Номер 170, страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Среднее арифметическое, размах и мода. Параграф 4. Статистические характеристики. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 170, страница 39.

Условие.

170. Как могут измениться размах и мода ряда чисел, если:

а) дополнить его числом, превосходящим все остальные;

б) вычеркнуть из него число, меньшее всех остальных;

в) дополнить его числом, равным наибольшему из чисел?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для анализа изменений введем обозначения для исходного ряда чисел: $x_{min}$ — наименьшее число в ряду, $x_{max}$ — наибольшее число в ряду.
Размах ряда (R) — это разность между наибольшим и наименьшим значениями: $R = x_{max} - x_{min}$.
Мода ряда — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто.

а) дополнить его числом, превосходящим все остальные;

Пусть в ряд добавляется новое число $x_{new}$, такое, что оно больше всех существующих чисел, то есть $x_{new} > x_{max}$.

Изменение размаха:
После добавления $x_{new}$, это число становится новым наибольшим значением ряда. Наименьшее значение $x_{min}$ при этом не меняется. Новый размах $R_{new}$ будет равен $R_{new} = x_{new} - x_{min}$. Поскольку $x_{new} > x_{max}$, очевидно, что $x_{new} - x_{min} > x_{max} - x_{min}$, а значит, новый размах будет больше исходного ($R_{new} > R$). Таким образом, размах всегда увеличивается.

Изменение моды:
Добавленное число $x_{new}$ по определению уникально в данном ряду, его частота равна 1. Частоты остальных чисел в ряду не меняются. Следовательно, самое частое число (мода) останется прежним, так как его частота (если мода существовала) заведомо больше 1. Если в ряду не было моды (все числа встречались по одному разу), то и после добавления еще одного уникального числа мода не появится. Таким образом, мода не изменится.

Ответ: размах увеличится, мода не изменится.

б) вычеркнуть из него число, меньшее всех остальных;

Из ряда вычеркивается его наименьший элемент, $x_{min}$.

Изменение размаха:
Наибольшее значение $x_{max}$ не изменяется. Изменение размаха зависит от того, было ли наименьшее число в ряду единственным.
1. Если наименьшее число $x_{min}$ было в ряду не в единственном экземпляре (например, ряд {2, 2, 5, 8}), то после удаления одного из них наименьшим числом в ряду останется то же самое значение (в примере - 2). Размах $R = x_{max} - x_{min}$ не изменится.
2. Если наименьшее число $x_{min}$ было в ряду единственным (например, ряд {2, 5, 8}), то после его удаления новым наименьшим числом $x_{min\_new}$ станет следующее по величине (в примере - 5). Так как $x_{min\_new} > x_{min}$, новый размах $R_{new} = x_{max} - x_{min\_new}$ будет меньше исходного ($R_{new} < R$).
Следовательно, размах может уменьшиться или не измениться.

Изменение моды:
Изменение моды зависит от того, было ли удаляемое число модой.
1. Если наименьшее число $x_{min}$ не было модой (например, в ряду {2, 5, 5, 8} мода 5), то его удаление не повлияет на самое частое число. Мода не изменится.
2. Если наименьшее число $x_{min}$ было модой (например, в ряду {2, 2, 5} мода 2), то уменьшение его частоты на 1 может привести к изменению моды (в примере мода исчезнет).
Следовательно, мода может измениться или не измениться.

Ответ: размах уменьшится или не изменится; мода может измениться, а может и не измениться.

в) дополнить его числом, равным наибольшему из чисел?

В ряд добавляется число, равное его наибольшему элементу $x_{max}$.

Изменение размаха:
При добавлении числа, равного наибольшему, ни наименьшее ($x_{min}$), ни наибольшее ($x_{max}$) значения ряда не изменяются. Следовательно, размах ряда $R = x_{max} - x_{min}$ также не изменится.

Изменение моды:
При добавлении числа, равного $x_{max}$, его частота в ряду увеличивается на 1. Это может как изменить, так и не изменить моду.
1. Мода не изменится, если другое число в ряду имело значительно большую частоту. Например, в ряду {3, 7, 7, 7, 10} мода - 7. Добавим 10, получим {3, 7, 7, 7, 10, 10}. Мода по-прежнему 7.
2. Мода изменится, если $x_{max}$ само станет модой или войдет в число мод. Например, в ряду {3, 7, 7, 10} мода - 7. Добавим 10, получим {3, 7, 7, 10, 10}. Теперь модами являются числа 7 и 10. Мода изменилась.
Следовательно, мода может измениться или не измениться.

Ответ: размах не изменится; мода может измениться, а может и не измениться.