Номер 87, страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Тождества. Тождественные преобразования выражений. Параграф 2. Преобразование выражений. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 87, страница 23.

Условие.

87. Являются ли тождественно равными выражения:

а) $2 + 8ba$ и $8ab + 2;

б) $2x + 7$ и $2(x + 7);

в) $(a + b) \cdot 0$ и $a + b;

г) $(a + b) \cdot 2$ и $2a + 2b?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Тождественно равными называются выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Чтобы проверить, являются ли выражения тождественно равными, нужно либо доказать, что они равны для всех переменных (например, с помощью алгебраических преобразований), либо найти хотя бы один контрпример, при котором их значения не равны.

а) $2 + 8ba$ и $8ab + 2$

Для анализа этих выражений воспользуемся свойствами сложения и умножения.

1. Переместительный (коммутативный) закон умножения гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Следовательно, $ba = ab$. Это означает, что $8ba = 8ab$.

2. Переместительный (коммутативный) закон сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Таким образом, мы можем переписать второе выражение: $8ab + 2 = 2 + 8ab$.

Теперь сравним первое выражение $2 + 8ba$ с преобразованным вторым $2 + 8ab$. Так как $8ba = 8ab$, то и выражения $2 + 8ba$ и $2 + 8ab$ равны при любых значениях переменных $a$ и $b$. Следовательно, исходные выражения тождественно равны.

Ответ: да, являются.

б) $2x + 7$ и $2(x + 7)$

Упростим второе выражение, раскрыв скобки с помощью распределительного закона умножения ($a(b+c) = ab + ac$):

$2(x + 7) = 2 \cdot x + 2 \cdot 7 = 2x + 14$

Теперь сравним первое выражение $2x + 7$ с упрощенным вторым $2x + 14$.

Выражения $2x + 7$ и $2x + 14$ не равны, так как при одинаковом слагаемом $2x$ свободные члены различны ($7 \neq 14$).

Для доказательства можно подставить любое значение $x$. Например, при $x=1$:

Первое выражение: $2(1) + 7 = 2 + 7 = 9$.

Второе выражение: $2(1 + 7) = 2(8) = 16$.

Так как $9 \neq 16$, выражения не являются тождественно равными.

Ответ: нет, не являются.

в) $(a + b) \cdot 0$ и $a + b$

Рассмотрим первое выражение. Согласно свойству умножения на ноль, любое число или выражение, умноженное на ноль, равно нулю:

$(a + b) \cdot 0 = 0$

Теперь сравним результат $0$ со вторым выражением $a + b$.

Равенство $a + b = 0$ верно не для всех значений $a$ и $b$. Например, если $a=1$ и $b=1$, то:

Первое выражение: $(1 + 1) \cdot 0 = 2 \cdot 0 = 0$.

Второе выражение: $1 + 1 = 2$.

Поскольку $0 \neq 2$, выражения не являются тождественно равными.

Ответ: нет, не являются.

г) $(a + b) \cdot 2$ и $2a + 2b$

Упростим первое выражение, используя распределительный закон умножения относительно сложения. Этот закон можно записать как $(a+b)c = ac + bc$.

$(a + b) \cdot 2 = a \cdot 2 + b \cdot 2$

Используя переместительный закон умножения ($ac=ca$), получаем:

$a \cdot 2 + b \cdot 2 = 2a + 2b$

Результат преобразования первого выражения в точности совпадает со вторым выражением. Это равенство (распределительный закон) верно для любых значений $a$ и $b$. Следовательно, выражения тождественно равны.

Ответ: да, являются.