Страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

72. Найдите значение выражения:

а) $8,91 + 25,7 + 1,09;$

б) $6,64 + 7,12 + 2,88;$

в) $7,15 - 9,42 + 12,85 - 0,58;$

г) $18,9 - 6,8 - 5,2 - 4,1.$

а) Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые. Сложим $8,91$ и $1,09$, так как их дробные части в сумме дают единицу, что упрощает расчет.
$8,91 + 25,7 + 1,09 = (8,91 + 1,09) + 25,7 = 10 + 25,7 = 35,7$
Ответ: $35,7$

б) Сгруппируем слагаемые $7,12$ и $2,88$. Их сумма является целым числом, что упрощает дальнейшие вычисления.
$6,64 + 7,12 + 2,88 = 6,64 + (7,12 + 2,88) = 6,64 + 10 = 16,64$
Ответ: $16,64$

в) Сгруппируем отдельно положительные и отрицательные числа. Это позволит выполнить сложение чисел с "удобными" дробными частями, а затем вычитание.
$7,15 - 9,42 + 12,85 - 0,58 = (7,15 + 12,85) - (9,42 + 0,58)$
Вычислим сумму в первых скобках: $7,15 + 12,85 = 20$.
Вычислим сумму во вторых скобках: $9,42 + 0,58 = 10$.
Найдем разность полученных результатов: $20 - 10 = 10$.
Ответ: $10$

г) В данном выражении можно вынести знак минус за скобки для всех вычитаемых чисел, чтобы сначала сложить их, а затем вычесть полученную сумму из первого числа.
$18,9 - 6,8 - 5,2 - 4,1 = 18,9 - (6,8 + 5,2 + 4,1)$
Сначала сложим числа в скобках, начиная с $6,8$ и $5,2$: $6,8 + 5,2 = 12$.
Затем добавим оставшееся число: $12 + 4,1 = 16,1$.
Теперь выполним вычитание: $18,9 - 16,1 = 2,8$.
Ответ: $2,8$

73. Выполните действие и объясните, какие свойства сложения были при этом использованы:

а) $5\frac{1}{8} + 13\frac{3}{4}$;

б) $19\frac{5}{6} + 10\frac{1}{3}$.

а) Чтобы найти сумму $5\frac{1}{8} + 13\frac{3}{4}$, представим каждое смешанное число в виде суммы его целой и дробной частей: $(5 + \frac{1}{8}) + (13 + \frac{3}{4})$. Далее, используя переместительное (от перемены мест слагаемых сумма не меняется) и сочетательное (чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего) свойства сложения, мы можем сгруппировать отдельно целые и отдельно дробные части: $(5 + 13) + (\frac{1}{8} + \frac{3}{4})$.
Складываем целые части: $5 + 13 = 18$.
Складываем дробные части, предварительно приведя их к общему знаменателю 8: $\frac{1}{8} + \frac{3}{4} = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8} + \frac{6}{8} = \frac{1+6}{8} = \frac{7}{8}$.
Итоговый результат — это сумма целой и дробной частей: $18 + \frac{7}{8} = 18\frac{7}{8}$.

Ответ: $18\frac{7}{8}$.

б) Аналогично вычисляем сумму $19\frac{5}{6} + 10\frac{1}{3}$. Представим числа в виде суммы целых и дробных частей: $(19 + \frac{5}{6}) + (10 + \frac{1}{3})$. На основании переместительного и сочетательного свойств сложения перегруппируем слагаемые: $(19 + 10) + (\frac{5}{6} + \frac{1}{3})$.
Сумма целых частей: $19 + 10 = 29$.
Сумма дробных частей после приведения к общему знаменателю 6: $\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5+2}{6} = \frac{7}{6}$.
Полученная дробь $\frac{7}{6}$ — неправильная, поэтому выделим из нее целую часть: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
Теперь сложим все части: $29 + 1\frac{1}{6} = 29 + 1 + \frac{1}{6} = 30\frac{1}{6}$.

Ответ: $30\frac{1}{6}$.

70. Какие свойства действий позволяют, не выполняя вычислений, утверждать, что верно равенство:

а) $247 + 35 = 35 + 247$;

б) $84 \cdot 19 = 19 \cdot 84$;

в) $14 + (16 + 97) = (14 + 16) + 97$;

г) $25 \cdot (4 + 7) = 25 \cdot 4 + 25 \cdot 7$?

а) Равенство $247 + 35 = 35 + 247$ верно, потому что в левой и правой частях одни и те же слагаемые, которые просто поменяли местами. Это позволяет утверждать переместительное (или коммутативное) свойство сложения, которое гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В общем виде это свойство записывается формулой: $a + b = b + a$.
Ответ: переместительное свойство сложения.

б) В равенстве $84 \cdot 19 = 19 \cdot 84$ множители в левой и правой частях поменяны местами. Утверждать верность этого равенства, не выполняя вычислений, позволяет переместительное (или коммутативное) свойство умножения. Согласно этому свойству, от перемены мест множителей произведение не меняется. Общая формула: $a \cdot b = b \cdot a$.
Ответ: переместительное свойство умножения.

в) В равенстве $14 + (16 + 97) = (14 + 16) + 97$ изменена группировка слагаемых. В левой части сначала складываются второе и третье числа, а в правой — первое и второе. Верность этого равенства следует из сочетательного (или ассоциативного) свойства сложения. Оно гласит, что для сложения трех и более чисел неважно, в каком порядке их группировать. Общая формула: $a + (b + c) = (a + b) + c$.
Ответ: сочетательное свойство сложения.

г) Равенство $25 \cdot (4 + 7) = 25 \cdot 4 + 25 \cdot 7$ является примером распределительного (или дистрибутивного) свойства умножения относительно сложения. Оно позволяет умножить число на сумму, умножив это число на каждое слагаемое по отдельности и затем сложив полученные произведения. В левой части мы умножаем 25 на сумму чисел в скобках, а в правой — складываем произведения 25 на каждое из этих чисел. Общая формула: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Ответ: распределительное свойство умножения относительно сложения.

71. Вычислите наиболее рациональным способом:

а) $3.17 + 10.2 + 0.83 + 9.8;$

б) $4.11 + 15.5 + 0.89 + 4.4;$

в) $15.21 - 3.9 - 4.7 + 6.79;$

г) $-4.27 + 3.8 - 5.73 - 3.3.$

а) Чтобы вычислить $3,17 + 10,2 + 0,83 + 9,8$ наиболее рациональным способом, сгруппируем слагаемые так, чтобы их суммы было легко считать, например, чтобы они были целыми числами. Для этого воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения.
Сгруппируем $3,17$ и $0,83$, так как сумма их дробных частей $0,17 + 0,83 = 1$.
Также сгруппируем $10,2$ и $9,8$, так как сумма их дробных частей $0,2 + 0,8 = 1$.
$3,17 + 10,2 + 0,83 + 9,8 = (3,17 + 0,83) + (10,2 + 9,8)$
Вычислим сумму в каждой скобке:
$3,17 + 0,83 = 4$
$10,2 + 9,8 = 20$
Теперь сложим полученные результаты:
$4 + 20 = 24$
Ответ: 24.

б) В выражении $4,11 + 15,5 + 0,89 + 4,4$ для рационального вычисления сгруппируем слагаемые $4,11$ и $0,89$, так как сумма их дробных частей $0,11 + 0,89 = 1$.
$4,11 + 15,5 + 0,89 + 4,4 = (4,11 + 0,89) + (15,5 + 4,4)$
Вычислим сумму в первой скобке:
$4,11 + 0,89 = 5$
Теперь вычислим сумму оставшихся слагаемых:
$15,5 + 4,4 = 19,9$
Сложим полученные результаты:
$5 + 19,9 = 24,9$
Ответ: 24,9.

в) В выражении $15,21 - 3,9 - 4,7 + 6,79$ перегруппируем члены, чтобы упростить вычисления. Сначала сложим положительные числа, а затем вычтем сумму отрицательных.
$15,21 - 3,9 - 4,7 + 6,79 = (15,21 + 6,79) - (3,9 + 4,7)$
Вычислим сумму в первой скобке. Сумма дробных частей $0,21 + 0,79 = 1$.
$15,21 + 6,79 = 22$
Вычислим сумму во второй скобке:
$3,9 + 4,7 = 8,6$
Теперь выполним вычитание:
$22 - 8,6 = 13,4$
Ответ: 13,4.

г) В выражении $-4,27 + 3,8 - 5,73 - 3,3$ сгруппируем члены так, чтобы вычисления были наиболее простыми.
$-4,27 + 3,8 - 5,73 - 3,3 = (3,8 - 3,3) + (-4,27 - 5,73)$
Вычислим значение в первой скобке:
$3,8 - 3,3 = 0,5$
Вычислим значение во второй скобке. Для этого сложим модули чисел $4,27$ и $5,73$. Сумма их дробных частей $0,27 + 0,73 = 1$.
$-4,27 - 5,73 = -(4,27 + 5,73) = -10$
Теперь сложим полученные результаты:
$0,5 + (-10) = 0,5 - 10 = -9,5$
Ответ: -9,5.