Страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

192. Отмечая время (с точностью до минуты), которое токари бригады затратили на обработку одной детали, получили ряд данных:

30, 32, 32, 38, 36, 31, 32, 38, 35, 36,

32, 40, 42, 36, 33, 35, 32, 32, 40, 38.

Для полученного ряда данных найдите размах, моду и медиану. Объясните практический смысл этих показателей.

Для нахождения статистических показателей сперва необходимо упорядочить данный ряд чисел по возрастанию. Исходный ряд данных времени (в минутах): 30, 32, 32, 38, 36, 31, 32, 38, 35, 36, 32, 40, 42, 36, 33, 35, 32, 32, 40, 38. Всего в ряду 20 чисел.

Упорядоченный (ранжированный) ряд выглядит следующим образом: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42.

Размах

Размах ряда данных — это разность между его наибольшим и наименьшим значениями. В данном ряду наибольшее значение равно 42, а наименьшее — 30. Вычисляем размах: $42 - 30 = 12$.
Практический смысл: размах показывает, насколько сильно различается время, затраченное на обработку одной детали разными токарями (или одним токарем в разное время). В данном случае разница между самым быстрым и самым медленным результатом составляет 12 минут.

Ответ: 12.

Мода

Мода ряда данных — это значение, которое встречается в этом ряду чаще всего. Проанализировав упорядоченный ряд, можно подсчитать частоту каждого значения: число 32 встречается 6 раз, в то время как другие числа встречаются реже. Следовательно, мода данного ряда равна 32.
Практический смысл: мода указывает на самое типичное, наиболее часто встречающееся время обработки детали. Это означает, что чаще всего токари бригады тратят на одну деталь именно 32 минуты.

Ответ: 32.

Медиана

Медиана упорядоченного ряда данных — это значение, которое делит ряд на две равные по количеству членов части. Поскольку в нашем ряду 20 чисел (четное количество), медиана вычисляется как среднее арифметическое двух центральных значений. В данном случае это 10-й и 11-й члены ряда.
Найдем эти члены в упорядоченном ряду: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42.
Десятый и одиннадцатый члены ряда равны 35. Вычисляем медиану: $(35 + 35) / 2 = 35$.
Практический смысл: медиана показывает "середину" распределения времени. Это значит, что половина деталей была обработана за время, не превышающее 35 минут, а вторая половина — за время, не меньшее 35 минут. Медиана делит всех токарей на две равные по производительности группы.

Ответ: 35.

189. В таблице показано число изделий, изготовленных за месяц членами бригады:

Найдите медиану этого ряда данных. У кого из членов бригады выработка за месяц была больше медианы?

Найдите медиану этого ряда данных.

Чтобы найти медиану, необходимо сначала упорядочить представленный ряд данных по возрастанию. Ряд данных — это число изделий, изготовленных каждым членом бригады.

Исходный ряд данных: 185, 194, 179, 185, 136, 158, 178, 149, 156, 185, 168.

Всего в ряду $n = 11$ значений.

Упорядочим ряд по возрастанию: 136, 149, 156, 158, 168, 178, 179, 185, 185, 185, 194.

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам. Поскольку количество элементов в ряду нечетное ($n=11$), медиана равна элементу, стоящему в середине. Номер этого элемента можно найти по формуле $(n+1)/2$.

Номер медианного элемента = $(11+1)/2 = 12/2 = 6$.

Шестым по счету элементом в упорядоченном ряду является число 178.

Ответ: медиана этого ряда данных равна 178.

У кого из членов бригады выработка за месяц была больше медианы?

Мы определили, что медиана выработки составляет 178 изделий. Теперь необходимо найти всех членов бригады, у которых число изготовленных изделий строго больше 178.

Сравним выработку каждого члена бригады со значением медианы:

Антонов: 185 изделий (больше 178)

Астафьев: 194 изделия (больше 178)

Баранов: 179 изделий (больше 178)

Бобков: 185 изделий (больше 178)

Васильев: 136 изделий (меньше 178)

Егоров: 158 изделий (меньше 178)

Квитко: 178 изделий (равно 178)

Лазарев: 149 изделий (меньше 178)

Осокин: 156 изделий (меньше 178)

Рылов: 185 изделий (больше 178)

Сухов: 168 изделий (меньше 178)

Таким образом, выработка была больше медианы у пяти членов бригады.

Ответ: выработка за месяц была больше медианы у Антонова, Астафьева, Баранова, Бобкова и Рылова.

190. В таблице показано, сколько акций одинаковой стоимости некоторого акционерного общества приобрели сотрудники отдела:

№ п/п Фамилия Число акций № п/п Фамилия Число акций

1 Астахова 5 9 Муравьёв 1

2 Бодров 4 10 Николаева 4

3 Волков 10 11 Осипов 12

4 Ерин 3 12 Павлов 6

5 Ильин 2 13 Петрова 8

6 Куликова 10 14 Райков 10

7 Лаврова 25 15 Тимофеев 2

8 Михайлов 3 16 Фёдоров 4

Найдите медиану этого ряда данных. У кого из сотрудников отдела число приобретённых акций не превосходит медиану?

Найдите медиану этого ряда данных.

Для того чтобы найти медиану, необходимо сначала выписать все значения количества акций, которые приобрели сотрудники, и упорядочить их.

Выпишем ряд данных из таблицы: 5, 4, 10, 3, 2, 10, 25, 3, 1, 4, 12, 6, 8, 10, 2, 4.

Всего в этом ряду 16 чисел.

Теперь упорядочим этот ряд по возрастанию (создадим вариационный ряд):

1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 10, 12, 25.

Поскольку количество элементов в ряду чётное ($n=16$), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Эти элементы находятся на позициях $n/2$ и $n/2 + 1$.

В данном случае это 8-й и 9-й элементы упорядоченного ряда.

8-й элемент ряда равен 4.

9-й элемент ряда равен 5.

Найдем их среднее арифметическое, которое и будет медианой ($M_e$):

$M_e = \frac{4 + 5}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: медиана этого ряда данных равна 4,5.

У кого из сотрудников отдела число приобретённых акций не превосходит медиану?

Мы выяснили, что медиана равна 4,5. Фраза "не превосходит медиану" означает, что число акций должно быть меньше или равно медиане, то есть меньше или равно 4,5.

Теперь выберем из исходной таблицы всех сотрудников, у которых количество акций удовлетворяет условию $\le 4.5$:

• Муравьёв: 1 акция ($1 \le 4.5$)
• Ильин: 2 акции ($2 \le 4.5$)
• Тимофеев: 2 акции ($2 \le 4.5$)
• Ерин: 3 акции ($3 \le 4.5$)
• Михайлов: 3 акции ($3 \le 4.5$)
• Бодров: 4 акции ($4 \le 4.5$)
• Николаева: 4 акции ($4 \le 4.5$)
• Фёдоров: 4 акции ($4 \le 4.5$)

Ответ: Муравьёв, Ильин, Тимофеев, Ерин, Михайлов, Бодров, Николаева, Фёдоров.

191. Подсчитав число сорных семян в 15 пакетиках с семенами, получили такие данные:

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1.

Для представленного ряда данных найдите среднее арифметическое и медиану. Что характеризует каждый из этих показателей?

Дан ряд чисел, представляющий количество сорных семян в 15 пакетиках:
0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1.

Среднее арифметическое
Среднее арифметическое — это отношение суммы всех чисел ряда к их количеству.
1. Найдем сумму всех чисел в ряду:
$0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 5 + 4 + 5 + 0 + 1 + 6 + 1 = 33$
2. Количество чисел в ряду — 15.
3. Вычислим среднее арифметическое:
$\frac{33}{15} = \frac{11}{5} = 2,2$
Ответ: среднее арифметическое равно 2,2.

Медиана
Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию ряда чисел.
1. Упорядочим данный ряд:
0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6.
2. В ряду 15 элементов (нечетное число). Медиана — это элемент, стоящий на позиции $\frac{n+1}{2}$, то есть на $\frac{15+1}{2} = 8$-м месте.
3. Восьмым элементом в упорядоченном ряду является число 1.
Ответ: медиана равна 1.

Что характеризует каждый из этих показателей?
Среднее арифметическое — это показатель центральной тенденции, который показывает "среднее" значение в выборке. В данном контексте, оно показывает, сколько в среднем сорных семян содержится в одном пакетике (2,2 семени). Этот показатель полезен для обобщения, но он чувствителен к выбросам (нетипично большим или малым значениям, как, например, пакетики с 5 и 6 семенами), которые "сдвигают" среднее значение.
Медиана — это другой показатель центральной тенденции, который делит упорядоченную выборку на две равные части. Медиана, равная 1, означает, что в половине пакетиков содержится 1 или меньше сорных семян, а в другой половине — 1 или больше. Медиана лучше отражает "типичное" значение в наборе данных, когда в нем есть выбросы, так как она не зависит от величины крайних значений. В этой задаче медиана (1) лучше описывает содержимое типичного пакетика, чем среднее арифметическое (2,2).