Страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

168. Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел:

а) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

б) 21, 18,5, 25,3, 18,5, 17,9;

в) 67,1, 68,2, 67,1, 70,4, 68,2;

г) 0,6, 0,8, 0,5, 0,9, 1,1.

а) Дан ряд чисел: 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26.

Среднее арифметическое — это отношение суммы всех чисел к их количеству.
Сумма чисел: $32 + 26 + 18 + 26 + 15 + 21 + 26 = 164$.
Количество чисел в ряду: 7.
Среднее арифметическое: $\frac{164}{7} = 23 \frac{3}{7}$.

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значением в ряду.
Упорядочим ряд по возрастанию: 15, 18, 21, 26, 26, 26, 32.
Наибольшее значение — 32, наименьшее — 15.
Размах: $32 - 15 = 17$.

Мода — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто.
В данном ряду число 26 встречается 3 раза, что чаще, чем любое другое число.
Мода ряда: 26.

Ответ: среднее арифметическое — $23 \frac{3}{7}$, размах — 17, мода — 26.

б) Дан ряд чисел: 21, 18.5, 25.3, 18.5, 17.9.

Среднее арифметическое:
Сумма чисел: $21 + 18.5 + 25.3 + 18.5 + 17.9 = 101.2$.
Количество чисел в ряду: 5.
Среднее арифметическое: $\frac{101.2}{5} = 20.24$.

Размах ряда:
Упорядочим ряд по возрастанию: 17.9, 18.5, 18.5, 21, 25.3.
Наибольшее значение — 25.3, наименьшее — 17.9.
Размах: $25.3 - 17.9 = 7.4$.

Мода ряда:
Число 18.5 встречается дважды, остальные числа — по одному разу.
Мода ряда: 18.5.

Ответ: среднее арифметическое — 20.24, размах — 7.4, мода — 18.5.

в) Дан ряд чисел: 67.1, 68.2, 67.1, 70.4, 68.2.

Среднее арифметическое:
Сумма чисел: $67.1 + 68.2 + 67.1 + 70.4 + 68.2 = 341$.
Количество чисел в ряду: 5.
Среднее арифметическое: $\frac{341}{5} = 68.2$.

Размах ряда:
Упорядочим ряд по возрастанию: 67.1, 67.1, 68.2, 68.2, 70.4.
Наибольшее значение — 70.4, наименьшее — 67.1.
Размах: $70.4 - 67.1 = 3.3$.

Мода ряда:
Числа 67.1 и 68.2 встречаются по два раза каждое. Это наиболее частые значения в ряду. Следовательно, у этого ряда две моды.
Моды ряда: 67.1 и 68.2.

Ответ: среднее арифметическое — 68.2, размах — 3.3, моды — 67.1 и 68.2.

г) Дан ряд чисел: 0.6, 0.8, 0.5, 0.9, 1.1.

Среднее арифметическое:
Сумма чисел: $0.6 + 0.8 + 0.5 + 0.9 + 1.1 = 3.9$.
Количество чисел в ряду: 5.
Среднее арифметическое: $\frac{3.9}{5} = 0.78$.

Размах ряда:
Упорядочим ряд по возрастанию: 0.5, 0.6, 0.8, 0.9, 1.1.
Наибольшее значение — 1.1, наименьшее — 0.5.
Размах: $1.1 - 0.5 = 0.6$.

Мода ряда:
Все числа в данном ряду встречаются только по одному разу.
У этого ряда нет моды.

Ответ: среднее арифметическое — 0.78, размах — 0.6, моды нет.

169. Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел:

a) 16, 22, 16, 13, 20, 17;

б) -21, -33, -35, -19, -20, -22;

в) 61, 64, 64, 83, 61, 71, 70;

г) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12.

а) Для ряда чисел 16, 22, 16, 13, 20, 17:
1. Среднее арифметическое – это сумма всех чисел ряда, деленная на их количество.
Сумма: $16 + 22 + 16 + 13 + 20 + 17 = 104$.
Количество чисел в ряду: 6.
Среднее арифметическое: $\frac{104}{6} = \frac{52}{3} = 17\frac{1}{3}$.
2. Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду.
Упорядоченный ряд: 13, 16, 16, 17, 20, 22.
Наибольшее значение: 22. Наименьшее значение: 13.
Размах: $22 - 13 = 9$.
3. Мода – это число, которое встречается в ряду чаще всего.
В данном ряду число 16 встречается дважды, в то время как все остальные числа – по одному разу.
Мода: 16.
Ответ: среднее арифметическое $17\frac{1}{3}$, размах 9, мода 16.

б) Для ряда чисел –21, –33, –35, –19, –20, –22:
1. Среднее арифметическое:
Сумма: $(-21) + (-33) + (-35) + (-19) + (-20) + (-22) = -150$.
Количество чисел в ряду: 6.
Среднее арифметическое: $\frac{-150}{6} = -25$.
2. Размах:
Упорядоченный ряд: –35, –33, –22, –21, –20, –19.
Наибольшее значение: –19. Наименьшее значение: –35.
Размах: $-19 - (-35) = -19 + 35 = 16$.
3. Мода:
Все числа в этом ряду встречаются только по одному разу, поэтому моды у этого ряда нет.
Ответ: среднее арифметическое –25, размах 16, моды нет.

в) Для ряда чисел 61, 64, 64, 83, 61, 71, 70:
1. Среднее арифметическое:
Сумма: $61 + 64 + 64 + 83 + 61 + 71 + 70 = 474$.
Количество чисел в ряду: 7.
Среднее арифметическое: $\frac{474}{7} = 67\frac{5}{7}$.
2. Размах:
Упорядоченный ряд: 61, 61, 64, 64, 70, 71, 83.
Наибольшее значение: 83. Наименьшее значение: 61.
Размах: $83 - 61 = 22$.
3. Мода:
В этом ряду числа 61 и 64 встречаются по два раза, что чаще, чем остальные числа. Такой ряд называется бимодальным.
Моды: 61 и 64.
Ответ: среднее арифметическое $67\frac{5}{7}$, размах 22, моды 61 и 64.

г) Для ряда чисел –4, –6, 0, 4, 0, 6, 8, –12:
1. Среднее арифметическое:
Сумма: $(-4) + (-6) + 0 + 4 + 0 + 6 + 8 + (-12) = -4$.
Количество чисел в ряду: 8.
Среднее арифметическое: $\frac{-4}{8} = -0,5$.
2. Размах:
Упорядоченный ряд: –12, –6, –4, 0, 0, 4, 6, 8.
Наибольшее значение: 8. Наименьшее значение: –12.
Размах: $8 - (-12) = 8 + 12 = 20$.
3. Мода:
В данном ряду число 0 встречается дважды, а все остальные числа – по одному разу.
Мода: 0.
Ответ: среднее арифметическое –0,5, размах 20, мода 0.

170. Как могут измениться размах и мода ряда чисел, если:

а) дополнить его числом, превосходящим все остальные;

б) вычеркнуть из него число, меньшее всех остальных;

в) дополнить его числом, равным наибольшему из чисел?

Для анализа изменений введем обозначения для исходного ряда чисел: $x_{min}$ — наименьшее число в ряду, $x_{max}$ — наибольшее число в ряду.
Размах ряда (R) — это разность между наибольшим и наименьшим значениями: $R = x_{max} - x_{min}$.
Мода ряда — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто.

а) дополнить его числом, превосходящим все остальные;

Пусть в ряд добавляется новое число $x_{new}$, такое, что оно больше всех существующих чисел, то есть $x_{new} > x_{max}$.

Изменение размаха:
После добавления $x_{new}$, это число становится новым наибольшим значением ряда. Наименьшее значение $x_{min}$ при этом не меняется. Новый размах $R_{new}$ будет равен $R_{new} = x_{new} - x_{min}$. Поскольку $x_{new} > x_{max}$, очевидно, что $x_{new} - x_{min} > x_{max} - x_{min}$, а значит, новый размах будет больше исходного ($R_{new} > R$). Таким образом, размах всегда увеличивается.

Изменение моды:
Добавленное число $x_{new}$ по определению уникально в данном ряду, его частота равна 1. Частоты остальных чисел в ряду не меняются. Следовательно, самое частое число (мода) останется прежним, так как его частота (если мода существовала) заведомо больше 1. Если в ряду не было моды (все числа встречались по одному разу), то и после добавления еще одного уникального числа мода не появится. Таким образом, мода не изменится.

Ответ: размах увеличится, мода не изменится.

б) вычеркнуть из него число, меньшее всех остальных;

Из ряда вычеркивается его наименьший элемент, $x_{min}$.

Изменение размаха:
Наибольшее значение $x_{max}$ не изменяется. Изменение размаха зависит от того, было ли наименьшее число в ряду единственным.
1. Если наименьшее число $x_{min}$ было в ряду не в единственном экземпляре (например, ряд {2, 2, 5, 8}), то после удаления одного из них наименьшим числом в ряду останется то же самое значение (в примере - 2). Размах $R = x_{max} - x_{min}$ не изменится.
2. Если наименьшее число $x_{min}$ было в ряду единственным (например, ряд {2, 5, 8}), то после его удаления новым наименьшим числом $x_{min\_new}$ станет следующее по величине (в примере - 5). Так как $x_{min\_new} > x_{min}$, новый размах $R_{new} = x_{max} - x_{min\_new}$ будет меньше исходного ($R_{new} < R$).
Следовательно, размах может уменьшиться или не измениться.

Изменение моды:
Изменение моды зависит от того, было ли удаляемое число модой.
1. Если наименьшее число $x_{min}$ не было модой (например, в ряду {2, 5, 5, 8} мода 5), то его удаление не повлияет на самое частое число. Мода не изменится.
2. Если наименьшее число $x_{min}$ было модой (например, в ряду {2, 2, 5} мода 2), то уменьшение его частоты на 1 может привести к изменению моды (в примере мода исчезнет).
Следовательно, мода может измениться или не измениться.

Ответ: размах уменьшится или не изменится; мода может измениться, а может и не измениться.

в) дополнить его числом, равным наибольшему из чисел?

В ряд добавляется число, равное его наибольшему элементу $x_{max}$.

Изменение размаха:
При добавлении числа, равного наибольшему, ни наименьшее ($x_{min}$), ни наибольшее ($x_{max}$) значения ряда не изменяются. Следовательно, размах ряда $R = x_{max} - x_{min}$ также не изменится.

Изменение моды:
При добавлении числа, равного $x_{max}$, его частота в ряду увеличивается на 1. Это может как изменить, так и не изменить моду.
1. Мода не изменится, если другое число в ряду имело значительно большую частоту. Например, в ряду {3, 7, 7, 7, 10} мода - 7. Добавим 10, получим {3, 7, 7, 7, 10, 10}. Мода по-прежнему 7.
2. Мода изменится, если $x_{max}$ само станет модой или войдет в число мод. Например, в ряду {3, 7, 7, 10} мода - 7. Добавим 10, получим {3, 7, 7, 10, 10}. Теперь модами являются числа 7 и 10. Мода изменилась.
Следовательно, мода может измениться или не измениться.

Ответ: размах не изменится; мода может измениться, а может и не измениться.

167. Найдите среднее арифметическое и размах ряда чисел:

а) 24, 22, 27, 20, 16, 31;

б) 30, 5, 23, 5, 28, 30;

в) 15, 17, 19, 25, 17, 15;

г) 40, 35, 30, 25, 30, 35.

а) Для ряда чисел 24, 22, 27, 20, 16, 31:
Среднее арифметическое — это сумма всех чисел ряда, деленная на их количество.
Сумма чисел: $24 + 22 + 27 + 20 + 16 + 31 = 140$.
Количество чисел в ряду: 6.
Среднее арифметическое: $\frac{140}{6} = \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3}$.
Размах ряда — это разность между наибольшим и наименьшим числами в ряду.
Наибольшее число: 31.
Наименьшее число: 16.
Размах: $31 - 16 = 15$.
Ответ: среднее арифметическое $23\frac{1}{3}$, размах 15.

б) Для ряда чисел 30, 5, 23, 5, 28, 30:
Сумма чисел: $30 + 5 + 23 + 5 + 28 + 30 = 121$.
Количество чисел в ряду: 6.
Среднее арифметическое: $\frac{121}{6} = 20\frac{1}{6}$.
Наибольшее число: 30.
Наименьшее число: 5.
Размах: $30 - 5 = 25$.
Ответ: среднее арифметическое $20\frac{1}{6}$, размах 25.

в) Для ряда чисел 15, 17, 19, 25, 17, 15:
Сумма чисел: $15 + 17 + 19 + 25 + 17 + 15 = 108$.
Количество чисел в ряду: 6.
Среднее арифметическое: $\frac{108}{6} = 18$.
Наибольшее число: 25.
Наименьшее число: 15.
Размах: $25 - 15 = 10$.
Ответ: среднее арифметическое 18, размах 10.

г) Для ряда чисел 40, 35, 30, 25, 30, 35:
Сумма чисел: $40 + 35 + 30 + 25 + 30 + 35 = 195$.
Количество чисел в ряду: 6.
Среднее арифметическое: $\frac{195}{6} = \frac{65}{2} = 32.5$.
Наибольшее число: 40.
Наименьшее число: 25.
Размах: $40 - 25 = 15$.
Ответ: среднее арифметическое 32.5, размах 15.

171. В таблице показан расход электроэнергии некоторой семьей в течение года:

Найдите средний ежемесячный расход электроэнергии этой семьей.

Чтобы найти средний ежемесячный расход электроэнергии, нужно найти среднее арифметическое данных за год. Для этого необходимо сложить значения расхода за все 12 месяцев и полученную сумму разделить на количество месяцев.

1. Вычислим общий расход электроэнергии за год, просуммировав значения из таблицы:

$85 + 80 + 74 + 61 + 54 + 34 + 32 + 32 + 62 + 78 + 81 + 82 = 755$ кВт-ч.

2. Теперь разделим полученную сумму на количество месяцев в году, то есть на 12, чтобы найти среднее значение:

$\frac{755}{12}$

Выполним деление с остатком:

$755 \div 12 = 62$ (остаток $11$).

Таким образом, средний ежемесячный расход можно представить в виде смешанной дроби:

$62 \frac{11}{12}$ кВт-ч.

При переводе в десятичную дробь получается бесконечное периодическое число $62.91666...$ кВт-ч, что примерно равно $62.92$ кВт-ч при округлении до сотых.

Ответ: $62 \frac{11}{12}$ кВт-ч.