Страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

153. Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором — на 4 банки меньше, чем в третьем?

Для решения этой задачи составим уравнение. Обозначим количество банок в первом ящике через $x$.

Согласно условию, в третьем ящике было на 9 банок больше, чем в первом. Следовательно, количество банок в третьем ящике можно выразить как $x + 9$.

Во втором ящике было на 4 банки меньше, чем в третьем. Так как в третьем ящике $x + 9$ банок, то во втором ящике будет $(x + 9) - 4$, что равно $x + 5$ банок.

Общее количество банок во всех трех ящиках равно 59. Теперь мы можем составить уравнение, сложив количество банок в каждом ящике:

$x + (x + 5) + (x + 9) = 59$

Решим полученное уравнение:

$3x + 14 = 59$

Перенесем 14 в правую часть уравнения:

$3x = 59 - 14$

$3x = 45$

Найдем $x$:

$x = \frac{45}{3}$

$x = 15$

Мы получили, что в первом ящике должно быть 15 банок. Так как количество банок является целым положительным числом, такое распределение возможно.

Теперь найдем количество банок в остальных ящиках:

• В первом ящике: $x = 15$ банок.
• Во втором ящике: $x + 5 = 15 + 5 = 20$ банок.
• В третьем ящике: $x + 9 = 15 + 9 = 24$ банки.

Проверим, выполняется ли условие по общему количеству банок:

$15 + 20 + 24 = 59$

Так как мы нашли целочисленное решение для каждого ящика, которое удовлетворяет всем условиям задачи, разложить банки указанным образом можно.

Ответ: Да, можно. В этом случае в первом ящике будет 15 банок, во втором — 20 банок, а в третьем — 24 банки.

Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходить по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?

Для решения задачи определим, какое расстояние было между двумя людьми в тот момент, когда второй человек отправился в путь, и с какой скоростью это расстояние сокращалось.

1. Первый человек движется со скоростью $v_1 = 40$ вёрст в день. Он вышел на один день раньше второго. За этот день он прошел расстояние, равное:$S_{фора} = v_1 \times 1 \text{ день} = 40 \times 1 = 40$ вёрст.Это расстояние является начальным отрывом (форой) первого человека от второго в момент старта второго человека.

2. Второй человек движется со скоростью $v_2 = 45$ вёрст в день. Поскольку он движется быстрее первого, он будет его догонять. Скорость, с которой второй человек догоняет первого (скорость сближения), равна разности их скоростей:$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 45 - 40 = 5$ вёрст в день.Это означает, что каждый день расстояние между ними уменьшается на 5 вёрст.

3. Чтобы найти время, через которое второй человек догонит первого, нужно разделить начальное расстояние между ними на скорость сближения:$t = \frac{S_{фора}}{v_{сбл}} = \frac{40}{5} = 8$ дней.

Также задачу можно решить с помощью уравнения. Пусть $t$ — это количество дней, которое был в пути второй человек до момента встречи. Тогда первый человек был в пути $(t+1)$ дней. К моменту встречи они пройдут одинаковое расстояние от Москвы:

Расстояние первого человека: $S_1 = 40 \times (t+1)$

Расстояние второго человека: $S_2 = 45 \times t$

Приравняем расстояния: $S_1 = S_2$

$40(t+1) = 45t$

$40t + 40 = 45t$

$45t - 40t = 40$

$5t = 40$

$t = \frac{40}{5} = 8$ дней.

Ответ: 8 дней.

154. На одном садовом участке в 5 раз больше кустов малины, чем на другом. После того как с первого участка пересадили на второй 22 куста, на обоих участках кустов малины стало поровну. Сколько кустов малины было на каждом участке?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество кустов малины на втором участке первоначально. Тогда на первом участке, где кустов было в 5 раз больше, их количество составляло $5x$.

С первого участка пересадили 22 куста на второй. Это означает, что количество кустов на первом участке уменьшилось на 22, а на втором — увеличилось на 22.

Количество кустов на первом участке после пересадки: $(5x - 22)$.

Количество кустов на втором участке после пересадки: $(x + 22)$.

По условию задачи, после пересадки количество кустов на обоих участках стало одинаковым. Мы можем составить уравнение:

$5x - 22 = x + 22$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$5x - x = 22 + 22$

Упростим выражение:

$4x = 44$

Найдем $x$, разделив обе части на 4:

$x = \frac{44}{4}$

$x = 11$

Мы нашли, что на втором участке первоначально было 11 кустов малины.

Теперь найдем, сколько кустов было на первом участке. Для этого умножим количество кустов на втором участке на 5:

$5 \times x = 5 \times 11 = 55$

Таким образом, на первом участке было 55 кустов.

Проверим результат:
Изначально: на первом участке 55 кустов, на втором 11 кустов ($55 = 5 \times 11$).
После пересадки: на первом участке стало $55 - 22 = 33$ куста, на втором стало $11 + 22 = 33$ куста. Количество кустов стало равным, что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально на первом участке было 55 кустов малины, а на втором — 11 кустов.

158. Для ремонта школы прибыла бригада, в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду ещё четырёх маляров, а двух плотников перевёл на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше, чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это первоначальное количество плотников в бригаде.

Согласно условию, маляров было в 2,5 раза больше, чем плотников. Значит, первоначальное количество маляров было $2.5x$.

После того как прораб добавил в бригаду ещё четырёх маляров, их количество стало $2.5x + 4$.

В то же время, когда двух плотников перевели на другой объект, их количество уменьшилось и стало $x - 2$.

В результате этих изменений маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше, чем плотников. На основе этого составим уравнение:

$2.5x + 4 = 4 \cdot (x - 2)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$2.5x + 4 = 4x - 8$

Перенесём все слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую:

$4 + 8 = 4x - 2.5x$

$12 = 1.5x$

Теперь найдём значение $x$:

$x = \frac{12}{1.5}$

$x = 8$

Таким образом, мы нашли, что первоначально в бригаде было 8 плотников.

Теперь найдём первоначальное количество маляров, зная, что их было в 2,5 раза больше:

$2.5 \cdot x = 2.5 \cdot 8 = 20$

Итак, первоначально в бригаде было 20 маляров.

Выполним проверку:

1. Изначально: 20 маляров, 8 плотников. $20 / 8 = 2.5$. Условие выполняется.

2. После изменений: $20 + 4 = 24$ маляра, $8 - 2 = 6$ плотников. $24 / 6 = 4$. Условие выполняется.

Ответ: первоначально в бригаде было 20 маляров и 8 плотников.

151. На свитер, шапку и шарф израсходовали $555 \text{ г}$ шерсти, причём на шапку ушло в $5 \text{ раз}$ меньше шерсти, чем на свитер, и на $5 \text{ г}$ больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество шерсти в граммах, израсходованное на шапку.

Основываясь на условиях задачи, выразим количество шерсти для свитера и шарфа через $x$:

• На свитер ушло в 5 раз больше шерсти, чем на шапку, то есть: $5x$ г.
• На шарф ушло на 5 г меньше шерсти, чем на шапку, то есть: $x-5$ г.

Общее количество шерсти, использованное для всех трех изделий, равно 555 г. Составим уравнение, сложив расход шерсти на каждое изделие:

$5x + x + (x - 5) = 555$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$7x - 5 = 555$

$7x = 555 + 5$

$7x = 560$

$x = \frac{560}{7}$

$x = 80$

Таким образом, мы выяснили, что на шапку ушло 80 г шерсти. Теперь рассчитаем количество шерсти для каждого изделия в отдельности.

Свитер

Расход шерсти на свитер равен $5x$. Подставив найденное значение $x$, получаем:

$5 \cdot 80 = 400$ г.

Ответ: на свитер израсходовали 400 г шерсти.

Шапка

Расход шерсти на шапку равен $x$.

$x = 80$ г.

Ответ: на шапку израсходовали 80 г шерсти.

Шарф

Расход шерсти на шарф равен $x-5$. Подставив значение $x$, получаем:

$80 - 5 = 75$ г.

Ответ: на шарф израсходовали 75 г шерсти.

155. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Для решения задачи обозначим собственную скорость теплохода (скорость в стоячей воде) за $x$ км/ч. Скорость течения реки известна и составляет 2 км/ч.

Когда теплоход движется по течению, его скорость увеличивается на скорость течения и равна $v_{по} = (x + 2)$ км/ч.
Когда теплоход движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения и равна $v_{против} = (x - 2)$ км/ч.

Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.
За 9 часов по течению реки теплоход проходит расстояние $S_1 = 9 \cdot (x + 2)$ км.
За 11 часов против течения теплоход проходит расстояние $S_2 = 11 \cdot (x - 2)$ км.

По условию задачи, эти расстояния равны ($S_1 = S_2$). На основе этого мы можем составить и решить уравнение:
$9 \cdot (x + 2) = 11 \cdot (x - 2)$
Раскроем скобки:
$9x + 18 = 11x - 22$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую, чтобы избежать отрицательных коэффициентов:
$18 + 22 = 11x - 9x$
$40 = 2x$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{40}{2}$
$x = 20$

Таким образом, собственная скорость теплохода составляет 20 км/ч.
Ответ: 20 км/ч.

159. (Для работы в парах.) В классе учится ... учащихся. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно 5 : 4. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в классе?

1) Выясните, какие числа, соответствующие смыслу задачи, можно поставить вместо многоточия.

2) Предложите друг другу закончить решение для одного из найденных чисел.

3) Обсудите полученные ответы.

1) Выясните, какие числа, соответствующие смыслу задачи, можно поставить вместо многоточия.

Пусть в классе учится $Д$ девочек и $М$ мальчиков. Согласно условию, отношение числа девочек к числу мальчиков равно 5:4. Это можно записать в виде пропорции:
$Д : М = 5 : 4$
Это означает, что на каждые 5 девочек в классе приходится 4 мальчика. Можно сказать, что количество девочек составляет 5 частей, а количество мальчиков — 4 части от общего числа учащихся.
Найдем, сколько всего частей приходится на всех учащихся в классе:
$5 + 4 = 9$ (частей)
Следовательно, общее количество учащихся в классе должно делиться на 9 без остатка, так как количество учеников может быть только целым числом.
Таким образом, вместо многоточия можно поставить любое натуральное число, кратное 9.
Учитывая, что речь идет о количестве учеников в одном классе, наиболее вероятными числами будут 18, 27, 36.

Ответ: Вместо многоточия можно поставить любое натуральное число, кратное 9 (например, 9, 18, 27, 36 и т.д.).

2) Предложите друг другу закончить решение для одного из найденных чисел.

Закончим решение для случая, когда в классе 27 учащихся.
1. Найдем, сколько учеников приходится на одну часть. Для этого общее количество учащихся разделим на общее количество частей:
$27 : 9 = 3$ (ученика) — в одной части.
2. Найдем, сколько девочек в классе. Так как на девочек приходится 5 частей, умножим количество учеников в одной части на 5:
$3 \times 5 = 15$ (девочек)
3. Найдем, сколько мальчиков в классе. Так как на мальчиков приходится 4 части, умножим количество учеников в одной части на 4:
$3 \times 4 = 12$ (мальчиков)
4. Проверим решение:
Всего учащихся: $15 + 12 = 27$. Это соответствует нашему условию.
Отношение числа девочек к числу мальчиков: $15 : 12$. Сократив обе части отношения на 3, получим $5 : 4$. Это также соответствует условию.

Ответ: Если в классе 27 учащихся, то в нем 15 девочек и 12 мальчиков.

3) Обсудите полученные ответы.

Обсуждая полученные ответы, можно прийти к следующим выводам:
- Независимо от того, какое конкретное число, кратное 9, мы подставим в условие задачи, метод решения останется тем же.
- Меняется только значение одной "части". Например:
- Если в классе 18 учеников, то одна часть равна $18 : 9 = 2$ ученика. Тогда девочек $5 \times 2 = 10$, а мальчиков $4 \times 2 = 8$.
- Если в классе 36 учеников, то одна часть равна $36 : 9 = 4$ ученика. Тогда девочек $5 \times 4 = 20$, а мальчиков $4 \times 4 = 16$.
- В любом из этих случаев отношение числа девочек к числу мальчиков будет равно $5 : 4$ (например, $10:8 = 5:4$ и $20:16 = 5:4$).
- Таким образом, задача имеет бесконечное множество решений, если не ограничивать общее число учеников рамками численности обычного школьного класса. Каждое решение соответствует определенному общему числу учащихся, которое обязательно должно быть кратно 9.

Ответ: Количество девочек и мальчиков напрямую зависит от общего числа учеников в классе, которое должно быть кратно 9. При изменении общего числа учеников количество девочек и мальчиков меняется пропорционально, сохраняя отношение 5:4.

152. Можно ли расположить 158 книг на трёх полках так, чтобы на первой полке было на 8 книг меньше, чем на второй, и на 5 книг больше, чем на третьей?

Для того чтобы определить, возможно ли такое расположение книг, введем переменную. Пусть $x$ — это количество книг на первой полке.

Исходя из условия задачи, выразим количество книг на второй и третьей полках через $x$:

• На первой полке на 8 книг меньше, чем на второй. Следовательно, на второй полке на 8 книг больше, чем на первой. Количество книг на второй полке: $x + 8$.
• На первой полке на 5 книг больше, чем на третьей. Следовательно, на третьей полке на 5 книг меньше, чем на первой. Количество книг на третьей полке: $x - 5$.

Общее количество книг на трех полках составляет 158. Мы можем составить уравнение, сложив количество книг на каждой полке:

$x + (x + 8) + (x - 5) = 158$

Теперь решим это уравнение:

$3x + 3 = 158$

$3x = 158 - 3$

$3x = 155$

$x = \frac{155}{3}$

$x = 51\frac{2}{3}$

Мы получили, что количество книг на первой полке ($x$) должно быть дробным числом. Однако количество книг может быть только целым числом. Следовательно, невозможно расположить книги на полках в соответствии с заданными условиями.

Ответ: нет, так расположить книги нельзя.

156. По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдёт столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость обеих машин.

Согласно условию, первая машина увеличивает скорость на 10 км/ч, следовательно, ее новая скорость составляет $(v + 10)$ км/ч. Вторая машина уменьшает скорость на 10 км/ч, и ее новая скорость становится $(v - 10)$ км/ч.

Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Расстояние, которое первая машина пройдет за 2 часа, равно:
$S_1 = (v + 10) \cdot 2$

Расстояние, которое вторая машина пройдет за 3 часа, равно:
$S_2 = (v - 10) \cdot 3$

По условию задачи эти расстояния равны, то есть $S_1 = S_2$. Составим и решим уравнение:

$2 \cdot (v + 10) = 3 \cdot (v - 10)$

Раскроем скобки:

$2v + 20 = 3v - 30$

Перенесем слагаемые с переменной $v$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$20 + 30 = 3v - 2v$

$50 = v$

Таким образом, первоначальная скорость каждой автомашины составляет 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

160. В корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда было в корзине?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество винограда в корзине в килограммах.

Согласно условию, в корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. Это означает, что в ящике было в 2 раза больше винограда, чем в корзине. Таким образом, количество винограда в ящике можно выразить как $2x$ кг.

Запишем первоначальные условия:

• Количество винограда в корзине: $x$ кг.
• Количество винограда в ящике: $2x$ кг.

Затем в корзину добавили 2 кг винограда. Новое количество винограда в корзине стало $x + 2$ кг. Количество винограда в ящике при этом не изменилось.

После этого изменения в корзине стало винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Мы можем составить уравнение, приравняв количество винограда в корзине к количеству винограда в ящике, увеличенному на 0,5 кг:

$x + 2 = 2x + 0,5$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую.

$2 - 0,5 = 2x - x$

$1,5 = x$

Таким образом, мы нашли, что первоначально в корзине было 1,5 кг винограда.

Проверим полученный результат:

• Первоначально в корзине было 1,5 кг винограда.
• Первоначально в ящике было $2 \cdot 1,5 = 3$ кг винограда (что в 2 раза больше, чем в корзине).
• После добавления 2 кг в корзину, в ней стало $1,5 + 2 = 3,5$ кг.
• Сравним количество винограда: в корзине стало 3,5 кг, а в ящике осталось 3 кг. Разница составляет $3,5 - 3 = 0,5$ кг. Это соответствует условию, что в корзине стало на 0,5 кг больше.

Все условия задачи выполняются.

Ответ: первоначально в корзине было 1,5 кг винограда.