Номер 242, страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 242, страница 53.

Условие.

242. Может ли иметь положительный корень уравнение:

а) $(x + 5)(x + 6) + 9 = 0$;

б) $x^2 + 3x + 1 = 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Рассмотрим уравнение $(x + 5)(x + 6) + 9 = 0$. Чтобы определить, может ли оно иметь положительный корень, предположим, что такой корень $x$ существует, то есть $x > 0$.

Если $x$ — положительное число, то оба выражения в скобках также будут положительными: $x + 5 > 5$ и, следовательно, $x + 5 > 0$; $x + 6 > 6$ и, следовательно, $x + 6 > 0$.

Произведение двух положительных чисел $(x + 5)(x + 6)$ является положительным числом. Если к этому положительному результату прибавить еще одно положительное число $9$, то итоговая сумма также будет положительной: $(x + 5)(x + 6) + 9 > 0$.

Это означает, что при любом положительном $x$ левая часть уравнения всегда будет строго больше нуля и никогда не сможет равняться нулю. Следовательно, уравнение не имеет положительных корней.

Ответ: нет, не может.

б)

Рассмотрим уравнение $x^2 + 3x + 1 = 0$. Предположим, что у него есть положительный корень $x > 0$.

Если $x$ — положительное число, то все слагаемые в левой части уравнения являются положительными: $x^2 > 0$, $3x > 0$, и $1 > 0$.

Сумма трех положительных чисел ($x^2 + 3x + 1$) всегда будет положительным числом. Таким образом, левая часть уравнения не может быть равна нулю при $x > 0$. Следовательно, у уравнения нет положительных корней.

Это также можно доказать с помощью теоремы Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения: сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Для нашего уравнения $a=1, b=3, c=1$. Тогда:

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1/1 = 1$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -3/1 = -3$.

Поскольку произведение корней положительно ($1 > 0$), оба корня имеют одинаковый знак. Поскольку их сумма отрицательна ($-3 < 0$), оба корня должны быть отрицательными. Это подтверждает, что у уравнения нет положительных корней.

Ответ: нет, не может.