Страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. (Задача-исследование.) Из 36 учащихся класса каждый изучает хотя бы один иностранный язык — английский или немецкий. Известно, что 25 учащихся изучают английский язык, а 18 учащихся — немецкий язык. Сколько процентов всех учащихся изучают оба языка?

1) Укажите число учащихся, изучающих хотя бы один из этих языков.

2) Вычислите число учащихся, изучающих оба языка — английский и немецкий.

3) Найдите, сколько процентов учащихся изучают оба языка.

1) Укажите число учащихся, изучающих хотя бы один из этих языков.

В условии задачи сказано, что "Из 36 учащихся класса каждый изучает хотя бы один иностранный язык". Это означает, что все учащиеся в классе, а именно 36 человек, изучают по крайней мере один из предложенных языков.

Ответ: 36.

2) Вычислите число учащихся, изучающих оба языка — английский и немецкий.

Для решения этой части задачи воспользуемся формулой включений-исключений. Обозначим:

- $A$ — множество учащихся, изучающих английский язык. По условию, $|A| = 25$.

- $B$ — множество учащихся, изучающих немецкий язык. По условию, $|B| = 18$.

- $A \cup B$ — множество учащихся, изучающих хотя бы один из языков. Из пункта 1 мы знаем, что $|A \cup B| = 36$.

- $A \cap B$ — множество учащихся, изучающих оба языка (английский и немецкий). Это искомая величина.

Формула для объединения двух множеств выглядит так:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Чтобы найти количество учащихся, изучающих оба языка, выразим $|A \cap B|$ из этой формулы:

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

Теперь подставим известные значения:

$|A \cap B| = 25 + 18 - 36$

$|A \cap B| = 43 - 36 = 7$

Таким образом, 7 учащихся изучают оба языка.

Ответ: 7.

3) Найдите, сколько процентов учащихся изучают оба языка.

Чтобы найти процентное соотношение, нужно количество учащихся, изучающих оба языка, разделить на общее количество учащихся в классе и умножить на 100%.

Количество учащихся, изучающих оба языка: 7.

Общее количество учащихся в классе: 36.

Выполним расчет:

$\frac{7}{36} \times 100\% = \frac{700}{36}\%$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{700 \div 4}{36 \div 4}\% = \frac{175}{9}\%$

Выделим целую часть, чтобы получить смешанную дробь:

$\frac{175}{9}\% = 19\frac{4}{9}\%$

Следовательно, оба языка изучают $19\frac{4}{9}\%$ всех учащихся класса.

Ответ: $19\frac{4}{9}\%$.