Номер 3, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 3. Уравнение с одной переменной. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 3, страница 35.

Условие.

3 Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте свойства уравнений. Приведите пример уравнения, равносильного уравнению: $5x - 1 = 3$; $0,2x = 1,1$; $3x - 4x + 6 = 0$.

Решение 1.

Решение 5.

Какие уравнения называются равносильными?

Два уравнения с одной переменной называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Это означает, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными друг другу.

Ответ: Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают.

Сформулируйте свойства уравнений.

Основные свойства, которые позволяют преобразовывать уравнение в равносильное ему:

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

3. Если выполнить тождественное преобразование какой-либо части уравнения (например, раскрыть скобки или привести подобные слагаемые), не изменяющее область допустимых значений переменной, то получится уравнение, равносильное данному.

Ответ: Основные свойства уравнений: перенос слагаемых с изменением знака; умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число; выполнение тождественных преобразований в частях уравнения.

Приведите пример уравнения, равносильного уравнению: $5x-1=3$; $0,2x=1,1$; $3x-4x+6=0$.

Чтобы найти равносильное уравнение, можно применить одно из свойств уравнений.

• Для уравнения $5x - 1 = 3$

  Применим свойство переноса слагаемого. Перенесем $-1$ из левой части в правую с противоположным знаком: $5x = 3 + 1$ Получаем равносильное уравнение: $5x = 4$. Оба уравнения имеют корень $x=0,8$.

• Для уравнения $0,2x = 1,1$

  Применим свойство умножения обеих частей на одно и то же число. Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от дробей: $10 \cdot (0,2x) = 10 \cdot 1,1$ Получаем равносильное уравнение: $2x = 11$. Оба уравнения имеют корень $x=5,5$.

• Для уравнения $3x - 4x + 6 = 0$

  Применим свойство тождественных преобразований. Приведем подобные слагаемые в левой части: $(3-4)x + 6 = 0$ Получаем равносильное уравнение: $-x + 6 = 0$. Оба уравнения имеют корень $x=6$.

Ответ: Примеры равносильных уравнений: для $5x-1=3$ — уравнение $5x=4$; для $0,2x=1,1$ — уравнение $2x=11$; для $3x-4x+6=0$ — уравнение $-x+6=0$.