Номер 221, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 221, страница 51.

Условие.

221. Известно, что $|a| < |b|$. Верно ли, что $a < b$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Нет, данное утверждение не всегда верно. То, что $|a| < |b|$, не означает автоматически, что $a < b$.

Неравенство $|a| < |b|$ означает, что расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой меньше, чем расстояние от точки $b$ до нуля. Это условие не даёт однозначной информации о знаках чисел $a$ и $b$, от которых и зависит истинность неравенства $a < b$.

Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно найти один контрпример — то есть такую пару чисел $a$ и $b$, для которой условие $|a| < |b|$ будет выполняться, а заключение $a < b$ — нет.

Рассмотрим следующий контрпример: пусть $a = 1$, а $b = -2$.

1. Проверим, выполняется ли для этих чисел условие $|a| < |b|$:
$|a| = |1| = 1$
$|b| = |-2| = 2$
Поскольку $1 < 2$, условие $|a| < |b|$ выполняется.

2. Теперь проверим, выполняется ли для них заключение $a < b$:
$1 < -2$
Это неравенство является ложным, так как любое положительное число (в данном случае $1$) всегда больше любого отрицательного числа (в данном случае $-2$).

Можно привести и другой контрпример, где оба числа отрицательны. Например, пусть $a = -2$ и $b = -3$.
Условие: $|-2| < |-3|$, что равносильно $2 < 3$. Это верно.
Заключение: $-2 < -3$. Это неверно, так как $-2 > -3$.

Поскольку мы нашли примеры, в которых условие $|a| < |b|$ истинно, а заключение $a < b$ ложно, мы можем утверждать, что из $|a| < |b|$ не всегда следует $a < b$.

Ответ: нет, не верно.