Страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

65. Один автомобиль прошёл 700 км за $x$ ч, а другой автомобиль прошёл 630 км за $y$ ч. Сравните средние скорости автомобилей, если:

a) $x = 12,5, y = 10,5;$

б) $x = y = 14.$

Для решения задачи необходимо найти и сравнить средние скорости первого и второго автомобилей в каждом из предложенных случаев.

Средняя скорость вычисляется по формуле $v = S / t$, где $S$ — пройденное расстояние, а $t$ — время в пути.

Пусть $v_1$ — скорость первого автомобиля, а $v_2$ — скорость второго автомобиля.

Исходя из условий задачи:
Скорость первого автомобиля: $v_1 = 700 / x$ км/ч.
Скорость второго автомобиля: $v_2 = 630 / y$ км/ч.

а)

Подставим значения $x = 12,5$ ч и $y = 10,5$ ч.

Найдем среднюю скорость первого автомобиля:
$v_1 = 700 / 12,5 = 56$ км/ч.

Найдем среднюю скорость второго автомобиля:
$v_2 = 630 / 10,5 = 60$ км/ч.

Теперь сравним полученные скорости:
$56$ км/ч $ < $ $60$ км/ч, следовательно, $v_1 < v_2$.

Ответ: средняя скорость второго автомобиля больше средней скорости первого.

б)

Подставим значения $x = 14$ ч и $y = 14$ ч.

Найдем среднюю скорость первого автомобиля:
$v_1 = 700 / 14 = 50$ км/ч.

Найдем среднюю скорость второго автомобиля:
$v_2 = 630 / 14 = 45$ км/ч.

Теперь сравним полученные скорости:
$50$ км/ч $ > $ $45$ км/ч, следовательно, $v_1 > v_2$.

Ответ: средняя скорость первого автомобиля больше средней скорости второго.

69. Запишите в виде выражения:

а) сумму числа $x$ и произведения чисел $a$ и $b$;

б) частное от деления числа $a$ на разность чисел $b$ и $c$;

в) произведение суммы чисел $x$ и $a$ и разности чисел $x$ и $b$.

а) Данное выражение состоит из двух частей: числа $x$ и произведения чисел $a$ и $b$. Произведение чисел $a$ и $b$ записывается как $a \cdot b$ или, опуская знак умножения, $ab$. Сумма числа $x$ и этого произведения записывается как сложение двух этих частей.
Выражение: $x + ab$
Ответ: $x + ab$

б) В этом выражении нам нужно найти частное. Делимым является число $a$. Делителем является разность чисел $b$ и $c$. Разность чисел $b$ и $c$ записывается как $b - c$. Частное от деления $a$ на $(b-c)$ можно записать с помощью знака деления или в виде дроби. Важно, что разность является единым делителем, поэтому в случае линейной записи ее нужно взять в скобки.
Выражение: $a : (b - c)$ или $\frac{a}{b-c}$
Ответ: $\frac{a}{b-c}$

в) Это выражение является произведением двух сомножителей. Первый сомножитель — это сумма чисел $x$ и $a$, которая записывается как $x + a$. Второй сомножитель — это разность чисел $x$ и $b$, которая записывается как $x - b$. Чтобы показать, что мы перемножаем именно сумму и разность, а не отдельные числа, каждое из этих выражений необходимо взять в скобки.
Выражение: $(x + a)(x - b)$
Ответ: $(x + a)(x - b)$

66. Сколько процентов составляет:

а) число 8 от числа 200;

б) число 2,1 от числа 14?

а) Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

В данном случае нам нужно найти, сколько процентов число 8 составляет от числа 200.

Выполним вычисление по формуле:

$ \frac{8}{200} \times 100\% $

Сначала разделим 8 на 200:

$ \frac{8}{200} = 0,04 $

Теперь умножим полученный результат на 100, чтобы выразить его в процентах:

$ 0,04 \times 100\% = 4\% $

Ответ: 4%.

б) Аналогично, чтобы найти, сколько процентов число 2,1 составляет от числа 14, воспользуемся той же формулой.

Выполним вычисление:

$ \frac{2,1}{14} \times 100\% $

Сначала разделим 2,1 на 14. Чтобы упростить деление, можно умножить и числитель, и знаменатель на 10:

$ \frac{2,1}{14} = \frac{21}{140} $

Сократим полученную дробь. Оба числа, 21 и 140, делятся на 7:

$ \frac{21 \div 7}{140 \div 7} = \frac{3}{20} $

Переведем дробь $ \frac{3}{20} $ в десятичный вид:

$ \frac{3}{20} = 0,15 $

Теперь умножим полученный результат на 100, чтобы выразить его в процентах:

$ 0,15 \times 100\% = 15\% $

Ответ: 15%.

63. Запишите в виде неравенства:

а) $x < 0$

б) $m > 0$

в) $y \ge 0$

г) $z \le 0$

а) Утверждение "x — отрицательное число" означает, что число $x$ меньше нуля. На числовой оси все отрицательные числа располагаются левее нуля. Для обозначения "меньше" используется знак <. Таким образом, данное утверждение можно записать в виде неравенства.

Ответ: $x < 0$

б) Утверждение "m — положительное число" означает, что число $m$ больше нуля. На числовой оси все положительные числа располагаются правее нуля. Для обозначения "больше" используется знак $>$. Таким образом, данное утверждение можно записать в виде неравенства.

Ответ: $m > 0$

в) Утверждение "y — неотрицательное число" означает, что число $y$ не является отрицательным. Это значит, что $y$ может быть либо положительным числом, либо нулём. Другими словами, $y$ больше или равно нулю. Для обозначения "больше или равно" используется знак $\ge$. Таким образом, данное утверждение можно записать в виде нестрогого неравенства.

Ответ: $y \ge 0$

г) Утверждение "z — неположительное число" означает, что число $z$ не является положительным. Это значит, что $z$ может быть либо отрицательным числом, либо нулём. Другими словами, $z$ меньше или равно нулю. Для обозначения "меньше или равно" используется знак $\le$. Таким образом, данное утверждение можно записать в виде нестрогого неравенства.

Ответ: $z \le 0$

67. В результате рационализации производства удалось сократить число рабочих на комбинате. Вместо 1600 их осталось 1200. На сколько процентов сократилось число рабочих?

Для того чтобы определить, на сколько процентов сократилось число рабочих, необходимо сначала найти абсолютное сокращение, а затем вычислить, какую долю это сокращение составляет от первоначального числа рабочих.

1. Находим разницу между первоначальным и конечным числом рабочих.
Изначально было 1600 рабочих, осталось 1200.
Сокращение составило: $1600 - 1200 = 400$ рабочих.

2. Теперь рассчитаем, какой процент составляют 400 сокращенных рабочих от первоначального общего числа в 1600 рабочих. Для этого разделим величину сокращения на первоначальное количество и умножим результат на 100%.
Процентное сокращение = $(\frac{\text{абсолютное сокращение}}{\text{первоначальное количество}}) \times 100\%$
$(\frac{400}{1600}) \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Ответ: число рабочих сократилось на 25%.

64. Запишите в виде двойного неравенства:

а) $11 \le x < 12$;

б) $50 < y \le 100$;

в) $350 < a < 400$;

г) $-100 \le b \le -10$.

а) Условие "x больше или равно 11" записывается в виде неравенства $x \ge 11$. Условие "x меньше 12" записывается как $x < 12$. Объединяя эти два неравенства в одно двойное, мы ставим переменную $x$ между числами 11 и 12, используя соответствующие знаки неравенства. Получаем: $11 \le x < 12$.
Ответ: $11 \le x < 12$

б) Условие "y больше 50" записывается в виде неравенства $y > 50$. Условие "y меньше или равно 100" записывается как $y \le 100$. Соединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $50 < y \le 100$.
Ответ: $50 < y \le 100$

в) Условие "a больше 350" соответствует неравенству $a > 350$. Условие "a меньше 400" соответствует неравенству $a < 400$. Объединив их в двойное неравенство, получаем: $350 < a < 400$.
Ответ: $350 < a < 400$

г) Условие "b больше или равно -100" записывается как $b \ge -100$. Условие "b меньше или равно -10" записывается как $b \le -10$. Объединяя эти два неравенства в одно двойное, получаем: $-100 \le b \le -10$.
Ответ: $-100 \le b \le -10$

68. Найдите значение выражения:

а) $37,6 - 5,84 + 3,95 - 8,9;$

б) $81 - 45,34 + 19,6 + 21,75;$

в) $17,1 \cdot 3,8 \div 4,5 \cdot 0,5;$

г) $81,9 \div 4,5 \div 0,28 \cdot 1,2.$

а) $37,6 - 5,84 + 3,95 - 8,9$
Выполним арифметические действия в порядке их следования:
1) $37,6 - 5,84 = 31,76$
2) $31,76 + 3,95 = 35,71$
3) $35,71 - 8,9 = 26,81$
Ответ: $26,81$

б) $81 - 45,34 + 19,6 + 21,75$
Выполним арифметические действия в порядке их следования:
1) $81 - 45,34 = 35,66$
2) $35,66 + 19,6 = 55,26$
3) $55,26 + 21,75 = 77,01$
Ответ: $77,01$

в) $17,1 \cdot 3,8 : 4,5 \cdot 0,5$
Действия умножения и деления имеют равный приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо:
1) $17,1 \cdot 3,8 = 64,98$
2) $64,98 : 4,5 = 14,44$
3) $14,44 \cdot 0,5 = 7,22$
Ответ: $7,22$

г) $81,9 : 4,5 : 0,28 \cdot 1,2$
Действия деления и умножения имеют равный приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо:
1) $81,9 : 4,5 = 18,2$
2) $18,2 : 0,28$. Для удобства деления на десятичную дробь, умножим делимое и делитель на 100: $1820 : 28 = 65$
3) $65 \cdot 1,2 = 78$
Ответ: $78$

4. Приведите пример двойного неравенства и прочитайте его.

Двойное неравенство — это математическое выражение, которое показывает, что некоторая величина (число или переменная) находится в пределах между двумя другими значениями. Фактически, это краткая запись системы из двух неравенств.

Пример двойного неравенства

Рассмотрим следующее двойное неравенство с переменной $x$:

$3 < x \le 8$

Это неравенство объединяет два условия, которые должны выполняться одновременно:

1. $x > 3$ (значение $x$ строго больше трёх)
2. $x \le 8$ (значение $x$ меньше или равно восьми)

Таким образом, переменная $x$ может принимать любое значение из числового промежутка $(3; 8]$, например, $4$, $5.7$, или $8$, но не может быть равно $3$ или, например, $9$.

Ответ: Примером двойного неравенства является $3 < x \le 8$.

Чтение двойного неравенства

Неравенство $3 < x \le 8$ читается, как правило, начиная с центральной части (переменной):

«Икс больше трёх и меньше или равен восьми».

Этот способ чтения наиболее удобен для восприятия, так как он последовательно описывает ограничения, накладываемые на переменную $x$.

Возможен и другой, более дословный вариант чтения, слева направо:

«Три меньше икс, икс меньше или равен восьми».

Ответ: Неравенство $3 < x \le 8$ читается как «икс больше трёх и меньше или равен восьми».

1 Приведите пример числового выражения и выражения с переменными.

Числовое выражение

Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел, соединенных знаками арифметических действий (+, −, ·, ÷), и может также содержать скобки. Важной особенностью числового выражения является то, что оно не содержит переменных (букв) и его значением является одно конкретное число, которое можно получить, выполнив все указанные операции в правильном порядке.

Примером числового выражения может служить: $ (50 - 14) \div 4 + 3 \cdot 5 $.

Это выражение состоит только из чисел, знаков действий и скобок. Если его вычислить, мы получим:

$ (50 - 14) \div 4 + 3 \cdot 5 = 36 \div 4 + 15 = 9 + 15 = 24 $.

Ответ: $ (50 - 14) \div 4 + 3 \cdot 5 $.

Выражение с переменными

Выражение с переменными (также называемое алгебраическим выражением) — это запись, которая помимо чисел, знаков арифметических действий и скобок, содержит одну или несколько переменных, обозначенных буквами (например, $a, b, x, y$).

В отличие от числового выражения, значение выражения с переменными не является постоянным, а зависит от тех числовых значений, которые подставляются вместо переменных.

Примером выражения с переменными является: $ 2x + 3(y - 4) $.

Здесь $x$ и $y$ — это переменные. Значение всего выражения будет меняться в зависимости от их значений. Например:

• Если $x=5$ и $y=6$, то выражение равно: $ 2 \cdot 5 + 3(6 - 4) = 10 + 3 \cdot 2 = 10 + 6 = 16 $.
• Если $x=1$ и $y=10$, то выражение равно: $ 2 \cdot 1 + 3(10 - 4) = 2 + 3 \cdot 6 = 2 + 18 = 20 $.

Ответ: $ 2x + 3(y - 4) $.

5 Как читаются знаки $\ge$ и $\le$? Какое неравенство называется строгим и какое нестрогим? Приведите пример строгого неравенства, нестрогого неравенства.

Как читаются знаки $\ge$ и $\le$?

Знак неравенства $\ge$ читается как «больше или равно». Эта запись означает, что значение, стоящее слева от знака, либо больше значения, стоящего справа, либо равно ему. Например, запись $a \ge b$ означает, что «$a$ больше или равно $b$».

Знак неравенства $\le$ читается как «меньше или равно». Эта запись означает, что значение, стоящее слева от знака, либо меньше значения, стоящего справа, либо равно ему. Например, запись $c \le d$ означает, что «$c$ меньше или равно $d$».

Ответ: Знак $\ge$ читается «больше или равно», а знак $\le$ — «меньше или равно».

Какое неравенство называется строгим и какое нестрогим?

Строгим неравенством называют неравенство, в записи которого используются знаки «больше» ($>$) или «меньше» (<). Эти знаки исключают возможность равенства между сравниваемыми числами или выражениями.

Нестрогим неравенством называют неравенство, в записи которого используются знаки «больше или равно» ($\ge$) или «меньше или равно» ($\le$). Эти знаки допускают возможность того, что сравниваемые числа или выражения равны.

Ответ: Строгим называется неравенство со знаками $>$ или <, а нестрогим — со знаками $\ge$ или $\le$.

Приведите пример строгого неравенства, нестрогого неравенства.

Пример строгого неравенства:

Неравенство $12 > 7$ является строгим. Оно показывает, что число 12 строго больше числа 7. Пример с переменной: $x < 100$. Это неравенство означает, что переменная $x$ может принимать любое значение, которое строго меньше 100.

Пример нестрогого неравенства:

Неравенство $15 \ge 15$ является нестрогим и верным, так как выполняется условие равенства. Неравенство $20 \le 30$ также является нестрогим и верным. Пример с переменной: $y \ge 0$. Это неравенство означает, что переменная $y$ может быть равна нулю или любому числу больше нуля.

Ответ: Пример строгого неравенства: $5 > 1$. Пример нестрогого неравенства: $a \le 25$.

2 Имеет ли смысл выражение: $\frac{36}{2 \cdot 16 - 32} : \frac{42 - 6 \cdot 7}{37 - 11}$?

Для того чтобы определить, имеет ли смысл данное выражение, необходимо проверить, не содержит ли оно недопустимых математических операций, в первую очередь — деления на ноль.

Рассмотрим выражение: $ \frac{36}{2 \cdot 16 - 32} : \frac{42 - 6 \cdot 7}{37 - 11} $.

Это выражение представляет собой операцию деления одной дроби на другую. Проанализируем каждую часть выражения по отдельности.

Анализ первой дроби (делимого)

Первая дробь в выражении — это $ \frac{36}{2 \cdot 16 - 32} $. Чтобы она имела смысл, ее знаменатель не должен быть равен нулю. Вычислим значение знаменателя, соблюдая порядок действий (сначала умножение, затем вычитание):

$ 2 \cdot 16 - 32 = 32 - 32 = 0 $

Поскольку знаменатель первой дроби равен нулю, мы получаем операцию деления на ноль ($ \frac{36}{0} $), которая не определена в математике. Следовательно, первая дробь не имеет смысла. Так как один из компонентов выражения не имеет смысла, то и всё выражение в целом является бессмысленным.

Анализ второй дроби (делителя)

Для полноты решения, проанализируем также и вторую дробь, которая является делителем: $ \frac{42 - 6 \cdot 7}{37 - 11} $.

Вычислим значение ее числителя:

$ 42 - 6 \cdot 7 = 42 - 42 = 0 $

Вычислим значение ее знаменателя:

$ 37 - 11 = 26 $

Таким образом, значение второй дроби равно $ \frac{0}{26} = 0 $.

Всё выражение можно представить как деление первой дроби (которая, как мы выяснили, не определена) на вторую дробь, равную нулю. Деление на ноль — это недопустимая операция. Это является второй причиной, по которой данное выражение не имеет смысла.

Главной причиной является то, что уже первая часть выражения не определена.

Ответ: Нет, выражение не имеет смысла, так как оно содержит деление на ноль: знаменатель первой дроби $2 \cdot 16 - 32$ равен нулю.

3 Сравните значения выражений $x + 3$ и $3x$ при $x = -4$; $x = 1,5$; $x = 5$.

Чтобы сравнить значения выражений $x + 3$ и $3x$ при заданных значениях $x$, необходимо подставить каждое значение в оба выражения и сравнить полученные результаты.