Номер 232, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 232, страница 52.

Условие.

232. Докажите, что если одно из чисел кратно 3, а другое кратно 5, то их произведение кратно 15.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением кратности чисел.

Пусть у нас есть два числа, обозначим их a и b.

По условию задачи, одно из этих чисел кратно 3. Допустим, это число a. Если число a кратно 3, это означает, что его можно представить в виде произведения числа 3 на некоторое целое число k. Запишем это в виде формулы:

$a = 3k$, где k — целое число.

Второе число, b, по условию кратно 5. Аналогично, это означает, что число b можно представить как произведение числа 5 на некоторое целое число m:

$b = 5m$, где m — целое число.

Теперь нам нужно доказать, что их произведение, $a \cdot b$, кратно 15. Число считается кратным 15, если его можно представить в виде произведения 15 на некоторое целое число. Найдем произведение наших чисел, подставив в него записанные выше выражения для a и b:

$a \cdot b = (3k) \cdot (5m)$

Используя переместительное (коммутативное) и сочетательное (ассоциативное) свойства умножения, мы можем перегруппировать множители следующим образом:

$a \cdot b = (3 \cdot 5) \cdot (k \cdot m)$

Вычислим произведение в первых скобках:

$a \cdot b = 15 \cdot (k \cdot m)$

Поскольку k и m по определению являются целыми числами, их произведение $(k \cdot m)$ также является целым числом. Обозначим это новое целое число как n, то есть $n = k \cdot m$. Тогда наше произведение принимает вид:

$a \cdot b = 15n$

Эта запись по определению означает, что произведение $a \cdot b$ делится на 15 без остатка, то есть является кратным 15. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если одно число имеет множитель 3, а другое — множитель 5, то их произведение будет иметь множители 3 и 5, что в произведении дает $3 \cdot 5 = 15$. Следовательно, произведение этих чисел кратно 15.