Номер 4, страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 4. Статистические характеристики. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 4, страница 46.

Условие.

4 Что называется медианой ряда чисел? Может ли медиана ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда? Какое число является медианой упорядоченного ряда, содержащего $2n - 1$ чисел? $2n$ чисел?

Решение 1.

Решение 5.

Что называется медианой ряда чисел?

Медианой ряда чисел называется значение, которое делит упорядоченный (по возрастанию или убыванию) ряд на две равные по количеству элементов части. Способ нахождения медианы зависит от того, является ли количество чисел в ряду четным или нечетным.

1. Сначала ряд чисел необходимо упорядочить (например, по возрастанию).

2. Затем определяется медиана:

• Если количество чисел в ряду нечетное, то медиана — это число, которое находится ровно посередине упорядоченного ряда.
• Если количество чисел в ряду четное, то медиана — это среднее арифметическое (полусумма) двух чисел, стоящих посередине упорядоченного ряда.

Ответ: Медианой упорядоченного ряда с нечетным числом членов является число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда с четным числом членов является среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Может ли медиана ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда?

Да, может. Такая ситуация возникает, когда ряд состоит из четного количества элементов. В этом случае медиана вычисляется как среднее арифметическое двух центральных элементов. Если эти два элемента не равны между собой, их полусумма может быть числом, не входящим в исходный ряд.

Пример: рассмотрим упорядоченный ряд чисел {1, 2, 4, 7}.
Количество чисел в ряду — 4 (четное). Два центральных числа — это 2 и 4.
Медиана этого ряда равна их полусумме: $M = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
Число 3 не является одним из чисел исходного ряда {1, 2, 4, 7}.

Если же количество чисел в ряду нечетное, то медиана всегда будет совпадать с одним из чисел этого ряда (с центральным элементом).

Ответ: Да, может, если ряд содержит четное количество чисел.

Какое число является медианой упорядоченного ряда, содержащего 2n − 1 чисел?

Упорядоченный ряд содержит $2n-1$ чисел. При любом натуральном $n$ это нечетное количество элементов.
Для ряда с нечетным количеством членов ($k$) медианой является центральный элемент, номер которого можно найти по формуле $\frac{k+1}{2}$.
В данном случае количество элементов $k = 2n-1$. Найдем номер медианного элемента:
Номер = $\frac{(2n-1) + 1}{2} = \frac{2n}{2} = n$.
Следовательно, медианой является член ряда, который стоит на $n$-м месте. Если обозначить элементы ряда как $a_1, a_2, \ldots, a_{2n-1}$, то медиана $M = a_n$.

Ответ: Число, стоящее на $n$-м месте в упорядоченном ряду.

Какое число является медианой упорядоченного ряда, содержащего 2n чисел?

Упорядоченный ряд содержит $2n$ чисел. При любом натуральном $n$ это четное количество элементов.
Для ряда с четным количеством членов ($k$) медиана равна полусумме двух центральных элементов. Их номера — $\frac{k}{2}$ и $\frac{k}{2} + 1$.
В данном случае количество элементов $k = 2n$. Номера центральных элементов:
Первый центральный элемент имеет номер $\frac{2n}{2} = n$.
Второй центральный элемент имеет номер $\frac{2n}{2} + 1 = n + 1$.
Таким образом, медиана равна среднему арифметическому элементов, стоящих на $n$-м и $(n+1)$-м местах. Если обозначить элементы ряда как $a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$, то медиана $M = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}$.

Ответ: Полусумма чисел, стоящих на $n$-м и $(n+1)$-м местах в упорядоченном ряду.