Страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

88. Какие свойства действий позволяют утверждать, что данное равенство является тождеством:

a) $12(a - 4) = 12a - 48$;

б) $(x - x)a = 0?$

а) $12(a - 4) = 12a - 48$

Данное равенство является тождеством, так как оно выполняется при любом значении переменной а. Утверждать это позволяет распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Это свойство гласит, что для того, чтобы умножить число на разность, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.
Общая формула этого свойства выглядит так: $c(a - b) = ca - cb$.
Применим это свойство для преобразования левой части данного равенства:
$12(a - 4) = 12 \cdot a - 12 \cdot 4 = 12a - 48$
В результате преобразования левая часть равенства стала идентичной правой части. Это доказывает, что исходное равенство является тождеством.

Ответ: Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

б) $(x - x)a = 0$

Данное равенство является тождеством, потому что оно верно при любых значениях переменных x и a. Это можно утверждать на основании двух свойств действий, применяемых последовательно.

1. Свойство вычитания числа из самого себя. Разность любого числа и этого же числа всегда равна нулю. В выражении $(x - x)$ результат всегда будет 0, независимо от значения x.
$x - x = 0$
После применения этого свойства левая часть равенства принимает вид: $0 \cdot a$.

2. Свойство умножения на ноль. Произведение любого числа на ноль равно нулю.
$0 \cdot a = 0$
Применив оба свойства, мы показали, что левая часть равенства $(x - x)a$ всегда равна 0, что соответствует правой части.

Ответ: Свойство вычитания числа из самого себя (результат которого равен нулю) и свойство умножения на ноль.

92. Преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

а) $7(x - y)$;

б) $(a - 4b) \cdot 3$;

в) $-23 \cdot (2a - 3b + 1)$;

г) $1,5 \cdot (-3x + 4y - 5z)$.

а) Чтобы преобразовать выражение $7(x - y)$, мы применяем распределительное свойство умножения, которое гласит, что для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство $a(b - c) = ab - ac$. В данном случае $a = 7$, $b = x$ и $c = y$.

Необходимо умножить множитель 7 на каждый член, находящийся в скобках:

$7 \cdot x = 7x$

$7 \cdot (-y) = -7y$

Сложив полученные произведения, получаем тождественно равное выражение:

$7(x - y) = 7x - 7y$

Ответ: $7x - 7y$

б) Для преобразования выражения $(a - 4b) \cdot 3$ воспользуемся тем же распределительным свойством. Умножение коммутативно (переместительно), поэтому $(a - 4b) \cdot 3$ это то же самое, что и $3 \cdot (a - 4b)$.

Теперь умножим 3 на каждый член в скобках:

$3 \cdot a = 3a$

$3 \cdot (-4b) = -12b$

В результате получаем:

$(a - 4b) \cdot 3 = 3a - 12b$

Ответ: $3a - 12b$

в) В выражении $-23 \cdot (2a - 3b + 1)$ необходимо умножить число $-23$ на каждый член многочлена в скобках: $2a$, $-3b$ и $1$.

Выполним умножение последовательно:

$-23 \cdot (2a) = -46a$

$-23 \cdot (-3b) = 69b$ (произведение двух отрицательных чисел является положительным)

$-23 \cdot (1) = -23$

Объединяем полученные результаты:

$-23 \cdot (2a - 3b + 1) = -46a + 69b - 23$

Ответ: $-46a + 69b - 23$

г) Чтобы преобразовать выражение $1,5 \cdot (-3x + 4y - 5z)$, мы умножаем коэффициент $1,5$ на каждый из членов, находящихся в скобках.

Выполняем умножение для каждого члена:

$1,5 \cdot (-3x) = -4,5x$

$1,5 \cdot (4y) = 6y$

$1,5 \cdot (-5z) = -7,5z$

Записываем итоговое выражение, состоящее из полученных членов:

$1,5 \cdot (-3x + 4y - 5z) = -4,5x + 6y - 7,5z$

Ответ: $-4,5x + 6y - 7,5z$

85. Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождест-венно равны выражения:

а) $ab + 16c$ и $16c + ab;

б) $(a + 2) + x$ и $a + (2 + x);

в) $xy + 3$ и $3 + xy;

г) $5(b + c)$ и $5b + 5c?

а) Равенство выражений $ab + 16c$ и $16c + ab$ основано на переместительном свойстве сложения. Это свойство гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В данном случае слагаемыми являются произведения $ab$ и $16c$. Формула переместительного свойства: $x + y = y + x$.
Ответ: переместительное свойство сложения.

б) Равенство выражений $(a + 2) + x$ и $a + (2 + x)$ основано на сочетательном свойстве сложения. Это свойство гласит, что при сложении нескольких чисел их можно группировать в любом порядке. Результат от этого не изменится. Формула сочетательного свойства: $(x + y) + z = x + (y + z)$.
Ответ: сочетательное свойство сложения.

в) Равенство выражений $xy + 3$ и $3 + xy$ основано, как и в пункте а), на переместительном свойстве сложения. Слагаемые $xy$ и $3$ меняются местами, что не влияет на их сумму, согласно формуле $x + y = y + x$.
Ответ: переместительное свойство сложения.

г) Равенство выражений $5(b + c)$ и $5b + 5c$ основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения. Согласно этому свойству, чтобы умножить число на сумму, нужно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Этот процесс также называют "раскрытием скобок". Формула распределительного свойства: $x(y + z) = xy + xz$.
Ответ: распределительное свойство умножения относительно сложения.

89. Какое из данных равенств не является тождеством?

1. $6(x-y) = 6x - 6y$

2. $25(a-a) = 25$

3. $3a - 4 = a + (2a - 4)$

4. $0.3a \cdot 5b = 1.5ab$

Тождество — это равенство, которое выполняется при любых значениях входящих в него переменных. Чтобы найти равенство, которое не является тождеством, нужно проверить каждое из предложенных.

1. $6(x - y) = 6x - 6y$

Преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки с помощью распределительного закона умножения:
$6 \cdot (x - y) = 6 \cdot x - 6 \cdot y = 6x - 6y$.
В результате получаем равенство $6x - 6y = 6x - 6y$.
Левая часть тождественно равна правой, значит, это равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

2. $25(a - a) = 25$

Упростим выражение в скобках в левой части равенства:
$a - a = 0$.
Теперь подставим полученное значение обратно в левую часть:
$25 \cdot 0 = 0$.
В результате исходное равенство принимает вид $0 = 25$.
Это неверное числовое равенство. Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

3. $3a - 4 = a + (2a - 4)$

Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$a + (2a - 4) = a + 2a - 4 = (1+2)a - 4 = 3a - 4$.
В результате получаем равенство $3a - 4 = 3a - 4$.
Левая часть тождественно равна правой, значит, это равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

4. $0,3a \cdot 5b = 1,5ab$

Преобразуем левую часть равенства, используя свойства умножения (переместительное и сочетательное):
$0,3a \cdot 5b = (0,3 \cdot 5) \cdot (a \cdot b) = 1,5ab$.
В результате получаем равенство $1,5ab = 1,5ab$.
Левая часть тождественно равна правой, значит, это равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

93. Замените выражение тождественно равным, используя распределительное свойство умножения:

а) $1,2 \cdot (5 - a)$;

б) $(m - 4x) \cdot (-6)$;

в) $2,5 \cdot (4x - 6y - 2)$;

г) $-0,1 \cdot (100a + 10b - c)$.

а) Для того чтобы заменить выражение $1,2 \cdot (5 - a)$ тождественно равным, используем распределительное свойство умножения $k \cdot (b - c) = kb - kc$.
Умножим каждый член в скобках на $1,2$:
$1,2 \cdot (5 - a) = 1,2 \cdot 5 - 1,2 \cdot a$
Выполним умножение:
$1,2 \cdot 5 = 6$
$1,2 \cdot a = 1,2a$
Таким образом, выражение принимает вид:
$6 - 1,2a$
Ответ: $6 - 1,2a$

б) Для выражения $(m - 4x) \cdot (-6)$ применяем распределительное свойство умножения $(a - b) \cdot k = ak - bk$.
Умножим каждый член в скобках на $-6$:
$(m - 4x) \cdot (-6) = m \cdot (-6) - 4x \cdot (-6)$
Выполним умножение для каждого члена:
$m \cdot (-6) = -6m$
$-4x \cdot (-6) = 24x$
Получаем выражение:
$-6m + 24x$
Для удобства можно поменять члены местами, чтобы начать с положительного:
$24x - 6m$
Ответ: $24x - 6m$

в) Для выражения $2,5 \cdot (4x - 6y - 2)$ используем распределительное свойство умножения для многочлена $k \cdot (a - b - c) = ka - kb - kc$.
Умножим каждый член в скобках на $2,5$:
$2,5 \cdot (4x - 6y - 2) = 2,5 \cdot 4x - 2,5 \cdot 6y - 2,5 \cdot 2$
Вычислим каждое произведение:
$2,5 \cdot 4x = 10x$
$2,5 \cdot 6y = 15y$
$2,5 \cdot 2 = 5$
Собираем итоговое выражение:
$10x - 15y - 5$
Ответ: $10x - 15y - 5$

г) Для выражения $-0,1 \cdot (100a + 10b - c)$ применим распределительное свойство умножения $k \cdot (a + b - c) = ka + kb - kc$.
Умножим каждый член в скобках на $-0,1$:
$-0,1 \cdot (100a + 10b - c) = (-0,1) \cdot 100a + (-0,1) \cdot 10b - (-0,1) \cdot c$
Выполним вычисления для каждого члена:
$-0,1 \cdot 100a = -10a$
$(-0,1) \cdot 10b = -1b = -b$
$-(-0,1) \cdot c = 0,1c$
Итоговое выражение:
$-10a - b + 0,1c$
Ответ: $-10a - b + 0,1c$

86. Являются ли тождественно равными выражения:

а) $(2a)(7b)$ и $14ab$;

б) $-2a + 2a$ и $0$;

в) $x - y$ и $y - x$;

г) $(x - y)^2$ и $(y - x)^2$?

а) Чтобы проверить, являются ли выражения $(2a)(7b)$ и $14ab$ тождественно равными, упростим первое выражение. Используя сочетательный и переместительный законы умножения, мы можем перегруппировать и перемножить числовые коэффициенты и переменные отдельно:

$(2a)(7b) = (2 \cdot 7) \cdot (a \cdot b) = 14ab$

Полученное выражение $14ab$ полностью совпадает со вторым выражением. Следовательно, выражения являются тождественно равными.

Ответ: да.

б) Рассмотрим выражение $-2a + 2a$. Слагаемые $-2a$ и $2a$ являются противоположными, так как их коэффициенты ($-2$ и $2$) – противоположные числа. Сумма противоположных слагаемых всегда равна нулю:

$-2a + 2a = (-2+2)a = 0 \cdot a = 0$

Результат упрощения первого выражения равен $0$, что совпадает со вторым выражением. Следовательно, выражения являются тождественно равными.

Ответ: да.

в) Сравним выражения $x - y$ и $y - x$. Преобразуем второе выражение, вынеся за скобки $-1$:

$y - x = -1 \cdot (-y + x) = -(x - y)$

Выражения $x-y$ и $y-x$ являются противоположными. Они равны друг другу только в том случае, если их значение равно нулю, то есть при $x = y$. Для всех остальных значений переменных $x$ и $y$ (например, при $x=5$, $y=3$, $x-y=2$, а $y-x=-2$), их значения не равны. Так как равенство не выполняется для всех допустимых значений переменных, эти выражения не являются тождественно равными.

Ответ: нет.

г) Рассмотрим выражения $(x - y)^2$ и $(y - x)^2$. Как мы выяснили в предыдущем пункте, $y - x = -(x - y)$. Подставим это во второе выражение:

$(y - x)^2 = (-(x - y))^2$

Квадрат отрицательного числа равен квадрату соответствующего ему положительного числа, то есть $(-a)^2 = a^2$. Поэтому:

$(-(x - y))^2 = (x - y)^2$

Таким образом, второе выражение после преобразования совпадает с первым. Это равенство справедливо для любых значений $x$ и $y$. Следовательно, выражения являются тождественно равными.

Ответ: да.

90. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное свойства умножения:

а) $-6.2a \cdot 5;$

б) $4c \cdot (-1.25);$

в) $0.3x \cdot (-12y);$

г) $-0.1b \cdot (-2.3c).$

а) Чтобы упростить выражение $-6,2a \cdot 5$, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сгруппируем числовые множители и перемножим их, оставив буквенный множитель.
$-6,2a \cdot 5 = (-6,2 \cdot 5) \cdot a = -31a$
Ответ: $-31a$

б) Для упрощения выражения $4c \cdot (-1,25)$, применим те же свойства. Сгруппируем числовые множители $4$ и $-1,25$ и вычислим их произведение.
$4c \cdot (-1,25) = (4 \cdot (-1,25)) \cdot c = -5c$
Ответ: $-5c$

в) Выражение $0,3x \cdot (-12y)$ содержит числовые коэффициенты $0,3$ и $-12$, и переменные $x$ и $y$. Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители, используя переместительное и сочетательное свойства, и перемножим их.
$0,3x \cdot (-12y) = (0,3 \cdot (-12)) \cdot (x \cdot y) = -3,6xy$
Ответ: $-3,6xy$

г) В выражении $-0,1b \cdot (-2,3c)$ сгруппируем числовые множители $-0,1$ и $-2,3$, а также буквенные $b$ и $c$. При умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным.
$-0,1b \cdot (-2,3c) = (-0,1 \cdot (-2,3)) \cdot (b \cdot c) = 0,23bc$
Ответ: $0,23bc$

94. Среди выражений $2(b - a)$, $-2(a - b)$, $-2a - 2b$, $-2a + 2b$ найдите те, которые тождественно равны выражению $2b - 2a$.

Для того чтобы найти выражения, которые тождественно равны выражению $2b - 2a$, необходимо упростить каждое из предложенных выражений и сравнить результат с заданным.

$2(b - a)$

Применим распределительный закон умножения $c(x - y) = cx - cy$. Раскроем скобки:

$2(b - a) = 2 \cdot b - 2 \cdot a = 2b - 2a$.

Полученное выражение $2b - 2a$ полностью совпадает с заданным. Следовательно, это выражение является тождественно равным.

$-2(a - b)$

Также раскроем скобки, используя распределительный закон:

$-2(a - b) = -2 \cdot a - (-2) \cdot b = -2a + 2b$.

Теперь применим переместительный закон сложения ($x + y = y + x$), чтобы поменять слагаемые местами:

$-2a + 2b = 2b - 2a$.

Это выражение также полностью совпадает с заданным.

$-2a - 2b$

Данное выражение уже представлено в виде многочлена. Сравним его с выражением $2b - 2a$. Коэффициент при переменной $a$ совпадает ($-2$), однако коэффициент при переменной $b$ отличается по знаку ($-2$ в данном выражении и $+2$ в заданном). Таким образом, эти выражения не являются тождественно равными.

$-2a + 2b$

Это выражение также является многочленом. Воспользуемся переместительным законом сложения, чтобы привести его к тому же виду, что и заданное выражение:

$-2a + 2b = 2b - 2a$.

Результат совпадает с заданным выражением.

Проанализировав все варианты, мы определили, что три из них тождественно равны выражению $2b - 2a$.

Ответ: $2(b-a)$, $-2(a-b)$, $-2a+2b$.

87. Являются ли тождественно равными выражения:

а) $2 + 8ba$ и $8ab + 2;

б) $2x + 7$ и $2(x + 7);

в) $(a + b) \cdot 0$ и $a + b;

г) $(a + b) \cdot 2$ и $2a + 2b?

Тождественно равными называются выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Чтобы проверить, являются ли выражения тождественно равными, нужно либо доказать, что они равны для всех переменных (например, с помощью алгебраических преобразований), либо найти хотя бы один контрпример, при котором их значения не равны.

а) $2 + 8ba$ и $8ab + 2$

Для анализа этих выражений воспользуемся свойствами сложения и умножения.

1. Переместительный (коммутативный) закон умножения гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Следовательно, $ba = ab$. Это означает, что $8ba = 8ab$.

2. Переместительный (коммутативный) закон сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Таким образом, мы можем переписать второе выражение: $8ab + 2 = 2 + 8ab$.

Теперь сравним первое выражение $2 + 8ba$ с преобразованным вторым $2 + 8ab$. Так как $8ba = 8ab$, то и выражения $2 + 8ba$ и $2 + 8ab$ равны при любых значениях переменных $a$ и $b$. Следовательно, исходные выражения тождественно равны.

Ответ: да, являются.

б) $2x + 7$ и $2(x + 7)$

Упростим второе выражение, раскрыв скобки с помощью распределительного закона умножения ($a(b+c) = ab + ac$):

$2(x + 7) = 2 \cdot x + 2 \cdot 7 = 2x + 14$

Теперь сравним первое выражение $2x + 7$ с упрощенным вторым $2x + 14$.

Выражения $2x + 7$ и $2x + 14$ не равны, так как при одинаковом слагаемом $2x$ свободные члены различны ($7 \neq 14$).

Для доказательства можно подставить любое значение $x$. Например, при $x=1$:

Первое выражение: $2(1) + 7 = 2 + 7 = 9$.

Второе выражение: $2(1 + 7) = 2(8) = 16$.

Так как $9 \neq 16$, выражения не являются тождественно равными.

Ответ: нет, не являются.

в) $(a + b) \cdot 0$ и $a + b$

Рассмотрим первое выражение. Согласно свойству умножения на ноль, любое число или выражение, умноженное на ноль, равно нулю:

$(a + b) \cdot 0 = 0$

Теперь сравним результат $0$ со вторым выражением $a + b$.

Равенство $a + b = 0$ верно не для всех значений $a$ и $b$. Например, если $a=1$ и $b=1$, то:

Первое выражение: $(1 + 1) \cdot 0 = 2 \cdot 0 = 0$.

Второе выражение: $1 + 1 = 2$.

Поскольку $0 \neq 2$, выражения не являются тождественно равными.

Ответ: нет, не являются.

г) $(a + b) \cdot 2$ и $2a + 2b$

Упростим первое выражение, используя распределительный закон умножения относительно сложения. Этот закон можно записать как $(a+b)c = ac + bc$.

$(a + b) \cdot 2 = a \cdot 2 + b \cdot 2$

Используя переместительный закон умножения ($ac=ca$), получаем:

$a \cdot 2 + b \cdot 2 = 2a + 2b$

Результат преобразования первого выражения в точности совпадает со вторым выражением. Это равенство (распределительный закон) верно для любых значений $a$ и $b$. Следовательно, выражения тождественно равны.

Ответ: да, являются.

91. Упростите выражение:

а) $1,6 \cdot (-0,2n);$

б) $-6,4a \cdot (-5c).$

а) Чтобы упростить выражение $1,6 \cdot (-0,2n)$, необходимо перемножить числовые коэффициенты. Используем сочетательное свойство умножения.

$$1,6 \cdot (-0,2n) = (1,6 \cdot (-0,2)) \cdot n$$

При умножении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число.

$$1,6 \cdot 0,2 = 0,32$$

Следовательно:

$$(1,6 \cdot (-0,2)) \cdot n = -0,32n$$

Ответ: $-0,32n$

б) Чтобы упростить выражение $-6,4a \cdot (-5c)$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и переменные множители между собой. Используем переместительное и сочетательное свойства умножения.

$$-6,4a \cdot (-5c) = (-6,4 \cdot (-5)) \cdot (a \cdot c)$$

При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число.

$$-6,4 \cdot (-5) = 32$$

Перемножим переменные:

$$a \cdot c = ac$$

Объединим результаты:

$$32 \cdot ac = 32ac$$

Ответ: $32ac$

95. Приведите подобные слагаемые:

а) $5a + 27a - a;$

б) $12b - 17b - b;$

в) $6x - 14 - 13x + 26;$

г) $-8 - y + 17 - 10y.$

а) Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $5a + 27a - a$, нужно сложить их коэффициенты и умножить результат на общую буквенную часть. Слагаемые $5a$, $27a$ и $-a$ являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a$. Коэффициент у слагаемого $-a$ равен $-1$.
Сложим коэффициенты: $5 + 27 - 1 = 32 - 1 = 31$.
Таким образом, выражение упрощается до $31a$.
$5a + 27a - a = (5 + 27 - 1)a = 31a$.
Ответ: $31a$.

б) В выражении $12b - 17b - b$ все слагаемые являются подобными, так как у них общая буквенная часть $b$. Приведем их, сложив коэффициенты 12, -17 и -1.
$12 - 17 - 1 = -5 - 1 = -6$.
Значит, исходное выражение равно $-6b$.
$12b - 17b - b = (12 - 17 - 1)b = -6b$.
Ответ: $-6b$.

в) В выражении $6x - 14 - 13x + 26$ есть две группы подобных слагаемых. Первая группа — слагаемые с переменной $x$: $6x$ и $-13x$. Вторая группа — числовые слагаемые (константы): $-14$ и $26$.
Сгруппируем и упростим каждую группу отдельно:
Для слагаемых с $x$: $6x - 13x = (6 - 13)x = -7x$.
Для числовых слагаемых: $-14 + 26 = 12$.
Теперь сложим полученные результаты: $-7x + 12$.
$6x - 14 - 13x + 26 = (6x - 13x) + (-14 + 26) = -7x + 12$.
Ответ: $-7x + 12$.

г) В выражении $-8 - y + 17 - 10y$ также две группы подобных слагаемых. Первая группа — слагаемые с переменной $y$: $-y$ и $-10y$. Вторая группа — числовые слагаемые: $-8$ и $17$.
Сгруппируем и упростим каждую группу:
Для слагаемых с $y$: $-y - 10y = (-1 - 10)y = -11y$.
Для числовых слагаемых: $-8 + 17 = 9$.
Объединяем полученные результаты: $-11y + 9$.
$-8 - y + 17 - 10y = (-y - 10y) + (-8 + 17) = -11y + 9$.
Ответ: $-11y + 9$.