Номер 225, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 225, страница 51.

Условие.

225. Объясните, почему равенство является тождеством:

а) $|x| = |-x|$;

б) $|x - y| = |y - x|$;

в) $|2c| = 2|c|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы объяснить, почему данные равенства являются тождествами, мы должны показать, что они выполняются для любых значений переменных.

а) $|x| = |-x|$

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала отсчета (нуля) до точки на числовой прямой, которая соответствует этому числу. Расстояние всегда является неотрицательной величиной.

Числа $x$ и $-x$ являются противоположными. На числовой прямой они расположены на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него (кроме случая, когда $x=0$). Например, 5 и -5 оба находятся на расстоянии 5 единиц от 0.

Можно также рассмотреть три случая, используя алгебраическое определение модуля:

• Если $x > 0$, то $|x| = x$. В этом случае $-x < 0$, и по определению модуля $|-x| = -(-x) = x$. Таким образом, $|x| = |-x|$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$. В этом случае $-x > 0$, и по определению модуля $|-x| = -x$. Таким образом, $|x| = |-x|$.
• Если $x = 0$, то $|x| = |0| = 0$ и $|-x| = |-0| = 0$. Таким образом, $|x| = |-x|$.

Поскольку равенство верно для всех возможных значений $x$, оно является тождеством.

Ответ: Равенство является тождеством, так как модуль числа и модуль противоположного ему числа равны, что соответствует их одинаковому расстоянию от нуля на числовой прямой.

б) $|x - y| = |y - x|$

Это равенство является прямым следствием свойства, доказанного в пункте а).

Заметим, что выражения под модулями являются противоположными друг другу: $y - x = -1 \cdot (x - y) = -(x - y)$.

Тогда равенство можно переписать в виде $|x - y| = |-(x - y)|$. Если мы обозначим выражение $x - y$ за новую переменную, например, $z = x - y$, то получим равенство $|z| = |-z|$. Как мы уже показали в пункте а), это равенство является тождеством. Поскольку $x$ и $y$ могут быть любыми числами, их разность $z$ также может быть любым числом. Следовательно, исходное равенство тоже является тождеством.

Геометрически, выражение $|x-y|$ означает расстояние между точками с координатами $x$ и $y$ на числовой прямой. Очевидно, что расстояние от $x$ до $y$ равно расстоянию от $y$ до $x$.

Ответ: Равенство является тождеством, так как выражения $x-y$ и $y-x$ — противоположные, а модули противоположных выражений всегда равны.

в) $|2c| = 2|c|$

Это равенство является частным случаем свойства модуля произведения: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.

Применим это свойство к левой части равенства $|2c|$:
$|2c| = |2 \cdot c| = |2| \cdot |c|$.

Модуль числа 2 равен 2, так как 2 — положительное число: $|2| = 2$.

Подставив это значение, получаем:
$|2| \cdot |c| = 2|c|$.

Таким образом, мы доказали, что $|2c| = 2|c|$. Равенство выполняется при любом значении переменной $c$, а значит, является тождеством.

Ответ: Равенство является тождеством, так как оно следует из свойства модуля произведения $|ab|=|a| \cdot |b|$ и того факта, что $|2|=2$.