и на 6.

Ответ: Свойство следует из того, что для любого простого числа $p \ge 5$, числа $p-1$ и $p+1$ являются четными, и одно из них обязательно делится на 3.

3) Проведите доказательство.

Пусть $p$ — произвольное простое число, такое что $p \ge 5$. Требуется доказать, что либо $(p-1)$, либо $(p+1)$ делится на 6 без остатка.

Любое натуральное число $n$ при делении на 6 может давать один из шести возможных остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Таким образом, любое натуральное число можно представить в одной из следующих форм, где $k$ — целое неотрицательное число:

• $6k$
• $6k+1$
• $6k+2$
• $6k+3$
• $6k+4$
• $6k+5$

Рассмотрим, какую из этих форм может иметь простое число $p \ge 5$.

• Числа вида $6k$, $6k+2 = 2(3k+1)$ и $6k+4 = 2(3k+2)$ являются четными. Единственное четное простое число — это 2. Так как мы рассматриваем $p \ge 5$, эти случаи невозможны.
• Числа вида $6k+3 = 3(2k+1)$ делятся на 3. Единственное простое число, делящееся на 3, — это 3. Так как мы рассматриваем $p \ge 5$, этот случай также невозможен.

Следовательно, любое простое число $p \ge 5$ должно иметь вид либо $6k+1$, либо $6k+5$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $p = 6k+1$, то $p-1 = (6k+1) - 1 = 6k$. Число $6k$ очевидно делится на 6.
2. Если $p = 6k+5$, то $p+1 = (6k+5) + 1 = 6k+6 = 6(k+1)$. Число $6(k+1)$ также очевидно делится на 6.

Таким образом, для любого простого числа $p \ge 5$ одно из чисел — $p-1$ или $p+1$ — всегда делится на 6. Доказательство завершено.

Ответ: Доказано, что любое простое число $p \ge 5$ имеет вид $6k+1$ или $6k+5$. В первом случае $p-1$ делится на 6, во втором — $p+1$ делится на 6.

40. Какое из данных выражений имеет смысл при любых значениях a?

1. $\frac{12}{a - 9}$

2. $\frac{5}{a + 4}$

3. $\frac{14}{a^2}$

4. $\frac{8}{a^2 + 1}$

Чтобы определить, какое из выражений имеет смысл при любых значениях переменной a, нужно найти область определения каждого из них. Дробное выражение имеет смысл (определено) тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1. Выражение $\frac{12}{a-9}$.

Знаменатель этой дроби равен $a-9$. Выражение не будет иметь смысла, если знаменатель равен нулю.

$a - 9 = 0$

$a = 9$

При $a=9$ выражение не имеет смысла, поэтому оно определено не для всех значений a.

2. Выражение $\frac{5}{a+4}$.

Знаменатель этой дроби равен $a+4$. Найдем значение a, при котором он равен нулю.

$a + 4 = 0$

$a = -4$

При $a=-4$ выражение не имеет смысла. Следовательно, оно определено не для всех значений a.

3. Выражение $\frac{14}{a^2}$.

Знаменатель этой дроби равен $a^2$. Найдем значение a, при котором он равен нулю.

$a^2 = 0$

$a = 0$

При $a=0$ выражение не имеет смысла. Следовательно, оно определено не для всех значений a.

4. Выражение $\frac{8}{a^2+1}$.

Знаменатель этой дроби равен $a^2+1$. Проверим, может ли он равняться нулю.

$a^2+1 = 0$

$a^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа a всегда является неотрицательным числом, то есть $a^2 \ge 0$. Поэтому сумма $a^2+1$ всегда будет больше или равна 1 ($a^2+1 \ge 1$). Это означает, что знаменатель $a^2+1$ никогда не может быть равен нулю ни при каких значениях a.

Таким образом, это выражение имеет смысл при любых значениях a.

Ответ: 4

44. Найдите число, если известно, что:

а) $3\%$ этого числа равны $1,8$;

б) $85\%$ этого числа равны $17$;

в) $130\%$ этого числа равны $3,9$;

г) $6,2\%$ этого числа равны $9,3$.

а)

Чтобы найти число по его проценту, необходимо значение, соответствующее этому проценту, разделить на сам процент, выраженный в виде десятичной дроби.

Пусть искомое число — это $x$. По условию задачи, $3\%$ от числа $x$ равны $1,8$.

Сначала представим проценты в виде десятичной дроби:
$3\% = \frac{3}{100} = 0,03$.

Теперь можно составить уравнение:
$0,03 \cdot x = 1,8$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0,03$:
$x = \frac{1,8}{0,03}$.

Для удобства вычислений, умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от дробей:
$x = \frac{1,8 \cdot 100}{0,03 \cdot 100} = \frac{180}{3} = 60$.

Следовательно, искомое число равно 60.

Ответ: 60

б)

Аналогично, найдем искомое число $x$, зная, что $85\%$ от него равны $17$.

Переведем проценты в десятичную дробь:
$85\% = \frac{85}{100} = 0,85$.

Составим и решим уравнение:
$0,85 \cdot x = 17$
$x = \frac{17}{0,85}$.

Умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{17 \cdot 100}{0,85 \cdot 100} = \frac{1700}{85} = 20$.

Таким образом, искомое число равно 20.

Ответ: 20

в)

В этом случае процент больше 100, но метод решения не меняется. Найдем число $x$, если $130\%$ от него равны $3,9$.

Переведем проценты в десятичную дробь:
$130\% = \frac{130}{100} = 1,3$.

Составим и решим уравнение:
$1,3 \cdot x = 3,9$
$x = \frac{3,9}{1,3}$.

Умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{3,9 \cdot 10}{1,3 \cdot 10} = \frac{39}{13} = 3$.

Искомое число равно 3.

Ответ: 3

г)

Найдем число $x$, зная, что $6,2\%$ от него равны $9,3$.

Переведем проценты в десятичную дробь:
$6,2\% = \frac{6,2}{100} = 0,062$.

Составим и решим уравнение:
$0,062 \cdot x = 9,3$
$x = \frac{9,3}{0,062}$.

Чтобы избавиться от дробей в делителе, умножим числитель и знаменатель на 1000:
$x = \frac{9,3 \cdot 1000}{0,062 \cdot 1000} = \frac{9300}{62} = 150$.

Следовательно, искомое число равно 150.

Ответ: 150