Страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

121. Замените:

а) уравнение $0,3x = -4$ равносильным уравнением с целыми коэффициентами;

б) уравнение $5x - 4 = 21$ равносильным уравнением вида $ax = b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа.

а) Исходное уравнение: $0,3x = -4$.

Чтобы получить равносильное уравнение с целыми коэффициентами, нужно избавиться от десятичной дроби в коэффициенте при $x$. Коэффициент $0,3$ имеет один знак после запятой, поэтому для превращения его в целое число нужно умножить его на $10$. Чтобы уравнение осталось равносильным, мы должны умножить на $10$ обе его части.

$(0,3x) \cdot 10 = (-4) \cdot 10$

$3x = -40$

Новое уравнение $3x = -40$ равносильно исходному, и его коэффициенты ($3$ и $-40$) являются целыми числами.

Ответ: $3x = -40$

б) Исходное уравнение: $5x - 4 = 21$.

Чтобы привести это уравнение к виду $ax = b$, необходимо перенести все слагаемые без переменной $x$ в правую часть уравнения. В данном случае это слагаемое $-4$. Для этого прибавим к обеим частям уравнения число $4$. Это является равносильным преобразованием.

$5x - 4 + 4 = 21 + 4$

$5x = 25$

Полученное уравнение $5x = 25$ имеет вид $ax = b$, где $a=5$ и $b=25$, и оно равносильно исходному уравнению.

Ответ: $5x = 25$

125. Отметьте в координатной плоскости точки $A(-4; -2)$, $B(0; -3)$, $C(3; -3)$, $D(-2; 0)$, $E(-1; 5)$, $F(0; 1)$.

Для того чтобы отметить точки на координатной плоскости, необходимо понимать, что каждая точка задается парой чисел $(x; y)$, которые называются координатами. Первое число, $x$, — это абсцисса, она показывает смещение точки по горизонтальной оси (оси Ox) относительно начала координат (точки $(0;0)$). Положительное значение $x$ означает смещение вправо, отрицательное — влево. Второе число, $y$, — это ордината, она показывает смещение по вертикальной оси (оси Oy). Положительное значение $y$ означает смещение вверх, отрицательное — вниз.

Построим координатную плоскость и последовательно отметим на ней заданные точки:

• Точка A(-4; -2): Абсцисса $x = -4$, ордината $y = -2$. От начала координат $(0;0)$ двигаемся на 4 единицы влево по оси Ox, а затем от этой точки на 2 единицы вниз параллельно оси Oy.
• Точка B(0; -3): Абсцисса $x = 0$, ордината $y = -3$. Так как абсцисса равна нулю, точка лежит на оси Oy. От начала координат двигаемся на 3 единицы вниз по оси Oy.
• Точка C(3; -3): Абсцисса $x = 3$, ордината $y = -3$. От начала координат двигаемся на 3 единицы вправо по оси Ox, а затем от этой точки на 3 единицы вниз параллельно оси Oy.
• Точка D(-2; 0): Абсцисса $x = -2$, ордината $y = 0$. Так как ордината равна нулю, точка лежит на оси Ox. От начала координат двигаемся на 2 единицы влево по оси Ox.
• Точка E(-1; 5): Абсцисса $x = -1$, ордината $y = 5$. От начала координат двигаемся на 1 единицу влево по оси Ox, а затем от этой точки на 5 единиц вверх параллельно оси Oy.
• Точка F(0; 1): Абсцисса $x = 0$, ордината $y = 1$. Так как абсцисса равна нулю, точка лежит на оси Oy. От начала координат двигаемся на 1 единицу вверх по оси Oy.

Ответ:

Ниже представлено изображение координатной плоскости с отмеченными точками A, B, C, D, E, F.

122. Упростите выражение:

а) $0,4 (7x - 2) - 1,6 + 1,7x;$

б) $(1,2a - 4) + (40 - 4,8a);$

в) $2,5 (4 - 3y) - y + 2,3;$

г) $(14 - 3,6b) - (12 + 10,4b).$

а) Чтобы упростить выражение $0,4 (7x - 2) - 1,6 + 1,7x$, первым шагом раскроем скобки. Для этого умножим $0,4$ на каждый член в скобках $(7x - 2)$:

$0,4 \cdot 7x - 0,4 \cdot 2 - 1,6 + 1,7x = 2,8x - 0,8 - 1,6 + 1,7x$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Сложим члены, содержащие переменную $x$, и отдельно сложим числовые коэффициенты (свободные члены):

$(2,8x + 1,7x) + (-0,8 - 1,6) = 4,5x - 2,4$

Ответ: $4,5x - 2,4$

б) В выражении $(1,2a - 4) + (40 - 4,8a)$ нужно раскрыть скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри нее не изменяются:

$1,2a - 4 + 40 - 4,8a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые для переменной $a$ и для свободных членов:

$(1,2a - 4,8a) + (-4 + 40) = -3,6a + 36$

Для удобства записи можно поменять слагаемые местами.

Ответ: $36 - 3,6a$

в) Упростим выражение $2,5 (4 - 3y) - y + 2,3$. Сначала раскроем скобки, умножив $2,5$ на $(4 - 3y)$:

$2,5 \cdot 4 - 2,5 \cdot 3y - y + 2,3 = 10 - 7,5y - y + 2,3$

Затем сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Слагаемое $-y$ имеет коэффициент $-1$.

$(-7,5y - y) + (10 + 2,3) = (-7,5 - 1)y + 12,3 = -8,5y + 12,3$

Ответ: $12,3 - 8,5y$

г) В выражении $(14 - 3,6b) - (12 + 10,4b)$ раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при раскрытии знаки всех слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$14 - 3,6b - 12 - 10,4b$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые с переменной $b$ и свободные члены:

$(-3,6b - 10,4b) + (14 - 12) = -14b + 2$

Ответ: $2 - 14b$

123. Найдите значение выражения

$8(3 - 3,5m) - 20 + 23m$

при $m = 2,5$; $1,2$; $40$.

Для того чтобы найти значение выражения при разных значениях переменной $m$, сначала упростим его. Это позволит сократить количество вычислений.

Исходное выражение: $8(3 - 3,5m) - 20 + 23m$

1. Раскроем скобки, умножив 8 на каждый член внутри скобок:

$8 \cdot 3 - 8 \cdot 3,5m - 20 + 23m = 24 - 28m - 20 + 23m$

2. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем и сложим числа с числами, а слагаемые с переменной $m$ — со слагаемыми с $m$:

$(24 - 20) + (-28m + 23m) = 4 - 5m$

Теперь мы получили упрощенное выражение $4 - 5m$. Будем подставлять в него заданные значения $m$.

при m = 2,5

Подставляем $m = 2,5$ в упрощенное выражение $4 - 5m$:

$4 - 5 \cdot 2,5 = 4 - 12,5 = -8,5$

Ответ: $-8,5$

при m = 1,2

Подставляем $m = 1,2$ в упрощенное выражение $4 - 5m$:

$4 - 5 \cdot 1,2 = 4 - 6 = -2$

Ответ: $-2$

при m = 40

Подставляем $m = 40$ в упрощенное выражение $4 - 5m$:

$4 - 5 \cdot 40 = 4 - 200 = -196$

Ответ: $-196$

120. Имеет ли уравнение корни и сколько:

а) $|x|=1$;

б) $|x|=0$;

в) $|x|=-5$;

г) $|x|=1.3$?

а) Рассмотрим уравнение $|x| = 1$. Модуль числа (или его абсолютная величина) — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта (нуля). Уравнение $|x| = a$ при $a > 0$ всегда имеет два решения, так как на координатной прямой есть две точки, равноудалённые от нуля на расстояние $a$: это точки $a$ и $-a$. В данном случае $a = 1$, поэтому уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Ответ: уравнение имеет два корня.

б) Рассмотрим уравнение $|x| = 0$. Мы ищем число, расстояние от которого до нуля равно 0. Существует только одно такое число — это сам ноль. Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x = 0$.
Ответ: уравнение имеет один корень.

в) Рассмотрим уравнение $|x| = -5$. Модуль любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. Так как в правой части уравнения стоит отрицательное число (-5), а в левой — неотрицательная величина, равенство невозможно. Таким образом, не существует такого числа $x$, модуль которого был бы отрицательным.
Ответ: уравнение не имеет корней.

г) Рассмотрим уравнение $|x| = 1,3$. Это уравнение аналогично случаю а). Мы ищем числа, расстояние от которых до нуля на координатной прямой равно 1,3. Таких чисел два: одно положительное и одно отрицательное. Это числа 1,3 и -1,3. Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 1,3$ и $x_2 = -1,3$.
Ответ: уравнение имеет два корня.

124. На координатной плоскости (рис. 5) отмечены точки A, B, C, D, E и F. Найдите их координаты.

A: $(2; 3)$
B: $(-3; 2)$
C: $(-2; -3)$
D: $(4; -2)$
E: $(0; -2)$
F: $(3; 0)$

Рис. 5

Для того чтобы найти координаты каждой точки, необходимо определить ее положение относительно осей координат $x$ (горизонтальная ось, ось абсцисс) и $y$ (вертикальная ось, ось ординат). Координаты точки записываются в виде пары чисел $(x; y)$, где первое число — это координата по оси $x$, а второе — координата по оси $y$. За начало отсчета принимается точка пересечения осей — точка $(0; 0)$. Каждая клетка на графике соответствует одной единице.

Точка A
Чтобы найти координаты точки A, опустим перпендикуляры из нее на оси координат. Перпендикуляр на ось $x$ попадает в точку $2$. Это абсцисса точки А. Перпендикуляр на ось $y$ попадает в точку $3$. Это ордината точки А.
Таким образом, координаты точки A: $x = 2, y = 3$.
Ответ: $A(2; 3)$

Точка B
Проведем перпендикуляры от точки B к осям. Перпендикуляр к оси $x$ пересекает ее в точке $-3$. Перпендикуляр к оси $y$ пересекает ее в точке $2$.
Таким образом, координаты точки B: $x = -3, y = 2$.
Ответ: $B(-3; 2)$

Точка C
Перпендикуляр от точки C к оси $x$ попадает в точку $-2$. Перпендикуляр к оси $y$ попадает в точку $-3$.
Таким образом, координаты точки C: $x = -2, y = -3$.
Ответ: $C(-2; -3)$

Точка D
Перпендикуляр от точки D к оси $x$ попадает в точку $3$. Перпендикуляр к оси $y$ попадает в точку $-2$.
Таким образом, координаты точки D: $x = 3, y = -2$.
Ответ: $D(3; -2)$

Точка E
Точка E расположена непосредственно на оси $y$. Это означает, что ее абсцисса (координата по оси $x$) равна нулю. По оси $y$ точка смещена на $1$ единицу вниз от начала координат.
Таким образом, координаты точки E: $x = 0, y = -1$.
Ответ: $E(0; -1)$

Точка F
Точка F расположена непосредственно на оси $x$. Это означает, что ее ордината (координата по оси $y$) равна нулю. По оси $x$ точка смещена на $2$ единицы вправо от начала координат.
Таким образом, координаты точки F: $x = 2, y = 0$.
Ответ: $F(2; 0)$