Страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

193. В организации вели ежедневный учёт поступивших в течение месяца писем. В результате получили такой ряд данных:

39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32.

Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое, размах, моду и медиану. Каков практический смысл этих показателей?

Для анализа представленного ряда данных сначала необходимо выполнить предварительные шаги.
Исходный ряд данных: 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32.
Всего в ряду 31 элемент, что соответствует количеству дней в месяце.
Для нахождения некоторых показателей (например, медианы и размаха) полезно упорядочить ряд по возрастанию:
0, 0, 0, 0, 21, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 37, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 40, 40, 40, 42, 43, 44, 49, 50, 52, 54, 56, 58, 64.

Среднее арифметическое
Среднее арифметическое вычисляется как сумма всех чисел в ряду, деленная на их количество.
Сначала найдем сумму всех значений:
$39 + 43 + 40 + 0 + 56 + 38 + 24 + 21 + 35 + 38 + 0 + 58 + 31 + 49 + 38 + 25 + 34 + 0 + 52 + 40 + 42 + 40 + 39 + 54 + 0 + 64 + 44 + 50 + 38 + 37 + 32 = 1101$.
Количество значений в ряду $n=31$.
Среднее арифметическое = $1101 / 31 \approx 35,52$.
Практический смысл: Среднее арифметическое показывает, сколько писем в среднем поступало в организацию ежедневно в течение этого месяца. Если бы письма поступали каждый день в одинаковом количестве, это было бы примерно 35-36 писем.
Ответ: $\approx 35,52$.

Размах
Размах ряда — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду.
Из упорядоченного ряда видно, что наибольшее значение (максимум) равно 64, а наименьшее (минимум) — 0.
Размах = $64 - 0 = 64$.
Практический смысл: Размах показывает, насколько велик разброс в количестве поступающих писем. В данном случае он показывает разницу между самым загруженным днем (64 письма) и самым спокойным днем (0 писем). Большой размах говорит о значительной неравномерности нагрузки.
Ответ: 64.

Мода
Мода — это значение, которое встречается в ряду чаще всего.
Проанализировав ряд, подсчитаем частоту каждого значения:
Число 0 встречается 4 раза.
Число 38 встречается 4 раза.
Число 40 встречается 3 раза.
Число 39 встречается 2 раза.
Остальные числа встречаются по одному разу.
Поскольку числа 0 и 38 имеют одинаковую и наибольшую частоту встречаемости (4 раза), у этого ряда две моды.
Практический смысл: Мода показывает наиболее типичное, самое частое количество писем, полученных за день. В данном случае чаще всего организация либо не получала писем совсем (например, в выходные или праздничные дни), либо получала 38 писем.
Ответ: 0 и 38.

Медиана
Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию ряда данных.
В нашем ряду 31 элемент (нечетное число). Номер медианного элемента можно найти по формуле $M_e = (n+1)/2$, где $n$ — количество элементов.
$M_e = (31+1)/2 = 16$.
Следовательно, медианой будет 16-й элемент в упорядоченном ряду:
0, 0, 0, 0, 21, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 37, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 40, ...
16-й элемент равен 38.
Практический смысл: Медиана делит все дни месяца на две равные группы. Это означает, что в половине дней месяца организация получала 38 писем или меньше, а в другой половине — 38 писем или больше. Медиана является хорошим показателем центрального значения, когда в данных есть сильные выбросы (как, например, 0 и 64), так как она менее чувствительна к ним, чем среднее арифметическое.
Ответ: 38.

194. Сравните значения выражений $12a - 5b$ и $8a - 2b$ при $a = -3,5$, $b = 12,6$.

Для того чтобы сравнить значения выражений $12a - 5b$ и $8a - 2b$ при заданных значениях $a = -3,5$ и $b = 12,6$, мы можем вычислить значение каждого выражения и затем сравнить полученные числа. Этот метод называется методом прямой подстановки.

1. Сначала найдем значение первого выражения $12a - 5b$. Подставим в него заданные значения переменных:
$12a - 5b = 12 \cdot (-3,5) - 5 \cdot (12,6)$
Выполним действия по порядку:
$12 \cdot (-3,5) = -42$
$5 \cdot 12,6 = 63$
$ -42 - 63 = -105$
Таким образом, значение выражения $12a - 5b$ равно $-105$.

2. Теперь найдем значение второго выражения $8a - 2b$. Аналогично подставим значения $a$ и $b$:
$8a - 2b = 8 \cdot (-3,5) - 2 \cdot (12,6)$
Выполним действия по порядку:
$8 \cdot (-3,5) = -28$
$2 \cdot 12,6 = 25,2$
$-28 - 25,2 = -53,2$
Таким образом, значение выражения $8a - 2b$ равно $-53,2$.

3. Теперь сравним полученные результаты: $-105$ и $-53,2$.
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули чисел: $|-105| = 105$ и $|-53,2| = 53,2$.
Так как $53,2 < 105$, то $-53,2 > -105$.
Это означает, что $12a - 5b < 8a - 2b$.

Также можно решить эту задачу, найдя разность выражений. Если разность положительна, то первое выражение больше второго; если отрицательна — меньше; если равна нулю — выражения равны.
Составим разность: $(12a - 5b) - (8a - 2b) = 12a - 5b - 8a + 2b = 4a - 3b$.
Теперь подставим значения $a$ и $b$ в полученную разность:
$4 \cdot (-3,5) - 3 \cdot (12,6) = -14 - 37,8 = -51,8$.
Поскольку разность ($-51,8$) является отрицательным числом, это подтверждает, что первое выражение меньше второго.

Ответ: $12a - 5b < 8a - 2b$.

195. Решите уравнение:

а) $6(y - 1) = 9,4 - 1,7y;$

б) $3(2,4 - 1,1m) = 2,7m + 3,2.$

а) Решим уравнение $6(y - 1) = 9,4 - 1,7y$.

Первым шагом раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 6 на каждый член внутри скобок (на $y$ и на $-1$):

$6 \cdot y - 6 \cdot 1 = 9,4 - 1,7y$

$6y - 6 = 9,4 - 1,7y$

Далее, сгруппируем все члены, содержащие переменную $y$, в левой части уравнения, а все постоянные члены (числа) — в правой. Для этого перенесем $-1,7y$ из правой части в левую (знак изменится на "+") и $-6$ из левой части в правую (знак также изменится на "+").

$6y + 1,7y = 9,4 + 6$

Теперь выполним сложение подобных слагаемых в обеих частях уравнения:

$7,7y = 15,4$

Чтобы найти значение $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на $7,7$.

$y = \frac{15,4}{7,7}$

Выполнив деление, получаем:

$y = 2$

Ответ: 2.

б) Решим уравнение $3(2,4 - 1,1m) = 2,7m + 3,2$.

Сначала раскроем скобки в левой части, умножив 3 на $2,4$ и на $-1,1m$:

$3 \cdot 2,4 - 3 \cdot 1,1m = 2,7m + 3,2$

$7,2 - 3,3m = 2,7m + 3,2$

Теперь перенесем все члены с переменной $m$ в правую часть, а числовые члены — в левую. Член $-3,3m$ перейдет вправо со знаком "+", а член $3,2$ перейдет влево со знаком "-".

$7,2 - 3,2 = 2,7m + 3,3m$

Упростим обе части, выполнив вычитание слева и сложение справа:

$4 = 6m$

Чтобы найти $m$, разделим обе части уравнения на 6. Для удобства можно записать уравнение как $6m = 4$.

$m = \frac{4}{6}$

Сократим полученную дробь на 2:

$m = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

1 Что называется средним арифметическим ряда чисел? Может ли среднее арифметическое ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда?

Что называется средним арифметическим ряда чисел?

Средним арифметическим ряда чисел называется число, равное частному от деления суммы этих чисел на их количество. Это значение представляет собой «центральное» или «типичное» значение для набора чисел.

Для набора чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$, где $n$ — количество чисел в ряду, среднее арифметическое ($M$) вычисляется по следующей формуле:

$M = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$

Ответ: Среднее арифметическое ряда чисел — это сумма всех чисел ряда, делённая на их количество.

Может ли среднее арифметическое ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда?

Да, может. Более того, в большинстве случаев среднее арифметическое не совпадает ни с одним из чисел в ряду. Это происходит всегда, когда сумма чисел ряда не делится на их количество таким образом, чтобы результат был равен одному из этих чисел.

Приведем пример. Рассмотрим ряд чисел: 1, 2, 4, 5.

1. Найдем сумму чисел ряда:

$1 + 2 + 4 + 5 = 12$

2. Найдем количество чисел в ряду. Их 4.

3. Вычислим среднее арифметическое:

$M = \frac{12}{4} = 3$

Как мы видим, среднее арифметическое равно 3, но этого числа нет в исходном ряду {1, 2, 4, 5}.

Другой пример — ряд из двух чисел: 5 и 10.

Среднее арифметическое будет равно: $M = \frac{5 + 10}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$.

Число 7.5 также не совпадает ни с одним из чисел ряда {5, 10}.

Ответ: Да, может.

2. Что называется размахом ряда чисел?

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду. Эта величина является одной из простейших мер рассеяния (разброса) данных в статистике. Размах показывает, в каком диапазоне находятся все значения числового ряда.

Чтобы найти размах, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти наибольшее (максимальное) число в ряду. Обозначим его как $x_{max}$.
2. Найти наименьшее (минимальное) число в ряду. Обозначим его как $x_{min}$.
3. Вычесть из наибольшего числа наименьшее.

Формула для вычисления размаха ($R$) выглядит так:
$R = x_{max} - x_{min}$

Пример:
Дан ряд чисел: {7, 13, 2, 25, 9, 18}.
1. Находим наибольшее значение в ряду: $x_{max} = 25$.
2. Находим наименьшее значение в ряду: $x_{min} = 2$.
3. Вычисляем размах: $R = 25 - 2 = 23$.
Таким образом, размах данного ряда чисел равен 23.

Ответ: Размах ряда чисел — это разность между наибольшим и наименьшим значениями этого ряда.

3. Что называется модой ряда чисел? Любой ли ряд чисел имеет моду? Может ли ряд чисел иметь более одной моды? Может ли мода ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда?

Что называется модой ряда чисел?
Модой ряда чисел называется число, которое встречается в этом ряду чаще других. Это одна из характеристик набора данных, показывающая наиболее типичное или "популярное" значение. Чтобы найти моду, нужно подсчитать, сколько раз встречается каждое число в ряду, и выбрать то, у которого частота появления наибольшая.
Например, рассмотрим ряд чисел: $1, 7, 3, 8, 7, 5, 7, 2$.
Подсчитаем частоту каждого числа:
- число 1 встречается 1 раз;
- число 7 встречается 3 раза;
- число 3 встречается 1 раз;
- число 8 встречается 1 раз;
- число 5 встречается 1 раз;
- число 2 встречается 1 раз.
Наибольшая частота у числа 7 (оно встречается 3 раза). Следовательно, модой данного ряда является число 7.
Ответ: Мода – это наиболее часто встречающееся значение в ряду чисел.

Любой ли ряд чисел имеет моду?
Нет, не любой ряд чисел имеет моду. Мода может отсутствовать, если все числа в ряду встречаются одинаковое количество раз.
Рассмотрим два случая:
1. Все числа в ряду уникальны. Например, в ряду $15, 23, 31, 48, 52$ каждое число встречается только один раз. Так как нет значения, которое встречалось бы чаще других, у этого ряда нет моды.
2. Различные числа в ряду встречаются одинаковое количество раз. Например, в ряду $5, 5, 8, 8, 9, 9$ каждое из чисел (5, 8 и 9) встречается ровно два раза. В такой ситуации также считается, что у ряда нет моды.
Ответ: Нет, ряд чисел может не иметь моды, если все его элементы встречаются одинаковое количество раз.

Может ли ряд чисел иметь более одной моды?
Да, ряд чисел может иметь две или более моды. Такая ситуация возникает, когда несколько разных чисел имеют одинаковую и при этом максимальную частоту встречаемости. Такой ряд называется мультимодальным. Если мод две, ряд называют бимодальным.
Например, рассмотрим ряд чисел: $2, 6, 1, 2, 5, 9, 6, 8$.
Подсчитаем частоту появления каждого числа:
- число 2 встречается 2 раза;
- число 6 встречается 2 раза;
- числа 1, 5, 9, 8 встречаются по 1 разу.
Максимальная частота (2 раза) наблюдается у двух чисел: 2 и 6. Следовательно, этот ряд является бимодальным, и его моды — это 2 и 6.
Ответ: Да, ряд чисел может иметь более одной моды (такой ряд называется мультимодальным).

Может ли мода ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда?
Нет, это невозможно. По своему определению, мода — это значение, которое присутствует в ряду и встречается в нём чаще других. Таким образом, мода всегда является одним из элементов самого ряда данных.
Этим свойством мода отличается от других мер центральной тенденции, таких как среднее арифметическое и медиана, которые могут не совпадать ни с одним из чисел ряда.
- Пример со средним арифметическим: для ряда $2, 3, 7$ среднее арифметическое равно $(2+3+7)/3 = 4$, но числа 4 в этом ряду нет.
- Пример с медианой: для упорядоченного ряда $10, 20, 30, 40$ медиана (среднее двух центральных чисел) равна $(20+30)/2 = 25$, но числа 25 в этом ряду нет.
Мода же, в отличие от них, всегда выбирается непосредственно из имеющихся в ряду чисел.
Ответ: Нет, не может. Мода по определению всегда является одним из чисел заданного ряда.

4 Что называется медианой ряда чисел? Может ли медиана ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда? Какое число является медианой упорядоченного ряда, содержащего $2n - 1$ чисел? $2n$ чисел?

Что называется медианой ряда чисел?

Медианой ряда чисел называется значение, которое делит упорядоченный (по возрастанию или убыванию) ряд на две равные по количеству элементов части. Способ нахождения медианы зависит от того, является ли количество чисел в ряду четным или нечетным.

1. Сначала ряд чисел необходимо упорядочить (например, по возрастанию).

2. Затем определяется медиана:

• Если количество чисел в ряду нечетное, то медиана — это число, которое находится ровно посередине упорядоченного ряда.
• Если количество чисел в ряду четное, то медиана — это среднее арифметическое (полусумма) двух чисел, стоящих посередине упорядоченного ряда.

Ответ: Медианой упорядоченного ряда с нечетным числом членов является число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда с четным числом членов является среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Может ли медиана ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда?

Да, может. Такая ситуация возникает, когда ряд состоит из четного количества элементов. В этом случае медиана вычисляется как среднее арифметическое двух центральных элементов. Если эти два элемента не равны между собой, их полусумма может быть числом, не входящим в исходный ряд.

Пример: рассмотрим упорядоченный ряд чисел {1, 2, 4, 7}.
Количество чисел в ряду — 4 (четное). Два центральных числа — это 2 и 4.
Медиана этого ряда равна их полусумме: $M = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
Число 3 не является одним из чисел исходного ряда {1, 2, 4, 7}.

Если же количество чисел в ряду нечетное, то медиана всегда будет совпадать с одним из чисел этого ряда (с центральным элементом).

Ответ: Да, может, если ряд содержит четное количество чисел.

Какое число является медианой упорядоченного ряда, содержащего 2n − 1 чисел?

Упорядоченный ряд содержит $2n-1$ чисел. При любом натуральном $n$ это нечетное количество элементов.
Для ряда с нечетным количеством членов ($k$) медианой является центральный элемент, номер которого можно найти по формуле $\frac{k+1}{2}$.
В данном случае количество элементов $k = 2n-1$. Найдем номер медианного элемента:
Номер = $\frac{(2n-1) + 1}{2} = \frac{2n}{2} = n$.
Следовательно, медианой является член ряда, который стоит на $n$-м месте. Если обозначить элементы ряда как $a_1, a_2, \ldots, a_{2n-1}$, то медиана $M = a_n$.

Ответ: Число, стоящее на $n$-м месте в упорядоченном ряду.

Какое число является медианой упорядоченного ряда, содержащего 2n чисел?

Упорядоченный ряд содержит $2n$ чисел. При любом натуральном $n$ это четное количество элементов.
Для ряда с четным количеством членов ($k$) медиана равна полусумме двух центральных элементов. Их номера — $\frac{k}{2}$ и $\frac{k}{2} + 1$.
В данном случае количество элементов $k = 2n$. Номера центральных элементов:
Первый центральный элемент имеет номер $\frac{2n}{2} = n$.
Второй центральный элемент имеет номер $\frac{2n}{2} + 1 = n + 1$.
Таким образом, медиана равна среднему арифметическому элементов, стоящих на $n$-м и $(n+1)$-м местах. Если обозначить элементы ряда как $a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$, то медиана $M = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}$.

Ответ: Полусумма чисел, стоящих на $n$-м и $(n+1)$-м местах в упорядоченном ряду.