Номер 5, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 3. Уравнение с одной переменной. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 5, страница 35.

Условие.

5. В каком случае уравнение $ax=b$ имеет:

единственный корень;

бесконечно много корней;

не имеет корней?

Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 5.

Рассмотрим линейное уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Количество корней этого уравнения зависит от значений этих коэффициентов.

имеет единственный корень

Уравнение имеет единственный корень, когда коэффициент при переменной $x$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$. В этом случае, чтобы найти корень, можно разделить обе части уравнения на $a$. Это даст уникальное решение для любого значения $b$.

Формула для нахождения корня: $x = \frac{b}{a}$.

Пример:

В уравнении $3x = 15$, коэффициент $a = 3$ ($a \neq 0$), а $b = 15$.

Решение: $x = \frac{15}{3} = 5$. Это единственный корень.

Ответ: уравнение имеет единственный корень при $a \neq 0$.

имеет бесконечно много корней

Уравнение имеет бесконечно много корней, если в результате преобразований оно превращается в верное числовое равенство, не зависящее от $x$. Для уравнения $ax=b$ это происходит, когда оба коэффициента равны нулю: $a = 0$ и $b = 0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$.

Это равенство является тождеством, верным при любом значении $x$, так как умножение любого числа на ноль дает ноль. Следовательно, любое число является корнем уравнения.

Пример:

Рассмотрим уравнение $0 \cdot x = 0$. Здесь $a = 0$ и $b = 0$.

Какое бы число мы ни подставили вместо $x$, мы получим верное равенство $0 = 0$. Например, если $x=42$, то $0 \cdot 42 = 0$; если $x=-3.14$, то $0 \cdot (-3.14) = 0$.

Ответ: уравнение имеет бесконечно много корней при $a = 0$ и $b = 0$.

не имеет корней

Уравнение не имеет корней, если оно сводится к неверному числовому равенству. В контексте уравнения $ax=b$ это происходит, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член — нет: $a=0$ и $b \neq 0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$.

Поскольку левая часть уравнения ($0 \cdot x$) всегда равна нулю, а правая часть $b$ не равна нулю, мы получаем противоречие: $0 = b$. Не существует такого значения $x$, которое могло бы удовлетворить этому неверному равенству.

Пример:

Рассмотрим уравнение $0 \cdot x = 9$. Здесь $a = 0$, а $b = 9$ ($b \neq 0$).

Это уравнение сводится к неверному равенству $0 = 9$. Следовательно, у него нет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней при $a = 0$ и $b \neq 0$.