Страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

184. (Задача-исследование.) Средний возраст сотрудников отдела компьютерной вёрстки, в котором работали 12 человек, составлял 30,5 года. После того как из отдела уволился двадцатилетний Олег и на его место пришёл Игорь, средний возраст сотрудников отдела стал составлять 31 год. Сколько лет Игорю?

1) Выскажите предположение о возрасте Игоря.

2) Найдите первоначальную сумму возрастов сотрудников отдела.

3) Обозначив возраст Игоря через $x$ (лет), найдите какой стала сумма возрастов сотрудников отдела.

4) Выразите через $x$, каким стал средний возраст сотрудников отдела.

5) Составьте уравнение и решите его.

6) Подтвердилось ли ваше предположение о возрасте Игоря?

1) Выскажите предположение о возрасте Игоря.

Средний возраст сотрудников отдела увеличился (с 30,5 до 31 года) после того, как уволился 20-летний Олег и на его место пришел Игорь. Поскольку ушедший сотрудник был моложе среднего возраста, а средний возраст в итоге вырос, новый сотрудник, Игорь, должен быть старше ушедшего Олега. Таким образом, можно предположить, что возраст Игоря больше 20 лет.

Ответ: Предполагается, что Игорь старше 20 лет.

2) Найдите первоначальную сумму возрастов сотрудников отдела.

Средний возраст вычисляется как сумма возрастов, деленная на количество сотрудников. Следовательно, чтобы найти сумму возрастов, нужно умножить средний возраст на количество сотрудников.

Первоначальное количество сотрудников: 12 человек.
Первоначальный средний возраст: 30,5 года.
Первоначальная сумма возрастов = $12 \times 30,5 = 366$ лет.

Ответ: Первоначальная сумма возрастов сотрудников отдела составляла 366 лет.

3) Обозначив возраст Игоря через x (лет), найдите какой стала сумма возрастов сотрудников отдела.

Новая сумма возрастов получается путем вычитания возраста уволившегося сотрудника (Олега) из первоначальной суммы и добавления возраста нового сотрудника (Игоря).

Первоначальная сумма возрастов: 366 лет.
Возраст Олега: 20 лет.
Возраст Игоря: $x$ лет.
Новая сумма возрастов = $366 - 20 + x = 346 + x$ лет.

Ответ: Новая сумма возрастов сотрудников отдела стала $346 + x$ лет.

4) Выразите через x, каким стал средний возраст сотрудников отдела.

Новый средний возраст равен новой сумме возрастов, деленной на количество сотрудников. Количество сотрудников не изменилось и по-прежнему составляет 12 человек.

Новая сумма возрастов: $346 + x$.
Количество сотрудников: 12.
Новый средний возраст = $\frac{346 + x}{12}$.

Ответ: Новый средний возраст сотрудников отдела выражается формулой $\frac{346 + x}{12}$.

5) Составьте уравнение и решите его.

По условию задачи, новый средний возраст сотрудников равен 31 году. Приравняем выражение для нового среднего возраста, полученное в предыдущем пункте, к этому значению и решим получившееся уравнение.

Уравнение: $\frac{346 + x}{12} = 31$.
Умножим обе части уравнения на 12:
$346 + x = 31 \times 12$
$346 + x = 372$
Найдем $x$:
$x = 372 - 346$
$x = 26$

Ответ: Игорю 26 лет.

6) Подтвердилось ли ваше предположение о возрасте Игоря?

В пункте 1 было сделано предположение, что возраст Игоря должен быть больше 20 лет. В результате решения уравнения мы нашли, что Игорю 26 лет.

Так как $26 > 20$, наше первоначальное предположение полностью подтвердилось.

Ответ: Да, предположение подтвердилось.

185. Книгу в 296 страниц ученик прочитал за три дня. Во второй день он прочитал на 20% больше, чем в первый, а в третий — на 24 страницы больше, чем во второй. Сколько страниц прочитал ученик в первый день?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество страниц, которое ученик прочитал в первый день.

Согласно условию, во второй день он прочитал на 20% больше страниц, чем в первый. Выразим это математически:
$x + 0.20 \cdot x = 1.2x$ страниц.

В третий день он прочитал на 24 страницы больше, чем во второй, что составляет:
$1.2x + 24$ страниц.

Сумма страниц, прочитанных за все три дня, равна общему объему книги — 296 страниц. Составим уравнение, сложив количество страниц за каждый день:
$x + 1.2x + (1.2x + 24) = 296$

Теперь решим это уравнение поэтапно:
1. Скомбинируем подобные члены (слагаемые с $x$):
$(1 + 1.2 + 1.2)x + 24 = 296$
$3.4x + 24 = 296$
2. Перенесем 24 в правую часть уравнения, изменив знак:
$3.4x = 296 - 24$
$3.4x = 272$
3. Найдем значение $x$, разделив обе части на 3.4:
$x = \frac{272}{3.4} = \frac{2720}{34} = 80$

Итак, мы выяснили, что в первый день ученик прочитал 80 страниц.
Выполним проверку:
- День 1: $80$ страниц.
- День 2: $1.2 \cdot 80 = 96$ страниц (это на $96 - 80 = 16$ страниц больше, что составляет $\frac{16}{80} = 0.2$ или 20%).
- День 3: $96 + 24 = 120$ страниц.
- Всего: $80 + 96 + 120 = 296$ страниц. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 80 страниц.