Номер 238, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 238, страница 52.

Условие.

238. При каких значениях коэффициента $m$ уравнение $mx = 5$ имеет единственный корень? Существует ли такое значение $m$, при котором это уравнение не имеет корней? имеет бесконечно много корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Рассмотрим линейное уравнение $mx = 5$ с параметром $m$. Количество решений этого уравнения зависит от значения коэффициента $m$.

При каких значениях коэффициента m уравнение mx = 5 имеет единственный корень?

Уравнение имеет единственный корень, если мы можем однозначно выразить переменную $x$. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $m$.

Операция деления на число возможна только в том случае, если это число не равно нулю. Таким образом, при условии $m \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $m$ и получить единственное решение:

$x = \frac{5}{m}$

Это означает, что для любого ненулевого значения $m$ существует ровно один корень.

Ответ: Уравнение имеет единственный корень при всех значениях $m$, кроме $m = 0$, то есть при $m \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Существует ли такое значение m, при котором это уравнение не имеет корней?

Рассмотрим случай, когда деление на $m$ невозможно, то есть когда $m = 0$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$0 \cdot x = 5$

В левой части уравнения произведение любого числа $x$ на 0 всегда равно 0. Таким образом, уравнение принимает вид:

$0 = 5$

Это равенство является ложным, оно не выполняется ни при каком значении $x$. Следовательно, при $m=0$ уравнение не имеет корней.

Ответ: Да, существует. При $m = 0$ уравнение не имеет корней.

имеет бесконечно много корней?

Линейное уравнение вида $ax = b$ имеет бесконечно много корней тогда и только тогда, когда оно обращается в верное тождество $0 = 0$. Это происходит при одновременном выполнении условий $a=0$ и $b=0$.

В нашем уравнении $mx = 5$ имеем $a = m$ и $b = 5$.

Для того чтобы корней было бесконечно много, необходимо, чтобы $m=0$ и $5=0$. Первое условие ($m=0$) возможно, но второе условие ($5=0$) является ложным. Поскольку невозможно одновременное выполнение обоих условий, данное уравнение не может иметь бесконечно много корней.

Ответ: Нет, не существует такого значения $m$, при котором это уравнение имеет бесконечно много корней.