Страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

200. Как изменится объём куба, если длину его ребра увеличить на 20% ?

Для решения этой задачи давайте обозначим первоначальную длину ребра куба как $a$.
Объём куба ($V$) вычисляется по формуле:
$V = a^3$

Сначала найдём первоначальный объём, который мы будем считать за 100%. Обозначим его $V_1$:
$V_1 = a^3$

Затем, согласно условию, длину ребра увеличили на 20%. Найдём новую длину ребра, которую обозначим как $a_{new}$.
Увеличение на 20% означает, что новая длина составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от старой. Чтобы перевести проценты в коэффициент, разделим их на 100: $120 / 100 = 1.2$.
Новая длина ребра:
$a_{new} = a \cdot 1.2 = 1.2a$

Теперь вычислим новый объём куба ($V_{new}$) с новой длиной ребра $a_{new}$:
$V_{new} = (a_{new})^3 = (1.2a)^3$
$V_{new} = 1.2^3 \cdot a^3$
Вычислим $1.2^3$:
$1.2 \times 1.2 \times 1.2 = 1.44 \times 1.2 = 1.728$
Таким образом, новый объём равен:
$V_{new} = 1.728 \cdot a^3$

Чтобы определить, на сколько процентов изменился объём, сравним новый объём с первоначальным. Найдём, во сколько раз $V_{new}$ больше, чем $V_1$:
$\frac{V_{new}}{V_1} = \frac{1.728a^3}{a^3} = 1.728$
Это означает, что новый объём составляет 1.728 от старого объёма. Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100%:
$1.728 \times 100\% = 172.8\%$
Поскольку первоначальный объём был 100%, то увеличение объёма составило:
$172.8\% - 100\% = 72.8\%$

Ответ: объём куба увеличится на 72.8%.

204. Может ли температура быть:

а) положительной по Цельсию и отрицательной по Фаренгейту;

б) положительной по Фаренгейту и отрицательной по Цельсию?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для перевода температуры из шкалы Цельсия ($T_C$) в шкалу Фаренгейта ($T_F$):

$T_F = \frac{9}{5} T_C + 32$

Также полезна обратная формула для перевода из Фаренгейта в Цельсий:

$T_C = \frac{5}{9} (T_F - 32)$

Проанализируем каждый случай.

а) положительной по Цельсию и отрицательной по Фаренгейту;

В этом случае должны выполняться два условия одновременно: $T_C > 0$ и $T_F < 0$.

Рассмотрим формулу $T_F = \frac{9}{5} T_C + 32$.

Если температура по Цельсию положительна ($T_C > 0$), то и произведение $\frac{9}{5} T_C$ будет положительным.

Прибавив к положительному числу 32, мы получим результат, который будет больше 32:

$T_F = (\frac{9}{5} T_C) + 32 > 0 + 32$, следовательно, $T_F > 32$.

Условие $T_F > 32$ прямо противоречит требованию, чтобы температура по Фаренгейту была отрицательной ($T_F < 0$). Таким образом, одновременное выполнение этих условий невозможно.

Ответ: Нет, не может.

б) положительной по Фаренгейту и отрицательной по Цельсию?

В этом случае должны выполняться два условия одновременно: $T_F > 0$ и $T_C < 0$.

Рассмотрим формулу $T_C = \frac{5}{9} (T_F - 32)$.

Чтобы температура по Цельсию была отрицательной ($T_C < 0$), необходимо, чтобы множитель $(T_F - 32)$ был отрицательным, так как коэффициент $\frac{5}{9}$ положителен.

Итак, должно выполняться неравенство:

$T_F - 32 < 0$, откуда следует, что $T_F < 32$.

Таким образом, мы имеем систему из двух неравенств для температуры по Фаренгейту:

$T_F > 0$ (из условия задачи)

$T_F < 32$ (для того, чтобы температура по Цельсию была отрицательной)

Эта система имеет решение: $0 < T_F < 32$.

Это означает, что любая температура в диапазоне от 0 до 32 градусов по Фаренгейту будет положительной по Фаренгейту и отрицательной по Цельсию. Например, если взять $T_F = 23$ °F, то $T_C = \frac{5}{9} (23 - 32) = \frac{5}{9} (-9) = -5$ °C. Здесь температура по Фаренгейту положительна, а по Цельсию — отрицательна.

Ответ: Да, может.

201. Цену на товар сначала повысили на 15%, а затем снизили на 15%, так как товар перестал пользоваться спросом. Первоначальная цена товара составляла a р., а окончательная — b р. Сравните числа a и b (выберите верный ответ).

1. $a > b$

2. $a < b$

3. $a = b$

4. Сравнить нельзя, так как неизвестно значение $a$

Пусть первоначальная цена товара составляет $a$ рублей.

Сначала цену повысили на 15%. Чтобы найти новую цену, нужно к первоначальной цене $a$ добавить 15% от нее. 15% в виде десятичной дроби — это $0.15$. Цена после повышения стала равна: $a + 0.15 \cdot a = a \cdot (1 + 0.15) = 1.15a$.

Затем полученную цену, равную $1.15a$, снизили на 15%. Важно учесть, что 15% теперь вычисляются от новой, большей цены. Снижение составило $15\%$ от $1.15a$. Окончательная цена $b$ равна цене после повышения минус величина снижения: $b = 1.15a - 0.15 \cdot (1.15a)$.

Вынесем общий множитель $1.15a$ за скобки для упрощения вычислений: $b = 1.15a \cdot (1 - 0.15) = 1.15a \cdot 0.85$.

Теперь вычислим произведение коэффициентов, чтобы выразить $b$ через $a$: $1.15 \cdot 0.85 = (1 + 0.15)(1 - 0.15) = 1^2 - 0.15^2 = 1 - 0.0225 = 0.9775$. Таким образом, окончательная цена составляет: $b = 0.9775a$.

Теперь сравним первоначальную цену $a$ и окончательную цену $b$. Поскольку цена товара $a$ является положительной величиной ($a > 0$), а коэффициент $0.9775$ меньше единицы, то произведение $0.9775a$ будет меньше, чем $a$. Следовательно, $b < a$, что эквивалентно выражению $a > b$.

Это означает, что первоначальная цена $a$ была больше, чем окончательная цена $b$.

Ответ: 1. $a > b$

205. Выразите из формулы:

а) $s = at$ переменную $t$;

б) $v = v_0 + at$ переменную $a$;

в) $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ переменную $b$.

а) Чтобы выразить переменную $t$ из формулы $s = at$, необходимо рассматривать это уравнение как уравнение относительно $t$. Переменная $t$ является одним из множителей. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($s$) разделить на известный множитель ($a$). При этом предполагается, что $a \neq 0$.

Исходная формула: $s = at$

Разделим обе части уравнения на $a$:

$\frac{s}{a} = \frac{at}{a}$

Сократим $a$ в правой части:

$t = \frac{s}{a}$

Ответ: $t = \frac{s}{a}$

б) Чтобы выразить переменную $a$ из формулы $v = v_0 + at$, сначала изолируем слагаемое, содержащее $a$. Для этого перенесем $v_0$ из правой части в левую, изменив его знак.

Исходная формула: $v = v_0 + at$

$v - v_0 = at$

Теперь $a$ является неизвестным множителем. Чтобы найти $a$, нужно произведение ($v - v_0$) разделить на известный множитель ($t$). При этом предполагается, что $t \neq 0$.

$\frac{v - v_0}{t} = \frac{at}{t}$

Сократим $t$ в правой части:

$a = \frac{v - v_0}{t}$

Ответ: $a = \frac{v - v_0}{t}$

в) Чтобы выразить переменную $b$ из формулы $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, выполним последовательность алгебраических преобразований, чтобы изолировать $b$.

Исходная формула: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

1. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя дроби.

$2S = (a + b) \cdot h$

2. Разделим обе части уравнения на $h$, чтобы изолировать скобку $(a + b)$. Предполагается, что $h \neq 0$.

$\frac{2S}{h} = a + b$

3. Теперь, чтобы выразить $b$, вычтем из обеих частей уравнения $a$.

$\frac{2S}{h} - a = b$

Для удобства записи поменяем местами левую и правую части:

$b = \frac{2S}{h} - a$

Ответ: $b = \frac{2S}{h} - a$

202. На распродаже цену на костюм снизили на $20\%$. На сколько процентов надо повысить новую цену, чтобы вернуться к первоначальной?

Для решения этой задачи давайте обозначим первоначальную цену костюма как $C_{1}$.

Сначала цену снизили на 20%. Это означает, что новая цена, которую мы назовем $C_{2}$, составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной цены. Выразим это математически:

$C_{2} = C_{1} \cdot (1 - \frac{20}{100}) = C_{1} \cdot 0.8$

Теперь нам нужно найти, на сколько процентов ($x$) нужно повысить новую цену $C_{2}$, чтобы вернуться к первоначальной цене $C_{1}$. Это можно записать в виде уравнения:

$C_{2} \cdot (1 + \frac{x}{100}) = C_{1}$

Мы можем подставить выражение для $C_{2}$ из первого шага во второе уравнение:

$(C_{1} \cdot 0.8) \cdot (1 + \frac{x}{100}) = C_{1}$

Так как первоначальная цена $C_{1}$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $C_{1}$:

$0.8 \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$1 + \frac{x}{100} = \frac{1}{0.8}$

Вычислим значение дроби:

$\frac{1}{0.8} = \frac{1}{8/10} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$

Подставим это значение обратно в уравнение:

$1 + \frac{x}{100} = 1.25$

$\frac{x}{100} = 1.25 - 1$

$\frac{x}{100} = 0.25$

$x = 0.25 \cdot 100 = 25$

Таким образом, новую цену нужно повысить на 25%, чтобы вернуться к первоначальной.

Ответ: на 25%.

203. Найдите:

а) какой температуре по Фаренгейту соответствует $4^\circ\text{C}$; $-15^\circ\text{C}$; $0^\circ\text{C}$;

б) какой температуре по Цельсию соответствует $20^\circ\text{F}$; $-16^\circ\text{F}$; $0^\circ\text{F}$.

Для перевода температуры из одной шкалы в другую используются стандартные формулы.
Формула для перевода температуры из градусов Цельсия ($T_C$) в градусы Фаренгейта ($T_F$):
$T_F = T_C \cdot 1,8 + 32$
Формула для перевода температуры из градусов Фаренгейта ($T_F$) в градусы Цельсия ($T_C$):
$T_C = (T_F - 32) \cdot \frac{5}{9}$

а) какой температуре по Фаренгейту соответствует 4 °C; -15 °C; 0 °C;

Выполним перевод для каждого значения температуры из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта.

- Для 4 °C:
$T_F = 4 \cdot 1,8 + 32 = 7,2 + 32 = 39,2$ °F

- Для -15 °C:
$T_F = -15 \cdot 1,8 + 32 = -27 + 32 = 5$ °F

- Для 0 °C:
$T_F = 0 \cdot 1,8 + 32 = 0 + 32 = 32$ °F

Ответ: 4 °C соответствует 39,2 °F; -15 °C соответствует 5 °F; 0 °C соответствует 32 °F.

б) какой температуре по Цельсию соответствует 20 °F; -16 °F; 0 °F.

Выполним перевод для каждого значения температуры из градусов Фаренгейта в градусы Цельсия.

- Для 20 °F:
$T_C = (20 - 32) \cdot \frac{5}{9} = -12 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{60}{9} = -\frac{20}{3} \approx -6,67$ °C

- Для -16 °F:
$T_C = (-16 - 32) \cdot \frac{5}{9} = -48 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{240}{9} = -\frac{80}{3} \approx -26,67$ °C

- Для 0 °F:
$T_C = (0 - 32) \cdot \frac{5}{9} = -32 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{160}{9} \approx -17,78$ °C

Ответ: 20 °F соответствует примерно -6,67 °C; -16 °F соответствует примерно -26,67 °C; 0 °F соответствует примерно -17,78 °C.

206. Найдите число, обратное:

а) сумме чисел $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$;

б) разности чисел 6,2 и 5,8;

в) произведению чисел $\frac{1}{15}$ и $\frac{1}{16}$;

г) частному чисел 4,9 и 3,5.

а) Сначала найдем сумму чисел $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$. Для сложения этих дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 3 это 6.

Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 6, умножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5+4}{6} = \frac{9}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Числом, обратным к $\frac{3}{2}$, является $\frac{2}{3}$, так как их произведение равно 1 ($\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = 1$).

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Сначала найдем разность чисел 6,2 и 5,8.

$6,2 - 5,8 = 0,4$

Теперь нужно найти число, обратное 0,4. Для удобства представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби:

$0,4 = \frac{4}{10}$

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Числом, обратным к $\frac{2}{5}$, является $\frac{5}{2}$.

Представим результат в виде десятичной дроби:

$\frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: $2,5$.

в) Сначала найдем произведение чисел $\frac{1}{15}$ и $\frac{1}{16}$.

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели:

$\frac{1}{15} \times \frac{1}{16} = \frac{1 \times 1}{15 \times 16} = \frac{1}{240}$

Числом, обратным к $\frac{1}{240}$, является $\frac{240}{1}$, то есть 240.

Ответ: $240$.

г) Сначала найдем частное от деления числа 4,9 на 3,5.

$4,9 \div 3,5 = \frac{4,9}{3,5}$

Чтобы упростить деление, избавимся от десятичных знаков в дроби, умножив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{4,9 \times 10}{3,5 \times 10} = \frac{49}{35}$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 49 и 35 это 7:

$\frac{49 \div 7}{35 \div 7} = \frac{7}{5}$

Числом, обратным к $\frac{7}{5}$, является $\frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

207. Найдите число, противоположное:

а) сумме чисел 2,86 и -4,3;

б) разности чисел $ - \frac{4}{9} $ и $ \frac{5}{6} $;

в) произведению чисел -5,75 и 1,6;

г) частному чисел 46 и $ -7\frac{2}{3} $.

а) Для начала найдем сумму чисел $2,86$ и $-4,3$. Сумма двух чисел с разными знаками равна разности их модулей, и знак результата совпадает со знаком числа с большим модулем.
$2,86 + (-4,3) = 2,86 - 4,3 = -(4,3 - 2,86) = -1,44$
Числом, противоположным сумме, является число, противоположное $-1,44$. Противоположное число имеет тот же модуль, но другой знак.
$-(-1,44) = 1,44$
Ответ: 1,44

б) Сначала найдем разность чисел $-\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{6}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 6 это 18.
$-\frac{4}{9} - \frac{5}{6} = -\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = -\frac{8}{18} - \frac{15}{18} = \frac{-8 - 15}{18} = -\frac{23}{18}$
Числом, противоположным разности, является число, противоположное $-\frac{23}{18}$.
$-(-\frac{23}{18}) = \frac{23}{18}$
Ответ: $\frac{23}{18}$

в) Сначала найдем произведение чисел $-5,75$ и $1,6$. Произведение чисел с разными знаками является отрицательным числом.
$-5,75 \cdot 1,6 = -9,2$
Проверим вычисление, представив числа в виде обыкновенных дробей:
$-5,75 = -5\frac{75}{100} = -5\frac{3}{4} = -\frac{23}{4}$
$1,6 = 1\frac{6}{10} = 1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
$-\frac{23}{4} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{23 \cdot 8}{4 \cdot 5} = -\frac{23 \cdot 2}{5} = -\frac{46}{5} = -9,2$
Числом, противоположным произведению, является число, противоположное $-9,2$.
$-(-9,2) = 9,2$
Ответ: 9,2

г) Сначала найдем частное чисел $46$ и $-7\frac{2}{3}$. Частное от деления положительного числа на отрицательное является отрицательным числом.
Представим смешанное число $-7\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби:
$-7\frac{2}{3} = -(\frac{7 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{23}{3}$
Теперь выполним деление:
$46 \div (-\frac{23}{3}) = 46 \cdot (-\frac{3}{23}) = -\frac{46 \cdot 3}{23} = -\frac{2 \cdot 23 \cdot 3}{23} = -2 \cdot 3 = -6$
Числом, противоположным частному, является число, противоположное $-6$.
$-(-6) = 6$
Ответ: 6