Страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

57. Подберите какое-нибудь число, заключённое между числами:

а) 8,6 и 8,7;

б) $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{8}$;

в) -3,6 и -3,7;

г) $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$.

Результат запишите в виде двойного неравенства.

а) 8,6 и 8,7;
Чтобы найти число, заключенное между десятичными дробями 8,6 и 8,7, можно увеличить количество знаков после запятой. Представим эти числа как 8,60 и 8,70. Между ними находится любое число от 8,61 до 8,69. В качестве примера можно выбрать среднее арифметическое или любое другое число из этого интервала. Возьмем число 8,65.
Таким образом, мы можем записать двойное неравенство: $8,6 < 8,65 < 8,7$.
Ответ: $8,6 < 8,65 < 8,7$.

б) $ \frac{1}{7} $ и $ \frac{1}{8} $;
Чтобы найти число между двумя обыкновенными дробями, их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 8 равен $7 \times 8 = 56$.
$ \frac{1}{7} = \frac{1 \times 8}{7 \times 8} = \frac{8}{56} $
$ \frac{1}{8} = \frac{1 \times 7}{8 \times 7} = \frac{7}{56} $
Поскольку $ \frac{7}{56} < \frac{8}{56} $, то $ \frac{1}{8} < \frac{1}{7} $. Нам нужно найти число между $ \frac{7}{56} $ и $ \frac{8}{56} $. Для этого можно, например, удвоить знаменатель и числители:
$ \frac{7}{56} = \frac{14}{112} $ и $ \frac{8}{56} = \frac{16}{112} $.
Между дробями $ \frac{14}{112} $ и $ \frac{16}{112} $ находится, например, дробь $ \frac{15}{112} $.
Запишем итоговое двойное неравенство: $ \frac{1}{8} < \frac{15}{112} < \frac{1}{7} $.
Ответ: $ \frac{1}{8} < \frac{15}{112} < \frac{1}{7} $.

в) -3,6 и -3,7;
При сравнении отрицательных чисел, меньшим является то, чей модуль больше. Следовательно, $-3,7 < -3,6$.
Чтобы найти число между ними, представим их как -3,70 и -3,60. Любое число из интервала от -3,69 до -3,61 будет являться решением. Возьмем, к примеру, число -3,65.
Запишем двойное неравенство: $-3,7 < -3,65 < -3,6$.
Ответ: $-3,7 < -3,65 < -3,6$.

г) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{5}{6} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 - это 12.
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12} $
Поскольку $ \frac{9}{12} < \frac{10}{12} $, то $ \frac{3}{4} < \frac{5}{6} $. Нам нужно найти число между $ \frac{9}{12} $ и $ \frac{10}{12} $. Удвоим знаменатель и числители:
$ \frac{9}{12} = \frac{18}{24} $ и $ \frac{10}{12} = \frac{20}{24} $.
Между $ \frac{18}{24} $ и $ \frac{20}{24} $ находится дробь $ \frac{19}{24} $.
Запишем итоговое двойное неравенство: $ \frac{3}{4} < \frac{19}{24} < \frac{5}{6} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} < \frac{19}{24} < \frac{5}{6} $.

61. Верно ли неравенство:

а) $x \le 5.3$ при $x = 2,7; 5,3; 6;$

б) $y \ge 4.8$ при $y = 3,5; 4,8; 7,1;$

в) $0.6 < x \le 0.8$ при $x = 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9;$

г) $2.1 \le y \le 2.4$ при $y = 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5?$

а) Проверим неравенство $x \le 5,3$ для каждого из предложенных значений $x$.

При $x = 2,7$: неравенство $2,7 \le 5,3$ верно, так как 2,7 меньше 5,3.

При $x = 5,3$: неравенство $5,3 \le 5,3$ верно, так как знак «меньше или равно» допускает равенство.

При $x = 6$: неравенство $6 \le 5,3$ неверно, так как 6 больше 5,3.

Ответ: неравенство верно при $x = 2,7$ и $x = 5,3$; неверно при $x = 6$.

б) Проверим неравенство $y \ge 4,8$ для каждого из предложенных значений $y$.

При $y = 3,5$: неравенство $3,5 \ge 4,8$ неверно, так как 3,5 меньше 4,8.

При $y = 4,8$: неравенство $4,8 \ge 4,8$ верно, так как знак «больше или равно» допускает равенство.

При $y = 7,1$: неравенство $7,1 \ge 4,8$ верно, так как 7,1 больше 4,8.

Ответ: неравенство верно при $y = 4,8$ и $y = 7,1$; неверно при $y = 3,5$.

в) Проверим двойное неравенство $0,6 < x \le 0,8$ для каждого из предложенных значений $x$. Это неравенство означает, что $x$ должен быть строго больше 0,6 и одновременно меньше или равен 0,8.

При $x = 0,5$: левая часть неравенства $0,6 < 0,5$ неверна. Следовательно, все двойное неравенство неверно.

При $x = 0,6$: левая часть неравенства $0,6 < 0,6$ неверна (так как они равны, а неравенство строгое). Следовательно, все двойное неравенство неверно.

При $x = 0,7$: обе части неравенства, $0,6 < 0,7$ и $0,7 \le 0,8$, верны. Следовательно, двойное неравенство верно.

При $x = 0,8$: обе части неравенства, $0,6 < 0,8$ и $0,8 \le 0,8$, верны. Следовательно, двойное неравенство верно.

При $x = 0,9$: правая часть неравенства $0,9 \le 0,8$ неверна. Следовательно, все двойное неравенство неверно.

Ответ: неравенство верно при $x = 0,7$ и $x = 0,8$; неверно при $x = 0,5$, $x = 0,6$ и $x = 0,9$.

г) Проверим двойное неравенство $2,1 \le y \le 2,4$ для каждого из предложенных значений $y$. Это неравенство означает, что $y$ должен быть больше или равен 2,1 и одновременно меньше или равен 2,4.

При $y = 2,1$: обе части неравенства, $2,1 \le 2,1$ и $2,1 \le 2,4$, верны. Следовательно, двойное неравенство верно.

При $y = 2,2$: обе части неравенства, $2,1 \le 2,2$ и $2,2 \le 2,4$, верны. Следовательно, двойное неравенство верно.

При $y = 2,3$: обе части неравенства, $2,1 \le 2,3$ и $2,3 \le 2,4$, верны. Следовательно, двойное неравенство верно.

При $y = 2,4$: обе части неравенства, $2,1 \le 2,4$ и $2,4 \le 2,4$, верны. Следовательно, двойное неравенство верно.

При $y = 2,5$: правая часть неравенства $2,5 \le 2,4$ неверна. Следовательно, все двойное неравенство неверно.

Ответ: неравенство верно при $y = 2,1$, $y = 2,2$, $y = 2,3$ и $y = 2,4$; неверно при $y = 2,5$.

58. Запишите в виде двойного неравенства:

а) $0.7 < 0.79 < 0.8$

б) $6 < 6\frac{4}{5} < 7$

в) $-10 < -4.6 < 0$

г) $-16 < m < -15$

д) $2.65 < k < 2.66$

е) $m < y < n$

а) Условие "0,79 больше 0,7" записывается как неравенство $0,79 > 0,7$, что эквивалентно $0,7 < 0,79$. Условие "0,79 ... меньше 0,8" записывается как $0,79 < 0,8$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство, в котором число 0,79 находится между 0,7 и 0,8.
Ответ: $0,7 < 0,79 < 0,8$

б) Условие "6 4/5 больше 6" записывается как неравенство $6\frac{4}{5} > 6$, что эквивалентно $6 < 6\frac{4}{5}$. Условие "6 4/5 ... меньше 7" записывается как $6\frac{4}{5} < 7$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство, где смешанное число $6\frac{4}{5}$ находится между 6 и 7.
Ответ: $6 < 6\frac{4}{5} < 7$

в) Условие "-4,6 больше -10" записывается как неравенство $-4,6 > -10$, что эквивалентно $-10 < -4,6$. Условие "-4,6 ... меньше 0" записывается как $-4,6 < 0$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство, где число -4,6 находится между -10 и 0.
Ответ: $-10 < -4,6 < 0$

г) Условие "m больше -16" записывается как неравенство $m > -16$, что эквивалентно $-16 < m$. Условие "m ... меньше -15" записывается как $m < -15$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство для переменной m.
Ответ: $-16 < m < -15$

д) Условие "k больше 2,65" записывается как неравенство $k > 2,65$, что эквивалентно $2,65 < k$. Условие "k ... меньше 2,66" записывается как $k < 2,66$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство для переменной k.
Ответ: $2,65 < k < 2,66$

е) Условие "y больше m" записывается как неравенство $y > m$, что эквивалентно $m < y$. Условие "y ... меньше n" записывается как $y < n$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство, связывающее переменные y, m и n.
Ответ: $m < y < n$

62. Запишите с помощью знаков неравенства:

а) $x \le 8$

б) $y \ge 0$

в) $5 < a \le 7$

г) $-2 \le b < 1$

а) Условие «x меньше или равно 8» означает, что переменная x может быть равна 8 или любому числу, которое меньше 8. Для записи этого утверждения используется знак нестрогого неравенства «меньше или равно» ($ \le $).
Ответ: $x \le 8$

б) Условие «y больше или равно 0» означает, что переменная y может быть равна 0 или любому числу, которое больше 0. Для записи этого утверждения используется знак нестрогого неравенства «больше или равно» ($ \ge $).
Ответ: $y \ge 0$

в) Это двойное неравенство, которое объединяет два условия. Условие «a больше 5» записывается как $a > 5$ (строгое неравенство). Условие «a меньше или равно 7» записывается как $a \le 7$ (нестрогое неравенство). Объединяя эти два условия в одно, получаем.
Ответ: $5 < a \le 7$

г) Это также двойное неравенство. Условие «b больше или равно -2» записывается как $b \ge -2$ (нестрогое неравенство). Условие «b меньше 1» записывается как $b < 1$ (строгое неравенство). Объединяя эти два условия в одну запись, получаем.
Ответ: $-2 \le b < 1$

59. На координатной прямой точками отмечены числа $a$, $b$ и $c$ (рис. 3). Укажите для каждой точки соответствующее ей число, если известно, что $a > b$ и $c > a$. Составьте из чисел $a$, $b$ и $c$ двойное неравенство с помощью знака $<$.

Для решения задачи необходимо проанализировать данные неравенства и на их основе определить взаимное расположение чисел a, b и c на координатной прямой.

Указание для каждой точки соответствующего ей числа

В условии задачи даны два неравенства: $a > b$ и $c > a$.

Неравенство $a > b$ показывает, что число a больше числа b. На координатной прямой точка, соответствующая большему числу, находится правее точки, соответствующей меньшему числу. Таким образом, точка a находится правее точки b.

Неравенство $c > a$ показывает, что число c больше числа a. Следовательно, точка c находится правее точки a.

Теперь объединим оба условия. Мы знаем, что c находится правее a, а a находится правее b. Расположив числа в порядке убывания, мы получаем следующую цепочку неравенств: $c > a > b$.

На координатной прямой, упомянутой в задаче (рис. 3), точки располагаются в порядке возрастания их значений слева направо. Исходя из нашего вывода $c > a > b$, мы можем сопоставить числа точкам:

1. Самое маленькое число — это b, значит, оно соответствует самой левой точке.
2. Следующее по величине число — это a, значит, оно соответствует точке, расположенной посередине.
3. Самое большое число — это c, значит, оно соответствует самой правой точке.

Ответ: Самой левой точке соответствует число b, средней точке — число a, самой правой точке — число c.

Составление из чисел a, b и c двойного неравенства с помощью знака <

Чтобы составить двойное неравенство с помощью знака «меньше» (<), необходимо расположить числа в порядке их возрастания, то есть от наименьшего к наибольшему.

Как мы уже установили, порядок чисел по возрастанию следующий: b, затем a, затем c. Это можно записать как два отдельных неравенства: $b < a$ и $a < c$.

Объединяя эти два неравенства в одно двойное, мы получаем итоговое выражение.

Ответ: $b < a < c$.

56. Запишите в виде двойного неравенства:

а) $8 < 13 < 15$

б) $4.1 < 4.18 < 4.2$

в) $63 < 63.5 < 64$

г) $-11 < -8.1 < -7$

д) $1.8 < a < 2.8$

е) $a < x < b$

а) Условие "8 меньше 13" записывается в виде неравенства $8 < 13$. Условие "13 меньше 15" записывается как $13 < 15$. Объединив эти два неравенства, мы можем записать их в виде одного двойного неравенства, так как у них есть общий член (13).
Ответ: $8 < 13 < 15$

б) Условие "4,1 меньше 4,18" записывается как $4,1 < 4,18$. Условие "4,18 меньше 4,2" записывается как $4,18 < 4,2$. Эти два неравенства имеют общий член (4,18) и могут быть объединены в двойное неравенство.
Ответ: $4,1 < 4,18 < 4,2$

в) Условие "63,5 больше 63" означает, что $63,5 > 63$, что эквивалентно записи $63 < 63,5$. Условие "и меньше 64" означает, что $63,5 < 64$. Объединяя эти два факта, мы получаем, что число 63,5 находится между 63 и 64.
Ответ: $63 < 63,5 < 64$

г) Условие "-8,1 больше -11" записывается как $-8,1 > -11$ или, что то же самое, $-11 < -8,1$. Условие "и меньше -7" означает, что $-8,1 < -7$. Объединяя эти два неравенства, мы показываем, что число -8,1 находится на числовой прямой между -11 и -7.
Ответ: $-11 < -8,1 < -7$

д) Условие "$a$ больше 1,8" записывается как $a > 1,8$ или $1,8 < a$. Условие "и меньше 2,8" записывается как $a < 2,8$. Объединяя эти два неравенства, мы получаем, что переменная $a$ принимает значения в интервале от 1,8 до 2,8.
Ответ: $1,8 < a < 2,8$

е) Условие "$x$ больше $a$" записывается как $x > a$ или $a < x$. Условие "и меньше $b$" записывается как $x < b$. Объединяя эти два неравенства, мы получаем, что переменная $x$ принимает значения между $a$ и $b$.
Ответ: $a < x < b$

60. Прочитайте неравенство:

а) $7,3 \leq x$;

б) $y \geq 0,83$;

в) $a \geq -10,4$;

г) $k \leq 0,5$;

д) $4,4 \leq n \leq 6,1$;

е) $7,6 \leq m \leq 20,8$;

ж) $-5 \leq a < -2$;

з) $x \leq b \leq y$.

а) Данное неравенство $7,3 \le x$ эквивалентно неравенству $x \ge 7,3$. Знак $\ge$ читается как «больше или равно». Обычно неравенства читают, начиная с переменной, поэтому правильное чтение будет: «икс больше или равен семи целым трем десятым». Также возможен дословный перевод: «семь целых три десятых меньше или равно икс». Ответ: икс больше или равен семи целым трем десятым.

б) В неравенстве $y \ge 0,83$ знак $\ge$ читается как «больше или равно». Неравенство читается слева направо: «игрек больше или равен нулю целым восьмидесяти трем сотым». Ответ: игрек больше или равен нулю целым восьмидесяти трем сотым.

в) В неравенстве $a \ge -10,4$ знак $\ge$ читается как «больше или равно». Читаем слева направо: «а больше или равно минус десяти целым четырем десятым». Ответ: а больше или равно минус десяти целым четырем десятым.

г) В неравенстве $k \le 0,5$ знак $\le$ читается как «меньше или равно». Читаем слева направо: «ка меньше или равно нулю целым пяти десятым». Ответ: ка меньше или равно нулю целым пяти десятым.

д) Двойное неравенство $4,4 \le n \le 6,1$ читается от центральной переменной $n$ к его границам. Оно представляет собой систему из двух неравенств: $n \ge 4,4$ и $n \le 6,1$. Читается это так: «эн больше или равно четырем целым четырем десятым и меньше или равно шести целым одной десятой». Ответ: эн больше или равно четырем целым четырем десятым и меньше или равно шести целым одной десятой.

е) Двойное неравенство $7,6 \le m \le 20,8$ читается, начиная с переменной $m$. Оно означает, что $m$ одновременно больше или равно $7,6$ и меньше или равно $20,8$. Полное чтение: «эм больше или равно семи целым шести десятым и меньше или равно двадцати целым восьми десятым». Ответ: эм больше или равно семи целым шести десятым и меньше или равно двадцати целым восьми десятым.

ж) Двойное неравенство $-5 \le a < -2$ содержит нестрогий знак $\le$ («меньше или равно») и строгий знак < («меньше»). Его читают от переменной $a$. Оно означает, что $a$ больше или равно $-5$ и одновременно строго меньше $-2$. Чтение: «а больше или равно минус пяти и меньше минус двух». Ответ: а больше или равно минус пяти и меньше минус двух.

з) Двойное неравенство $x \le b \le y$ с переменными в качестве границ читается от центральной переменной $b$. Оно означает, что значение $b$ находится между значениями $x$ и $y$, включая их. Чтение: «бэ больше или равно икс и меньше или равно игрек». Ответ: бэ больше или равно икс и меньше или равно игрек.