Номер 219, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 219, страница 51.

Условие.

219. Верно ли, что для любых чисел a и b:

а) $|a + b| = |a| + |b|$;

б) $|ab| = |a| \cdot |b|$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $|a + b| = |a| + |b|$

Данное равенство не всегда является верным. Оно представляет собой частный случай так называемого неравенства треугольника, которое в общем виде записывается как $|a + b| \le |a| + |b|$. Равенство $|a + b| = |a| + |b|$ достигается только в том случае, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны), или одно из них (или оба) равно нулю. Математически это условие можно записать как $ab \ge 0$.

Чтобы доказать, что равенство неверно для любых чисел, достаточно привести один контрпример, где оно не выполняется. Для этого возьмем числа с разными знаками.

Пусть $a = 5$ и $b = -3$.

Найдем значение левой части равенства:

$|a + b| = |5 + (-3)| = |2| = 2$.

Теперь найдем значение правой части равенства:

$|a| + |b| = |5| + |-3| = 5 + 3 = 8$.

Сравнивая результаты, получаем $2 \ne 8$.

Поскольку мы нашли пример, в котором равенство не выполняется, утверждение, что оно верно для любых чисел $a$ и $b$, является ложным.

Ответ: нет, неверно.

б) $|ab| = |a| \cdot |b|$

Это равенство является одним из основных свойств модуля (абсолютной величины), и оно верно для любых чисел $a$ и $b$. Чтобы доказать это, необходимо рассмотреть все возможные случаи, связанные со знаками чисел $a$ и $b$.

Случай 1: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
В этом случае произведение $ab \ge 0$, и по определению модуля $|ab| = ab$. Также, $|a| = a$ и $|b| = b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot b$. Равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ выполняется.

Случай 2: $a < 0$ и $b < 0$.
В этом случае произведение $ab > 0$, так как произведение двух отрицательных чисел положительно. По определению модуля, $|ab| = ab$. С другой стороны, $|a| = -a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = ab$. Равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ снова выполняется.

Случай 3: $a \ge 0$ и $b < 0$.
В этом случае произведение $ab \le 0$. По определению модуля, $|ab| = -(ab) = -ab$. С другой стороны, $|a| = a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b) = -ab$. Равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ выполняется.

Случай 4: $a < 0$ и $b \ge 0$.
Этот случай симметричен предыдущему. Произведение $ab \le 0$. По определению модуля, $|ab| = -(ab) = -ab$. С другой стороны, $|a| = -a$ и $|b| = b$, поэтому $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot b = -ab$. И в этом случае равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ выполняется.

Мы рассмотрели все возможные комбинации знаков для $a$ и $b$, и в каждом случае равенство оказалось верным. Таким образом, утверждение, что $|ab| = |a| \cdot |b|$ для любых чисел $a$ и $b$, является истинным.

Ответ: да, верно.