Страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

133. Решите уравнение:

а) $5x + (3x - 3) = 6x + 11;$

б) $3a - (10 + 5a) = 54;$

в) $(x - 7) - (2x + 9) = -13;$

г) $0,6 + (0,5y - 1) = y + 0,5.$

а) $5x + (3x - 3) = 6x + 11$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых внутри скобок не меняются:
$5x + 3x - 3 = 6x + 11$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:
$8x - 3 = 6x + 11$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе знак слагаемого меняется на противоположный:
$8x - 6x = 11 + 3$
Выполним вычитание и сложение в обеих частях уравнения:
$2x = 14$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{14}{2}$
$x = 7$

Ответ: 7

б) $3a - (10 + 5a) = 54$

Раскроем скобки в левой части. Поскольку перед скобкой стоит знак «−», знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$3a - 10 - 5a = 54$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(3a - 5a) - 10 = 54$
$-2a - 10 = 54$
Перенесем число -10 из левой части в правую, изменив знак:
$-2a = 54 + 10$
$-2a = 64$
Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на -2:
$a = \frac{64}{-2}$
$a = -32$

Ответ: -32

в) $(x - 7) - (2x + 9) = -13$

Раскроем скобки. Первые скобки можно просто убрать. Перед вторыми скобками стоит знак «−», поэтому знаки слагаемых внутри них меняются на противоположные:
$x - 7 - 2x - 9 = -13$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения, сгруппировав слагаемые с $x$ и числовые слагаемые:
$(x - 2x) + (-7 - 9) = -13$
$-x - 16 = -13$
Перенесем число -16 из левой части в правую, изменив знак:
$-x = -13 + 16$
$-x = 3$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на -1:
$x = -3$

Ответ: -3

г) $0,6 + (0,5y - 1) = y + 0,5$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$0,6 + 0,5y - 1 = y + 0,5$
Приведем подобные слагаемые (числа) в левой части:
$0,5y - 0,4 = y + 0,5$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну сторону (например, в правую), а числовые слагаемые — в другую (в левую):
$-0,4 - 0,5 = y - 0,5y$
Выполним вычисления в обеих частях:
$-0,9 = 0,5y$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 0,5:
$y = \frac{-0,9}{0,5}$
$y = -1,8$

Ответ: -1,8

137. Решите уравнение:

а) $2x + 5 = 2(x + 1) + 11$;

б) $5(2y - 4) = 2(5y - 10)$;

в) $3y - (y - 19) = 2y$;

г) $6x = 1 - (4 - 6x)$.

а) $2x + 5 = 2(x + 1) + 11$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки в правой части:

$2x + 5 = 2 \cdot x + 2 \cdot 1 + 11$

$2x + 5 = 2x + 13$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$2x - 2x = 13 - 5$

Выполним вычисления в обеих частях:

$0 \cdot x = 8$

$0 = 8$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений (или говорят, что множество его решений пусто).

Ответ: решений нет.

б) $5(2y - 4) = 2(5y - 10)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив множитель перед скобкой на каждое слагаемое внутри скобок:

$5 \cdot 2y - 5 \cdot 4 = 2 \cdot 5y - 2 \cdot 10$

$10y - 20 = 10y - 20$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:

$10y - 10y = -20 + 20$

$0 \cdot y = 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $y$. Это означает, что уравнение является тождеством, и его решением будет любое число.

Ответ: $y$ — любое число.

в) $3y - (y - 19) = 2y$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные:

$3y - y + 19 = 2y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2y + 19 = 2y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$2y - 2y = -19$

$0 \cdot y = -19$

$0 = -19$

Получено неверное числовое равенство. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г) $6x = 1 - (4 - 6x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения, меняя знаки слагаемых в скобках на противоположные:

$6x = 1 - 4 + 6x$

Упростим правую часть:

$6x = -3 + 6x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$6x - 6x = -3$

$0 \cdot x = -3$

$0 = -3$

Полученное равенство является неверным, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

141. Отметьте в координатной плоскости точки $A(-3; 4)$, $B(6; 5)$, $C(5; 0)$, $D(-3; 0)$.

Чтобы отметить точки на координатной плоскости, необходимо использовать их координаты. Каждая точка, например $M(x; y)$, задается двумя числами: абсциссой $x$ и ординатой $y$.

• Абсцисса ($x$) показывает, на сколько единиц нужно сместиться от начала координат (точки $O(0;0)$) по горизонтальной оси Ox. Вправо, если число положительное, и влево, если отрицательное.
• Ордината ($y$) показывает, на сколько единиц нужно сместиться от полученной на оси Ox точки по вертикальной оси Oy. Вверх, если число положительное, и вниз, если отрицательное.

Применим этот алгоритм для каждой из заданных точек.

Отметка точки A(-3; 4)

Координаты точки A: $x = -3$, $y = 4$.

1. Начинаем в начале координат $(0; 0)$.
2. Смещаемся по оси Ox на 3 единицы влево (потому что $x = -3$ отрицательное).
3. Из этой точки ($x = -3$) поднимаемся на 4 единицы вверх параллельно оси Oy (потому что $y = 4$ положительное).

Полученная точка является точкой A. Она находится во II координатной четверти.

Отметка точки B(6; 5)

Координаты точки B: $x = 6$, $y = 5$.

1. Начинаем в начале координат $(0; 0)$.
2. Смещаемся по оси Ox на 6 единиц вправо (потому что $x = 6$ положительное).
3. Из этой точки ($x = 6$) поднимаемся на 5 единиц вверх параллельно оси Oy (потому что $y = 5$ положительное).

Полученная точка является точкой B. Она находится в I координатной четверти.

Отметка точки C(5; 0)

Координаты точки C: $x = 5$, $y = 0$.

1. Начинаем в начале координат $(0; 0)$.
2. Смещаемся по оси Ox на 5 единиц вправо (потому что $x = 5$ положительное).
3. Поскольку ордината $y = 0$, мы остаемся на оси Ox.

Точка C лежит на оси Ox.

Отметка точки D(-3; 0)

Координаты точки D: $x = -3$, $y = 0$.

1. Начинаем в начале координат $(0; 0)$.
2. Смещаемся по оси Ox на 3 единицы влево (потому что $x = -3$ отрицательное).
3. Поскольку ордината $y = 0$, мы остаемся на оси Ox.

Точка D лежит на оси Ox.

Ответ:

Координатная плоскость с отмеченными точками $A(-3; 4)$, $B(6; 5)$, $C(5; 0)$ и $D(-3; 0)$ показана на рисунке ниже.

134. При каком значении переменной значение выражения $8b - 27$ равно:

а) 5;

б) -11;

в) 1,8;

г) -1?

Чтобы найти значение переменной $b$, при котором выражение $8b - 27$ принимает заданное значение, необходимо составить и решить уравнение для каждого случая.

а) Приравняем выражение к 5:
$8b - 27 = 5$
Перенесем слагаемое -27 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$8b = 5 + 27$
$8b = 32$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 8:
$b = \frac{32}{8}$
$b = 4$
Проверка: $8 \cdot 4 - 27 = 32 - 27 = 5$.
Ответ: $4$.

б) Приравняем выражение к -11:
$8b - 27 = -11$
Перенесем -27 в правую часть:
$8b = -11 + 27$
$8b = 16$
Разделим обе части на 8:
$b = \frac{16}{8}$
$b = 2$
Проверка: $8 \cdot 2 - 27 = 16 - 27 = -11$.
Ответ: $2$.

в) Приравняем выражение к 1,8:
$8b - 27 = 1,8$
Перенесем -27 в правую часть:
$8b = 1,8 + 27$
$8b = 28,8$
Разделим обе части на 8:
$b = \frac{28,8}{8}$
$b = 3,6$
Проверка: $8 \cdot 3,6 - 27 = 28,8 - 27 = 1,8$.
Ответ: $3,6$.

г) Приравняем выражение к -1:
$8b - 27 = -1$
Перенесем -27 в правую часть:
$8b = -1 + 27$
$8b = 26$
Разделим обе части на 8:
$b = \frac{26}{8}$
Сократим дробь на 2:
$b = \frac{13}{4}$
Переведем в десятичную дробь:
$b = 3,25$
Проверка: $8 \cdot 3,25 - 27 = 26 - 27 = -1$.
Ответ: $3,25$.

138. Решите уравнение:

a) $15(x+2)-30=12x$;

б) $6(1+5x)=5(1+6x)$;

в) $3y+(y-2)=2(2y-1)$;

г) $6y-(y-1)=4+5y.$

а) $15(x + 2) - 30 = 12x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 15 на каждый член в скобках:

$15 \cdot x + 15 \cdot 2 - 30 = 12x$

$15x + 30 - 30 = 12x$

Упростим левую часть, выполнив вычитание:

$15x = 12x$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону. Вычтем $12x$ из обеих частей уравнения:

$15x - 12x = 0$

Выполним вычитание:

$3x = 0$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{0}{3}$

$x = 0$

Ответ: $0$

б) $6(1 + 5x) = 5(1 + 6x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$6 \cdot 1 + 6 \cdot 5x = 5 \cdot 1 + 5 \cdot 6x$

$6 + 30x = 5 + 30x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены (числа) — в правую, меняя их знаки при переносе:

$30x - 30x = 5 - 6$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$0 \cdot x = -1$

$0 = -1$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное равенство было бы верным. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

в) $3y + (y - 2) = 2(2y - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3y + y - 2 = 2 \cdot 2y - 2 \cdot 1$

$3y + y - 2 = 4y - 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4y - 2 = 4y - 2$

Мы получили тождество, то есть равенство, которое верно при любом значении переменной $y$, так как левая и правая части уравнения идентичны. Это означает, что любое число является решением этого уравнения.

Ответ: любое число.

г) $6y - (y - 1) = 4 + 5y$

Раскроем скобки в левой части. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$6y - y + 1 = 4 + 5y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5y + 1 = 4 + 5y$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$5y - 5y = 4 - 1$

Выполним вычитание в обеих частях:

$0 \cdot y = 3$

$0 = 3$

Получилось неверное числовое равенство. Это значит, что уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

142. Упростите выражение и найдите его значение:

а) $6.8c - (3.6c + 2.1)$ при $c = 2.5$;

б) $4.4 - (9.6 - 1.2m)$ при $m = -3.5$.

а) Сначала упростим выражение $6,8c - (3,6c + 2,1)$. Для этого раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$6,8c - (3,6c + 2,1) = 6,8c - 3,6c - 2,1$

Теперь приведем подобные слагаемые (слагаемые с переменной $c$):

$(6,8 - 3,6)c - 2,1 = 3,2c - 2,1$

Теперь подставим значение $c = 2,5$ в упрощенное выражение:

$3,2 \cdot 2,5 - 2,1 = 8 - 2,1 = 5,9$

Ответ: 5,9

б) Сначала упростим выражение $4,4 - (9,6 - 1,2m)$. Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобками стоит знак минус:

$4,4 - (9,6 - 1,2m) = 4,4 - 9,6 + 1,2m$

Теперь приведем подобные слагаемые (числовые константы):

$(4,4 - 9,6) + 1,2m = -5,2 + 1,2m$

Теперь подставим значение $m = -3,5$ в упрощенное выражение:

$1,2 \cdot (-3,5) - 5,2 = -4,2 - 5,2 = -9,4$

Ответ: -9,4

135. При каком значении переменной:

а) значения выражений $2m - 13$ и $m + 3$ равны;

б) значение выражения $3 - 5c$ на 1 меньше значения выражения $1 - c$;

в) значение выражения $2x + 1$ на 20 больше значения выражения $8x + 5$;

г) значение $x$ в 3 раза меньше значения выражения $45 - 10x$;

д) значение выражения $9 - y$ в 2 раза больше значения $y$?

а) значения выражений $2m - 13$ и $m + 3$ равны;

Чтобы найти значение переменной $m$, при котором значения выражений равны, нужно приравнять их друг к другу и решить полученное уравнение:

$2m - 13 = m + 3$

Перенесем слагаемые с переменной $m$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую, изменяя знак при переносе:

$2m - m = 3 + 13$

Упростим обе части уравнения:

$m = 16$

Ответ: $m = 16$.

б) значение выражения $3 - 5c$ на 1 меньше значения выражения $1 - c$;

Условие "значение выражения $A$ на 1 меньше значения выражения $B$" можно записать в виде уравнения $A = B - 1$. Составим уравнение для данных выражений:

$3 - 5c = (1 - c) - 1$

Упростим правую часть уравнения:

$3 - 5c = -c$

Перенесем слагаемые с переменной $c$ в правую часть:

$3 = -c + 5c$

$3 = 4c$

Найдем $c$:

$c = \frac{3}{4}$

$c = 0.75$

Ответ: $c = 0.75$.

в) значение выражения $2x + 1$ на 20 больше значения выражения $8x + 5$;

Условие "значение выражения $A$ на 20 больше значения выражения $B$" можно записать в виде уравнения $A = B + 20$. Составим уравнение:

$2x + 1 = (8x + 5) + 20$

Упростим правую часть уравнения:

$2x + 1 = 8x + 25$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$1 - 25 = 8x - 2x$

$-24 = 6x$

Найдем $x$:

$x = \frac{-24}{6}$

$x = -4$

Ответ: $x = -4$.

г) значение $x$ в 3 раза меньше значения выражения $45 - 10x$;

Условие "значение $A$ в 3 раза меньше значения $B$" означает, что $B = 3A$. Составим уравнение:

$45 - 10x = 3x$

Перенесем слагаемое с переменной $x$ из левой части в правую:

$45 = 3x + 10x$

$45 = 13x$

Найдем $x$:

$x = \frac{45}{13}$

Ответ: $x = \frac{45}{13}$.

д) значение выражения $9 - y$ в 2 раза больше значения $y$?

Условие "значение выражения $A$ в 2 раза больше значения $B$" означает, что $A = 2B$. Составим уравнение:

$9 - y = 2y$

Перенесем слагаемое с переменной $y$ из левой части в правую:

$9 = 2y + y$

$9 = 3y$

Найдем $y$:

$y = \frac{9}{3}$

$y = 3$

Ответ: $y = 3$.

139. Укажите все целые значения y, при которых верно двойное неравенство:

a) $-5 < y < 2$;

б) $28 \le y \le 31.2$.

а)

Требуется найти все целые значения y, для которых выполняется двойное неравенство $ -5 < y < 2 $.

Это неравенство означает, что y должен быть строго больше -5 и строго меньше 2.

Целые числа, которые больше -5, начинаются с -4. Это: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, и так далее.

Целые числа, которые меньше 2, это: 1, 0, -1, -2, и так далее.

Объединяя оба условия, мы ищем целые числа, которые находятся в интервале от -5 до 2, не включая сами числа -5 и 2.

Перечислим эти числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1.

Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1.

б)

Требуется найти все целые значения y, для которых выполняется двойное неравенство $ 28 \le y \le 31,2 $.

Это неравенство состоит из двух частей: $ y \ge 28 $ и $ y \le 31,2 $.

Из условия $ y \ge 28 $ следует, что наименьшим целым значением для y является 28.

Из условия $ y \le 31,2 $ следует, что наибольшим целым значением для y является 31 (поскольку 32 уже больше 31,2).

Таким образом, искомые целые значения y должны быть больше или равны 28 и меньше или равны 31.

Перечислим эти числа: 28, 29, 30, 31.

Ответ: 28, 29, 30, 31.

136. При каком значении y:

а) значения выражений $5y + 3$ и $36 - y$ равны;

б) значение выражения $7y - 2$ больше значения выражения $2y$ на 10;

в) значение выражения $1,7y + 37$ меньше значения выражения $9,3y - 25$ на 14?

а)

Чтобы найти значение $y$, при котором значения выражений $5y + 3$ и $36 - y$ равны, нужно составить и решить уравнение, приравняв эти выражения:

$5y + 3 = 36 - y$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $y$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе знак слагаемого меняется на противоположный.

$5y + y = 36 - 3$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$6y = 33$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 6:

$y = \frac{33}{6}$

$y = 5,5$

Ответ: $5,5$.

б)

Условие "значение выражения $7y - 2$ больше значения выражения $2y$ на 10" означает, что если из первого выражения вычесть второе, получится 10. Либо, если ко второму выражению прибавить 10, оно станет равно первому. Составим уравнение по второму варианту:

$7y - 2 = 2y + 10$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$7y - 2y = 10 + 2$

Упростим обе части уравнения:

$5y = 12$

Разделим обе части на 5, чтобы найти $y$:

$y = \frac{12}{5}$

$y = 2,4$

Ответ: $2,4$.

в)

Условие "значение выражения $1,7y + 37$ меньше значения выражения $9,3y - 25$ на 14" означает, что если к первому (меньшему) выражению прибавить 14, то оно станет равно второму (большему). Составим уравнение:

$(1,7y + 37) + 14 = 9,3y - 25$

Сначала упростим левую часть, сложив числа:

$1,7y + 51 = 9,3y - 25$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части, а числовые слагаемые — в другой. Чтобы избежать отрицательного коэффициента при $y$, перенесем $1,7y$ вправо, а $-25$ влево:

$51 + 25 = 9,3y - 1,7y$

Упростим обе части уравнения:

$76 = 7,6y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части на 7,6:

$y = \frac{76}{7,6}$

$y = 10$

Ответ: $10$.

140. Подберите какое-нибудь число, заключённое между данными числами. Результат запишите в виде двойного неравенства:

а) 7,8 и 7,9;

б) $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$;

в) $-0,3$ и $-0,4$;

г) $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$.

а) Чтобы найти число, заключённое между десятичными дробями $7,8$ и $7,9$, можно увеличить количество знаков после запятой. Представим эти числа в виде $7,80$ и $7,90$. Теперь очевидно, что между ними находится бесконечно много чисел. Например, мы можем выбрать число $7,85$. Таким образом, мы можем записать двойное неравенство, которое показывает, что $7,85$ находится между $7,8$ и $7,9$.
Ответ: $7,8 < 7,85 < 7,9$

б) Даны обыкновенные дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Для того чтобы найти число между ними, сначала сравним их, приведя к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 4 равен 12.
$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} $
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $
Поскольку $ \frac{3}{12} < \frac{4}{12} $, то $ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} $.
Теперь нам нужно найти число, которое больше $\frac{3}{12}$ и меньше $\frac{4}{12}$. Для этого можно увеличить знаменатель, умножив числитель и знаменатель обеих дробей на одно и то же число, например, на 2.
$ \frac{3}{12} = \frac{3 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{6}{24} $
$ \frac{4}{12} = \frac{4 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{8}{24} $
Теперь легко найти число между $\frac{6}{24}$ и $\frac{8}{24}$. Таким числом является, например, $\frac{7}{24}$. Запишем итоговое неравенство.
Ответ: $ \frac{1}{4} < \frac{7}{24} < \frac{1}{3} $

в) Даны отрицательные числа $-0,3$ и $-0,4$. При сравнении отрицательных чисел, большим является то, модуль которого меньше. Так как $|-0,3| < |-0,4|$, то $-0,3 > -0,4$. Следовательно, искомое число должно быть в интервале $(-0,4; -0,3)$.
Как и в пункте а), представим числа с большим количеством знаков после запятой: $-0,40$ и $-0,30$. Между ними можно выбрать, например, число $-0,35$. Запишем это в виде двойного неравенства.
Ответ: $-0,4 < -0,35 < -0,3$

г) Даны дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Чтобы найти число между ними, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 это 12.
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $
Так как $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, то $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.
Нам нужно найти число между $\frac{8}{12}$ и $\frac{9}{12}$. Увеличим знаменатель, умножив числители и знаменатели дробей на 2.
$ \frac{8}{12} = \frac{8 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{16}{24} $
$ \frac{9}{12} = \frac{9 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{18}{24} $
Между дробями $\frac{16}{24}$ и $\frac{18}{24}$ находится дробь $\frac{17}{24}$. Запишем результат в виде двойного неравенства.
Ответ: $ \frac{2}{3} < \frac{17}{24} < \frac{3}{4} $