Страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

216. Чтобы выразить в километрах расстояние, измеренное в морских милях, пользуются формулой $y = 1,853x$, где $x$ — расстояние в милях, а $y$ — то же расстояние в километрах. Выразите в километрах следующие расстояния: 10 миль, 50 миль, 250 миль.

Для того чтобы выразить расстояние, измеренное в морских милях, в километрах, необходимо использовать формулу $y = 1,853x$, где $x$ — это расстояние в милях, а $y$ — искомое расстояние в километрах. Выполним расчеты для каждого из заданных значений.

10 миль

Подставим значение $x = 10$ в формулу:

$y = 1,853 \cdot 10 = 18,53$

Таким образом, 10 морских миль равны 18,53 километрам.

Ответ: 18,53 км.

50 миль

Подставим значение $x = 50$ в формулу:

$y = 1,853 \cdot 50 = 92,65$

Таким образом, 50 морских миль равны 92,65 километрам.

Ответ: 92,65 км.

250 миль

Подставим значение $x = 250$ в формулу:

$y = 1,853 \cdot 250 = 463,25$

Таким образом, 250 морских миль равны 463,25 километрам.

Ответ: 463,25 км.

220. Известно, что $|x| = |y|$. Верно ли, что $x = y$?

Утверждение о том, что из равенства $|x| = |y|$ обязательно следует равенство $x = y$, является неверным.

Равенство модулей $|x| = |y|$ означает, что числа $x$ и $y$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля на координатной прямой. Это условие выполняется в двух случаях: либо когда числа равны ($x = y$), либо когда они являются противоположными ($x = -y$).

Чтобы опровергнуть исходное утверждение, достаточно привести один контрпример — то есть пару чисел $x$ и $y$, для которых $|x| = |y|$, но при этом $x \neq y$.

Рассмотрим такой контрпример. Пусть $x = 5$ и $y = -5$.

Вычислим модули этих чисел. Модуль числа $x$ равен $|x| = |5| = 5$. Модуль числа $y$ равен $|y| = |-5| = 5$.

Поскольку $5=5$, условие $|x| = |y|$ выполняется. Однако сами числа не равны, так как $5 \neq -5$.

Таким образом, мы нашли случай, когда модули чисел равны, а сами числа — нет. Следовательно, утверждение "если $|x| = |y|$, то $x = y$" не является верным в общем случае.

Ответ: Нет, неверно.

217. Сравните:

а) $3,48 - 4,52$ и $-8,93 + 0,16$;

б) $6,48 \cdot \frac{1}{8}$ и $6,48 : \frac{1}{8}$;

в) $4,7 - 9,65$ и $4,7 - 9,9$;

г) $\frac{3}{4} \cdot 16,4$ и $16,4 : \frac{3}{4}$.

а) Сравним значения выражений $3,48 - 4,52$ и $-8,93 + 0,16$.

1. Вычислим значение первого выражения:
$3,48 - 4,52 = -(4,52 - 3,48) = -1,04$.

2. Вычислим значение второго выражения:
$-8,93 + 0,16 = -(8,93 - 0,16) = -8,77$.

3. Сравним полученные результаты: $-1,04$ и $-8,77$.
Так как из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше ($-1,04$ находится на числовой прямой правее, чем $-8,77$), то $-1,04 > -8,77$.
Следовательно, $3,48 - 4,52 > -8,93 + 0,16$.

Ответ: $3,48 - 4,52 > -8,93 + 0,16$.

б) Сравним значения выражений $6,48 \cdot \frac{1}{8}$ и $6,48 : \frac{1}{8}$.

Умножение положительного числа на правильную дробь (дробь, которая меньше 1, как $\frac{1}{8}$) уменьшает это число. Деление на правильную дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь (которая будет больше 1), что увеличивает число.

1. Первое выражение: $6,48 \cdot \frac{1}{8}$. Результат будет меньше, чем $6,48$.
$6,48 \cdot \frac{1}{8} = \frac{6,48}{8} = 0,81$.

2. Второе выражение: $6,48 : \frac{1}{8}$. Это то же самое, что $6,48 \cdot 8$. Результат будет больше, чем $6,48$.
$6,48 : \frac{1}{8} = 6,48 \cdot 8 = 51,84$.

3. Сравним полученные результаты: $0,81$ и $51,84$.
Очевидно, что $0,81 < 51,84$.
Следовательно, $6,48 \cdot \frac{1}{8} < 6,48 : \frac{1}{8}$.

Ответ: $6,48 \cdot \frac{1}{8} < 6,48 : \frac{1}{8}$.

в) Сравним значения выражений $4,7 - 9,65$ и $4,7 - 9,9$.

В обоих выражениях из одного и того же числа ($4,7$) вычитаются разные числа. Сравним вычитаемые: $9,65$ и $9,9$.
Так как $9,65 < 9,9$, то при вычитании большего числа ($9,9$) результат будет меньше.

Проверим вычислениями:
1. $4,7 - 9,65 = -4,95$.
2. $4,7 - 9,9 = -5,2$.

Сравним $-4,95$ и $-5,2$. Так как $-4,95 > -5,2$, то $4,7 - 9,65 > 4,7 - 9,9$.

Ответ: $4,7 - 9,65 > 4,7 - 9,9$.

г) Сравним значения выражений $\frac{3}{4} \cdot 16,4$ и $16,4 : \frac{3}{4}$.

Этот случай аналогичен пункту б). Мы умножаем и делим положительное число $16,4$ на правильную дробь $\frac{3}{4}$.

1. Умножение на $\frac{3}{4}$ (число меньше 1) даст результат, меньший чем $16,4$.
$\frac{3}{4} \cdot 16,4 = 0,75 \cdot 16,4 = 12,3$.

2. Деление на $\frac{3}{4}$ эквивалентно умножению на обратную дробь $\frac{4}{3}$ (число больше 1), что даст результат, больший чем $16,4$.
$16,4 : \frac{3}{4} = 16,4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16,4 \cdot 4}{3} = \frac{65,6}{3}$.

3. Сравним полученные результаты: $12,3$ и $\frac{65,6}{3}$.
$12,3 = \frac{123}{10} = \frac{369}{30}$, а $\frac{65,6}{3} = \frac{656}{30}$.
Так как $369 < 656$, то и $12,3 < \frac{65,6}{3}$.
Следовательно, $\frac{3}{4} \cdot 16,4 < 16,4 : \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4} \cdot 16,4 < 16,4 : \frac{3}{4}$.

221. Известно, что $|a| < |b|$. Верно ли, что $a < b$?

Нет, данное утверждение не всегда верно. То, что $|a| < |b|$, не означает автоматически, что $a < b$.

Неравенство $|a| < |b|$ означает, что расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой меньше, чем расстояние от точки $b$ до нуля. Это условие не даёт однозначной информации о знаках чисел $a$ и $b$, от которых и зависит истинность неравенства $a < b$.

Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно найти один контрпример — то есть такую пару чисел $a$ и $b$, для которой условие $|a| < |b|$ будет выполняться, а заключение $a < b$ — нет.

Рассмотрим следующий контрпример: пусть $a = 1$, а $b = -2$.

1. Проверим, выполняется ли для этих чисел условие $|a| < |b|$:
$|a| = |1| = 1$
$|b| = |-2| = 2$
Поскольку $1 < 2$, условие $|a| < |b|$ выполняется.

2. Теперь проверим, выполняется ли для них заключение $a < b$:
$1 < -2$
Это неравенство является ложным, так как любое положительное число (в данном случае $1$) всегда больше любого отрицательного числа (в данном случае $-2$).

Можно привести и другой контрпример, где оба числа отрицательны. Например, пусть $a = -2$ и $b = -3$.
Условие: $|-2| < |-3|$, что равносильно $2 < 3$. Это верно.
Заключение: $-2 < -3$. Это неверно, так как $-2 > -3$.

Поскольку мы нашли примеры, в которых условие $|a| < |b|$ истинно, а заключение $a < b$ ложно, мы можем утверждать, что из $|a| < |b|$ не всегда следует $a < b$.

Ответ: нет, не верно.

218. Верно ли, что:

а) если $a > 0$ и $b > 0$, то $ab > 0$;

б) если $ab > 0$, то $a > 0$ и $b > 0$?

а) если a > 0 и b > 0, то ab > 0;

Данное утверждение является верным. Это одно из фундаментальных свойств действительных чисел: произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом.

Если число $a$ положительное ($a > 0$) и число $b$ положительное ($b > 0$), то их произведение $ab$ также будет положительным ($ab > 0$).

Например, если взять $a = 2$ и $b = 7$, оба числа положительны. Их произведение $ab = 2 \cdot 7 = 14$, что также является положительным числом ($14 > 0$).

Ответ: верно.

б) если ab > 0, то a > 0 и b > 0?

Данное утверждение является неверным. Произведение двух чисел $ab$ больше нуля не только в случае, когда оба множителя положительны.

Условие $ab > 0$ выполняется при соблюдении одного из двух правил:
1. Оба множителя положительны: $a > 0$ и $b > 0$.
2. Оба множителя отрицательны: $a < 0$ и $b < 0$.

Поскольку существует второй случай (когда оба числа отрицательны), мы не можем утверждать, что из $ab > 0$ обязательно следует, что $a > 0$ и $b > 0$. Для опровержения этого утверждения достаточно привести контрпример.

Возьмем, к примеру, $a = -5$ и $b = -3$. В этом случае $ab = (-5) \cdot (-3) = 15$. Произведение $15 > 0$, то есть условие $ab > 0$ выполнено. Однако исходные числа $a$ и $b$ не являются положительными, они оба отрицательны.

Ответ: неверно.

222. Известно, что $|a| > |b|$. Возможно ли, чтобы было $a < b$?

Да, такая ситуация возможна.

Нам необходимо проверить, могут ли одновременно выполняться два неравенства: $ |a| > |b| $ и $ a < b $.

Неравенство $ |a| > |b| $ означает, что на числовой прямой точка a находится дальше от начала координат (нуля), чем точка b.

Неравенство $ a < b $ означает, что на числовой прямой точка a расположена левее точки b.

Чтобы доказать, что это возможно, достаточно привести хотя бы один пример чисел a и b, которые удовлетворяют обоим условиям. Рассмотрим возможные знаки чисел a и b.

Случай 1: a — отрицательное число, b — положительное число.

В этом случае условие $ a < b $ всегда выполняется, так как любое отрицательное число меньше любого положительного. Теперь нужно лишь подобрать такие числа, чтобы выполнялось и первое условие $ |a| > |b| $.

Например, возьмем $ a = -5 $ и $ b = 2 $.

Проверим выполнение обоих условий:

1. $ |a| > |b| \implies |-5| > |2| \implies 5 > 2 $. Это неравенство верно.

2. $ a < b \implies -5 < 2 $. Это неравенство также верно.

Поскольку мы нашли пару чисел, для которой оба условия выполняются, это доказывает, что такая ситуация возможна.

Случай 2: оба числа a и b отрицательны.

Для выполнения условия $ a < b $ при отрицательных a и b, точка a должна быть левее точки b на числовой оси. Это, в свою очередь, означает, что точка a находится дальше от нуля. Следовательно, для любых двух отрицательных чисел, если $ a < b $, то и $ |a| > |b| $.

Например, возьмем $ a = -10 $ и $ b = -3 $.

Проверим выполнение обоих условий:

1. $ |a| > |b| \implies |-10| > |-3| \implies 10 > 3 $. Это неравенство верно.

2. $ a < b \implies -10 < -3 $. Это неравенство также верно.

Этот случай также подтверждает, что заданные условия могут выполняться одновременно.

Ответ: да, возможно. Например, при $a = -5$ и $b = 2$.

215. Составьте формулу числа:

а) кратного 11; $11n$

б) кратного 21. $21n$

а) кратного 11

Число, кратное 11, — это любое число, которое делится на 11 без остатка. Это означает, что такое число можно представить в виде произведения числа 11 на некоторое целое число. Обозначим искомое число буквой $a$, а целое число — буквой $k$.

Тогда формула для числа, кратного 11, будет иметь вид: $a = 11 \cdot k$

В этой формуле $k$ — любое целое число (положительное, отрицательное или ноль). В математике это записывают как $k \in \mathbb{Z}$. Например:
если $k = 2$, то $a = 11 \cdot 2 = 22$;
если $k = -5$, то $a = 11 \cdot (-5) = -55$;
если $k = 0$, то $a = 11 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $a = 11k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) кратного 21

Аналогично предыдущему пункту, число, кратное 21, — это число, которое можно получить, умножив 21 на некоторое целое число $k$. Обозначив искомое число буквой $a$, мы получим следующую формулу:

$a = 21 \cdot k$

Здесь $k$ также является любым целым числом ($k \in \mathbb{Z}$). Например:
если $k = 1$, то $a = 21 \cdot 1 = 21$;
если $k = 3$, то $a = 21 \cdot 3 = 63$;
если $k = -2$, то $a = 21 \cdot (-2) = -42$.

Ответ: $a = 21k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

219. Верно ли, что для любых чисел a и b:

а) $|a + b| = |a| + |b|$;

б) $|ab| = |a| \cdot |b|$?

а) $|a + b| = |a| + |b|$

Данное равенство не всегда является верным. Оно представляет собой частный случай так называемого неравенства треугольника, которое в общем виде записывается как $|a + b| \le |a| + |b|$. Равенство $|a + b| = |a| + |b|$ достигается только в том случае, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны), или одно из них (или оба) равно нулю. Математически это условие можно записать как $ab \ge 0$.

Чтобы доказать, что равенство неверно для любых чисел, достаточно привести один контрпример, где оно не выполняется. Для этого возьмем числа с разными знаками.

Пусть $a = 5$ и $b = -3$.

Найдем значение левой части равенства:

$|a + b| = |5 + (-3)| = |2| = 2$.

Теперь найдем значение правой части равенства:

$|a| + |b| = |5| + |-3| = 5 + 3 = 8$.

Сравнивая результаты, получаем $2 \ne 8$.

Поскольку мы нашли пример, в котором равенство не выполняется, утверждение, что оно верно для любых чисел $a$ и $b$, является ложным.

Ответ: нет, неверно.

б) $|ab| = |a| \cdot |b|$

Это равенство является одним из основных свойств модуля (абсолютной величины), и оно верно для любых чисел $a$ и $b$. Чтобы доказать это, необходимо рассмотреть все возможные случаи, связанные со знаками чисел $a$ и $b$.

Случай 1: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
В этом случае произведение $ab \ge 0$, и по определению модуля $|ab| = ab$. Также, $|a| = a$ и $|b| = b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot b$. Равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ выполняется.

Случай 2: $a < 0$ и $b < 0$.
В этом случае произведение $ab > 0$, так как произведение двух отрицательных чисел положительно. По определению модуля, $|ab| = ab$. С другой стороны, $|a| = -a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = ab$. Равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ снова выполняется.

Случай 3: $a \ge 0$ и $b < 0$.
В этом случае произведение $ab \le 0$. По определению модуля, $|ab| = -(ab) = -ab$. С другой стороны, $|a| = a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b) = -ab$. Равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ выполняется.

Случай 4: $a < 0$ и $b \ge 0$.
Этот случай симметричен предыдущему. Произведение $ab \le 0$. По определению модуля, $|ab| = -(ab) = -ab$. С другой стороны, $|a| = -a$ и $|b| = b$, поэтому $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot b = -ab$. И в этом случае равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ выполняется.

Мы рассмотрели все возможные комбинации знаков для $a$ и $b$, и в каждом случае равенство оказалось верным. Таким образом, утверждение, что $|ab| = |a| \cdot |b|$ для любых чисел $a$ и $b$, является истинным.

Ответ: да, верно.

224. Вычислите:

а) $(1,25 \cdot 1,7 \cdot 0,8 - 1,7) \cdot 3,45;$

б) $3,947 : (3,6 - 2,6 \cdot 4 \cdot 0,25).$

а) $(1,25 \cdot 1,7 \cdot 0,8 - 1,7) \cdot 3,45$

Решим по действиям. Сначала выполним действия в скобках. Для упрощения вычислений можно заметить общий множитель $1,7$ и вынести его за скобки:

$(1,25 \cdot 1,7 \cdot 0,8 - 1,7 \cdot 1) = 1,7 \cdot (1,25 \cdot 0,8 - 1)$

1. Первым действием вычислим произведение в новых скобках: $1,25 \cdot 0,8 = 1$.

2. Вторым действием выполним вычитание в скобках: $1 - 1 = 0$.

3. Третьим действием умножим результат на вынесенный множитель: $1,7 \cdot 0 = 0$.

4. Последним действием умножим результат, полученный в скобках, на $3,45$: $0 \cdot 3,45 = 0$.

Ответ: 0

б) $3,947 : (3,6 - 2,6 \cdot 4 \cdot 0,25)$

Решим по действиям. Сначала выполним действия в скобках, при этом умножение имеет приоритет над вычитанием.

1. Первым действием вычислим произведение в скобках. Удобнее сначала умножить $4$ на $0,25$:

$4 \cdot 0,25 = 1$

Теперь умножим результат на $2,6$:

$2,6 \cdot 1 = 2,6$

2. Вторым действием выполним вычитание в скобках:

$3,6 - 2,6 = 1$

3. Последним действием выполним деление:

$3,947 : 1 = 3,947$

Ответ: 3,947

225. Объясните, почему равенство является тождеством:

а) $|x| = |-x|$;

б) $|x - y| = |y - x|$;

в) $|2c| = 2|c|.$

Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы объяснить, почему данные равенства являются тождествами, мы должны показать, что они выполняются для любых значений переменных.

а) $|x| = |-x|$

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала отсчета (нуля) до точки на числовой прямой, которая соответствует этому числу. Расстояние всегда является неотрицательной величиной.

Числа $x$ и $-x$ являются противоположными. На числовой прямой они расположены на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него (кроме случая, когда $x=0$). Например, 5 и -5 оба находятся на расстоянии 5 единиц от 0.

Можно также рассмотреть три случая, используя алгебраическое определение модуля:

• Если $x > 0$, то $|x| = x$. В этом случае $-x < 0$, и по определению модуля $|-x| = -(-x) = x$. Таким образом, $|x| = |-x|$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$. В этом случае $-x > 0$, и по определению модуля $|-x| = -x$. Таким образом, $|x| = |-x|$.
• Если $x = 0$, то $|x| = |0| = 0$ и $|-x| = |-0| = 0$. Таким образом, $|x| = |-x|$.

Поскольку равенство верно для всех возможных значений $x$, оно является тождеством.

Ответ: Равенство является тождеством, так как модуль числа и модуль противоположного ему числа равны, что соответствует их одинаковому расстоянию от нуля на числовой прямой.

б) $|x - y| = |y - x|$

Это равенство является прямым следствием свойства, доказанного в пункте а).

Заметим, что выражения под модулями являются противоположными друг другу: $y - x = -1 \cdot (x - y) = -(x - y)$.

Тогда равенство можно переписать в виде $|x - y| = |-(x - y)|$. Если мы обозначим выражение $x - y$ за новую переменную, например, $z = x - y$, то получим равенство $|z| = |-z|$. Как мы уже показали в пункте а), это равенство является тождеством. Поскольку $x$ и $y$ могут быть любыми числами, их разность $z$ также может быть любым числом. Следовательно, исходное равенство тоже является тождеством.

Геометрически, выражение $|x-y|$ означает расстояние между точками с координатами $x$ и $y$ на числовой прямой. Очевидно, что расстояние от $x$ до $y$ равно расстоянию от $y$ до $x$.

Ответ: Равенство является тождеством, так как выражения $x-y$ и $y-x$ — противоположные, а модули противоположных выражений всегда равны.

в) $|2c| = 2|c|$

Это равенство является частным случаем свойства модуля произведения: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.

Применим это свойство к левой части равенства $|2c|$:
$|2c| = |2 \cdot c| = |2| \cdot |c|$.

Модуль числа 2 равен 2, так как 2 — положительное число: $|2| = 2$.

Подставив это значение, получаем:
$|2| \cdot |c| = 2|c|$.

Таким образом, мы доказали, что $|2c| = 2|c|$. Равенство выполняется при любом значении переменной $c$, а значит, является тождеством.

Ответ: Равенство является тождеством, так как оно следует из свойства модуля произведения $|ab|=|a| \cdot |b|$ и того факта, что $|2|=2$.

226. Является ли тождеством равенство:

а) $|a + 5| = a + 5;$

б) $|a^2 + 4| = a^2 + 4;$

в) $|a - b| - |b - a| = 0;$

г) $|a + b| - |a| = |b|?$

а) $|a + 5| = a + 5$

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. По определению модуля, $|x| = x$ только в том случае, если $x \ge 0$. Следовательно, равенство $|a + 5| = a + 5$ будет верным только при условии, что выражение под модулем неотрицательно, то есть $a + 5 \ge 0$, что эквивалентно $a \ge -5$. Если же взять значение $a$, которое не удовлетворяет этому условию, например $a = -6$, то равенство не будет выполняться. Проверим:

Левая часть: $|-6 + 5| = |-1| = 1$.

Правая часть: $-6 + 5 = -1$.

Поскольку $1 \ne -1$, равенство не является тождеством, так как оно не выполняется для всех значений $a$.

Ответ: нет, не является.

б) $|a^2 + 4| = a^2 + 4$

Равенство $|x| = x$ верно, если $x \ge 0$. В данном случае $x = a^2 + 4$. Рассмотрим выражение $a^2 + 4$. Для любого действительного числа $a$ его квадрат $a^2$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 4, результат всегда будет положительным: $a^2 + 4 \ge 0 + 4$, следовательно, $a^2 + 4 \ge 4$. Так как выражение $a^2 + 4$ всегда положительно (а значит, и неотрицательно) при любом значении $a$, то равенство $|a^2 + 4| = a^2 + 4$ выполняется всегда.

Ответ: да, является.

в) $|a - b| - |b - a| = 0$

Перепишем равенство в виде $|a - b| = |b - a|$. Воспользуемся свойством модуля: $|x| = |-x|$ для любого выражения $x$. Выражение $b - a$ можно представить как $-(a - b)$. Тогда $|b - a| = |-(a - b)|$. Согласно свойству модуля, $|-(a - b)| = |a - b|$. Таким образом, мы показали, что $|a - b| = |b - a|$ для любых значений $a$ и $b$. Следовательно, исходное равенство $|a - b| - |b - a| = 0$ также верно для любых $a$ и $b$.

Ответ: да, является.

г) $|a + b| - |a| = |b|$

Для проверки, является ли равенство тождеством, достаточно найти хотя бы один контрпример, при котором оно не выполняется. Перепишем равенство в виде $|a + b| = |a| + |b|$. Это равенство известно как одно из следствий неравенства треугольника ($|a+b| \le |a|+|b|$). Равенство достигается только тогда, когда $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (или одно из них равно нулю). Если знаки разные, равенство не выполняется. Давайте проверим это на примере для исходного уравнения.

Пусть $a = 3$ и $b = -5$.

Левая часть: $|3 + (-5)| - |3| = |-2| - 3 = 2 - 3 = -1$.

Правая часть: $|-5| = 5$.

Поскольку $-1 \ne 5$, равенство не выполняется. Следовательно, оно не является тождеством.

Ответ: нет, не является.

223. Найдите значение выражения:

a) $5,9 \cdot 2,6 + 5,9 \cdot 3,2 + 5,8 \cdot 4,1;$

б) $6,8 \cdot 8,4 - 1,6 \cdot 8,4 + 5,2 \cdot 1,6.$

а) $5,9 \cdot 2,6 + 5,9 \cdot 3,2 + 5,8 \cdot 4,1$

Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения, которое гласит, что $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$.

1. Сначала сгруппируем первые два слагаемых, так как у них есть общий множитель $5,9$. Вынесем его за скобки:

$5,9 \cdot 2,6 + 5,9 \cdot 3,2 = 5,9 \cdot (2,6 + 3,2)$

2. Выполним сложение в скобках:

$2,6 + 3,2 = 5,8$

3. Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$5,9 \cdot 5,8 + 5,8 \cdot 4,1$

4. Мы видим, что у получившихся слагаемых есть новый общий множитель $5,8$. Снова вынесем его за скобки:

$5,8 \cdot (5,9 + 4,1)$

5. Выполним сложение в скобках:

$5,9 + 4,1 = 10$

6. Теперь осталось выполнить последнее действие:

$5,8 \cdot 10 = 58$

Ответ: 58.

б) $6,8 \cdot 8,4 - 1,6 \cdot 8,4 + 5,2 \cdot 1,6$

Для решения этого примера также воспользуемся распределительным свойством умножения.

1. Сгруппируем первые два члена выражения, так как у них есть общий множитель $8,4$. Вынесем его за скобки, используя правило $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$:

$6,8 \cdot 8,4 - 1,6 \cdot 8,4 = (6,8 - 1,6) \cdot 8,4$

2. Выполним вычитание в скобках:

$6,8 - 1,6 = 5,2$

3. Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$5,2 \cdot 8,4 + 5,2 \cdot 1,6$

4. Мы видим, что у получившихся слагаемых есть общий множитель $5,2$. Вынесем его за скобки:

$5,2 \cdot (8,4 + 1,6)$

5. Выполним сложение в скобках:

$8,4 + 1,6 = 10$

6. Теперь осталось выполнить последнее действие:

$5,2 \cdot 10 = 52$

Ответ: 52.

227. Докажите, что:

а) если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное первое число;

б) если из суммы двух чисел вычесть их разность, то получится удвоенное второе число.

а) Для доказательства этого утверждения введем переменные. Пусть первое число — это $a$, а второе число — это $b$.
Тогда их сумма будет равна $a + b$.
А их разность будет равна $a - b$.
Теперь, согласно условию задачи, прибавим к сумме этих чисел их разность:
$(a + b) + (a - b)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a + b + a - b = (a + a) + (b - b) = 2a + 0 = 2a$
В результате получилось выражение $2a$, что и представляет собой удвоенное первое число. Утверждение доказано.
Ответ: $(a + b) + (a - b) = 2a$.

б) Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему. Используем те же обозначения: первое число — $a$, второе число — $b$.
Сумма чисел: $a + b$.
Разность чисел: $a - b$.
Теперь, согласно условию, вычтем из суммы чисел их разность:
$(a + b) - (a - b)$
Раскроем скобки. Важно помнить, что знак «минус» перед скобкой меняет знаки всех членов внутри нее на противоположные:
$a + b - a + b = (a - a) + (b + b) = 0 + 2b = 2b$
В результате получилось выражение $2b$, что и представляет собой удвоенное второе число. Утверждение доказано.
Ответ: $(a + b) - (a - b) = 2b$.