Страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. В 250 г водного раствора соли содержалось $x$ г соли. Какой стала концентрация раствора после добавления в него 5 г соли?

Выберите верный ответ.

1. $\frac{x}{250} \cdot 100\%$

2. $\frac{x+5}{250} \cdot 100\%$

3. $\frac{x}{255} \cdot 100\%$

4. $\frac{x+5}{255} \cdot 100\%$

Для решения этой задачи нужно определить, как изменятся масса соли и общая масса раствора после добавления 5 г соли, а затем рассчитать новую концентрацию.

1. Расчет новой массы соли.

Изначально в растворе содержалось $x$ г соли. После добавления еще 5 г, новая масса соли в растворе стала равна сумме начальной и добавленной массы:

$m_{соли\_новая} = x + 5$ г

2. Расчет новой массы раствора.

Изначальная масса всего раствора была $250$ г. Когда в раствор добавляют вещество, общая масса раствора увеличивается на массу этого вещества. Таким образом, новая масса раствора стала:

$m_{раствора\_новая} = 250 + 5 = 255$ г

3. Расчет новой концентрации.

Процентная концентрация раствора (массовая доля) вычисляется по формуле:

$C = \frac{\text{масса растворенного вещества}}{\text{общая масса раствора}} \cdot 100\%$

Подставим в формулу новые значения массы соли и массы раствора:

$C_{новая} = \frac{x + 5}{255} \cdot 100\%$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту №4.

Ответ: 4. $\frac{x + 5}{255} \cdot 100\%$

37. Прочитайте, пользуясь терминами «сумма», «разность», «произведение» и «частное», выражение:

а) $mx;$

б) $10 + ab;$

в) $(a + 5)x;$

г) $m - 8a;$

д) $2x + 1;$

е) $\frac{a}{b} + c;$

ж) $ab + bc;$

з) $(a - b)(a + b).$

а) Выражение $mx$ представляет собой умножение переменной $m$ на переменную $x$. Такое действие называется произведением.
Ответ: произведение $m$ и $x$.

б) Выражение $10 + ab$ представляет собой сложение числа 10 и произведения переменных $a$ и $b$. Это является суммой.
Ответ: сумма числа 10 и произведения $a$ и $b$.

в) Выражение $(a + 5)x$ представляет собой произведение, где первый множитель — это сумма переменной $a$ и числа 5, а второй множитель — переменная $x$.
Ответ: произведение суммы $a$ и 5 на $x$.

г) Выражение $m - 8a$ представляет собой вычитание из переменной $m$ произведения числа 8 на переменную $a$. Это является разностью.
Ответ: разность $m$ и произведения 8 и $a$.

д) Выражение $2x + 1$ представляет собой сумму, где первое слагаемое — это произведение числа 2 на переменную $x$, а второе слагаемое — число 1.
Ответ: сумма произведения 2 и $x$ и числа 1.

е) Выражение $\frac{a}{b} + c$ представляет собой сумму, где первое слагаемое — это частное от деления переменной $a$ на переменную $b$, а второе слагаемое — переменная $c$.
Ответ: сумма частного $a$ и $b$ и переменной $c$.

ж) Выражение $ab + bc$ представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых является произведением: первое — $a$ и $b$, второе — $b$ и $c$.
Ответ: сумма произведения $a$ и $b$ и произведения $b$ и $c$.

з) Выражение $(a - b)(a + b)$ представляет собой произведение разности переменных $a$ и $b$ на их же сумму.
Ответ: произведение разности $a$ и $b$ на сумму $a$ и $b$.

34. В сплаве олова и свинца массой 20 кг содержалось $x$ кг олова. Каким стало процентное содержание олова в сплаве после добавления в него 2 кг олова?

Для того чтобы найти новое процентное содержание олова в сплаве, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить новую массу олова.
Изначально в сплаве было $x$ кг олова. После добавления еще 2 кг олова, его масса стала:
$m_{олова\_новое} = x + 2$ кг.

2. Определить новую общую массу сплава.
Изначальная масса сплава составляла 20 кг. После добавления 2 кг олова, общая масса сплава стала:
$M_{сплава\_новое} = 20 + 2 = 22$ кг.

3. Рассчитать процентное содержание олова в новом сплаве.
Процентное содержание компонента в смеси рассчитывается по формуле:
$P = \frac{\text{масса компонента}}{\text{общая масса смеси}} \times 100\%$
Подставим в формулу новые значения массы олова и общей массы сплава:
$P_{олова} = \frac{x + 2}{22} \times 100$

Теперь упростим полученное выражение, сократив дробь $\frac{100}{22}$ на 2:
$P_{олова} = \frac{50(x + 2)}{11}$

Ответ: Процентное содержание олова в сплаве стало равно $\frac{50(x+2)}{11}\%$.

38. Запишите в виде выражения:

а) сумму чисел b и c; $b+c$

б) разность чисел a и m; $a-m$

в) квадрат числа x; $x^2$

г) куб числа y; $y^3$

д) сумму числа x и произведения чисел a и b; $x + ab$

е) разность числа m и частного чисел x и y; $m - \frac{x}{y}$

ж) произведение суммы чисел a и b и числа c; $(a+b)c$

з) произведение числа a и суммы чисел x и y; $a(x+y)$

а) Сумма — это результат сложения. Чтобы записать сумму чисел b и c, нужно использовать знак сложения «+» между ними.
Ответ: $b + c$

б) Разность — это результат вычитания. Чтобы записать разность чисел a и m, нужно вычесть m из a, используя знак «–».
Ответ: $a - m$

в) Квадрат числа — это число, умноженное само на себя, или число во второй степени. Квадрат числа x записывается как x с показателем степени 2.
Ответ: $x^2$

г) Куб числа — это число, умноженное само на себя дважды, или число в третьей степени. Куб числа y записывается как y с показателем степени 3.
Ответ: $y^3$

д) Сначала нужно найти произведение чисел a и b, что записывается как $a \cdot b$ или просто $ab$. Затем к числу x нужно прибавить это произведение.
Ответ: $x + ab$

е) Сначала нужно найти частное чисел x и y, что является результатом деления x на y и записывается в виде дроби $\frac{x}{y}$. Затем из числа m нужно вычесть это частное.
Ответ: $m - \frac{x}{y}$

ж) Сначала нужно найти сумму чисел a и b: $(a + b)$. Скобки используются для того, чтобы показать, что сначала выполняется сложение. Затем результат этой суммы умножается на число c.
Ответ: $(a + b)c$

з) Сначала нужно найти сумму чисел x и y: $(x + y)$. Затем число a умножается на результат этой суммы. Скобки необходимы, чтобы показать, что a умножается на всю сумму, а не только на x.
Ответ: $a(x + y)$

31. На рисунке 1 указаны длины отрезков (в сантиметрах). Для каждой фигуры составьте выражение для вычисления её площади (в квадратных сантиметрах).

$S_1 = ab - (a - 2d)c$

$S_2 = xm + y(n - m)$

Рис. 1

Для первой фигуры (слева)

Для вычисления площади этой фигуры можно использовать метод вычитания. Мысленно представим фигуру как большой прямоугольник, из которого сверху вырезали меньший прямоугольник.

1. Сначала найдем площадь большого прямоугольника. Его ширина равна $a$, а высота равна $b$. Его площадь $S_{большой}$ вычисляется по формуле:

$S_{большой} = a \cdot b$

2. Теперь определим размеры и площадь вырезанной части. Высота вырезанного прямоугольника равна $c$. Его ширина равна общей ширине $a$ за вычетом ширины двух боковых частей, каждая из которых имеет ширину $d$. Таким образом, ширина выреза равна $a - d - d = a - 2d$. Площадь вырезанной части $S_{вырез}$ равна:

$S_{вырез} = c \cdot (a - 2d)$

3. Искомая площадь фигуры $S$ — это разность площади большого прямоугольника и площади вырезанной части:

$S = S_{большой} - S_{вырез} = ab - c(a - 2d)$

Ответ: $S = ab - c(a - 2d)$

Для второй фигуры (справа)

Площадь этой Г-образной фигуры можно вычислить, разделив ее на два прямоугольника. Это можно сделать двумя способами: горизонтальным или вертикальным разрезом.

Способ 1: Горизонтальное разделение

1. Разделим фигуру на верхний горизонтальный прямоугольник и нижний прямоугольник.

2. Верхний прямоугольник имеет ширину $x$ и высоту $m$. Его площадь $S_{верх} = x \cdot m$.

3. Нижний прямоугольник имеет ширину $y$ и высоту, равную разности общей высоты $n$ и высоты верхнего прямоугольника $m$, то есть $n - m$. Его площадь $S_{низ} = y \cdot (n - m)$.

4. Общая площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих двух прямоугольников:

$S = S_{верх} + S_{низ} = xm + y(n - m)$

Способ 2: Вертикальное разделение (альтернативный)

1. Разделим фигуру на левый вертикальный прямоугольник и правый прямоугольник.

2. Левый прямоугольник имеет ширину $y$ и высоту $n$. Его площадь $S_{лев} = y \cdot n$.

3. Правый прямоугольник имеет высоту $m$ и ширину, равную разности общей ширины $x$ и ширины левого прямоугольника $y$, то есть $x - y$. Его площадь $S_{прав} = m \cdot (x - y)$.

4. Общая площадь фигуры $S$ равна сумме их площадей: $S = yn + m(x - y)$.

Оба полученных выражения эквивалентны.

Ответ: $S = xm + y(n - m)$

35. Длина прямоугольника $a$ см, ширина $b$ см. Что означает выражение:

а) $ab$;

б) $2a+2b$;

в) $a+b$;

г) $2a$?

а) Выражение $ab$ представляет собой произведение длины $a$ на ширину $b$ прямоугольника. По определению, площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину.

Ответ: Площадь прямоугольника.

б) Выражение $2a + 2b$ представляет собой сумму длин всех четырех сторон прямоугольника ($a+b+a+b$). Сумма длин всех сторон геометрической фигуры называется ее периметром. Данное выражение можно также записать как $2(a+b)$.

Ответ: Периметр прямоугольника.

в) Выражение $a + b$ — это сумма длины и ширины прямоугольника. Эта величина равна половине периметра прямоугольника и называется полупериметром.

Ответ: Полупериметр прямоугольника (сумма длин двух смежных сторон).

г) Выражение $2a$ представляет собой удвоенную длину прямоугольника. Это сумма длин двух его противоположных сторон, каждая из которых равна $a$.

Ответ: Сумма длин двух противоположных сторон прямоугольника.

32. Ребро куба равно $a$ м. От этого куба отрезан прямоугольный параллелепипед, высота которого равна $h$ м (рис. 2). Найдите объём оставшейся части.

Рис. 2

Для нахождения объёма оставшейся части необходимо из объёма исходного куба вычесть объём отрезанного от него прямоугольного параллелепипеда.

1. Вычисление объёма исходного куба.

Объём куба ($V_{куба}$) с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V_{куба} = a \cdot a \cdot a = a^3$

Таким образом, объём куба равен $a^3$ м³.

2. Вычисление объёма отрезанного параллелепипеда.

Отрезанная фигура является прямоугольным параллелепипедом. Основанием этого параллелепипеда служит верхняя грань куба, которая представляет собой квадрат со стороной $a$. Высота этого параллелепипеда по условию равна $h$.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V_{отр}$) равен произведению площади его основания на высоту.

Площадь основания: $S_{осн} = a \cdot a = a^2$

Высота: $h$

Объём отрезанной части: $V_{отр} = S_{осн} \cdot h = a^2h$

Таким образом, объём отрезанного параллелепипеда равен $a^2h$ м³.

3. Вычисление объёма оставшейся части.

Объём оставшейся части ($V_{ост}$) равен разности объёма исходного куба и объёма отрезанного параллелепипеда:

$V_{ост} = V_{куба} - V_{отр} = a^3 - a^2h$

Выражение можно упростить, вынеся общий множитель $a^2$ за скобки:

$V_{ост} = a^2(a - h)$

Этот же результат можно получить, если рассматривать оставшуюся часть как новый прямоугольный параллелепипед с рёбрами основания $a$ и $a$, и высотой $(a - h)$. Его объём будет равен $a \cdot a \cdot (a-h) = a^2(a-h)$.

Ответ: Объём оставшейся части равен $a^2(a-h)$ м³.

36. Тетрадь стоит x р., а карандаш стоит y р. Что означает выражение:

а) $x + y;$

б) $3x + y;$

в) $2x + 3y;$

г) $\frac{x}{y}?$

В данной задаче $x$ р. — это стоимость одной тетради, а $y$ р. — это стоимость одного карандаша. Разберем каждое выражение:

а) Выражение $x + y$ представляет собой сумму стоимости одной тетради ($x$) и стоимости одного карандаша ($y$). Следовательно, это выражение означает общую стоимость покупки одной тетради и одного карандаша.
Ответ: общая стоимость одной тетради и одного карандаша.

б) В выражении $3x + y$ слагаемое $3x$ означает стоимость трех тетрадей (3 умножить на стоимость одной тетради), а слагаемое $y$ — стоимость одного карандаша. Таким образом, выражение означает общую стоимость покупки трех тетрадей и одного карандаша.
Ответ: общая стоимость трех тетрадей и одного карандаша.

в) В выражении $2x + 3y$ слагаемое $2x$ означает стоимость двух тетрадей, а слагаемое $3y$ — стоимость трех карандашей. Следовательно, все выражение означает общую стоимость покупки двух тетрадей и трех карандашей.
Ответ: общая стоимость двух тетрадей и трех карандашей.

г) Выражение $\frac{x}{y}$ представляет собой отношение стоимости тетради ($x$) к стоимости карандаша ($y$). Это частное показывает, во сколько раз стоимость тетради больше стоимости карандаша (или сколько карандашей можно купить на деньги, равные стоимости одной тетради).
Ответ: во сколько раз тетрадь дороже карандаша.