Номер 226, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 226, страница 51.

Условие.

226. Является ли тождеством равенство:

а) $|a + 5| = a + 5;$

б) $|a^2 + 4| = a^2 + 4;$

в) $|a - b| - |b - a| = 0;$

г) $|a + b| - |a| = |b|?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $|a + 5| = a + 5$

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. По определению модуля, $|x| = x$ только в том случае, если $x \ge 0$. Следовательно, равенство $|a + 5| = a + 5$ будет верным только при условии, что выражение под модулем неотрицательно, то есть $a + 5 \ge 0$, что эквивалентно $a \ge -5$. Если же взять значение $a$, которое не удовлетворяет этому условию, например $a = -6$, то равенство не будет выполняться. Проверим:

Левая часть: $|-6 + 5| = |-1| = 1$.

Правая часть: $-6 + 5 = -1$.

Поскольку $1 \ne -1$, равенство не является тождеством, так как оно не выполняется для всех значений $a$.

Ответ: нет, не является.

б) $|a^2 + 4| = a^2 + 4$

Равенство $|x| = x$ верно, если $x \ge 0$. В данном случае $x = a^2 + 4$. Рассмотрим выражение $a^2 + 4$. Для любого действительного числа $a$ его квадрат $a^2$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 4, результат всегда будет положительным: $a^2 + 4 \ge 0 + 4$, следовательно, $a^2 + 4 \ge 4$. Так как выражение $a^2 + 4$ всегда положительно (а значит, и неотрицательно) при любом значении $a$, то равенство $|a^2 + 4| = a^2 + 4$ выполняется всегда.

Ответ: да, является.

в) $|a - b| - |b - a| = 0$

Перепишем равенство в виде $|a - b| = |b - a|$. Воспользуемся свойством модуля: $|x| = |-x|$ для любого выражения $x$. Выражение $b - a$ можно представить как $-(a - b)$. Тогда $|b - a| = |-(a - b)|$. Согласно свойству модуля, $|-(a - b)| = |a - b|$. Таким образом, мы показали, что $|a - b| = |b - a|$ для любых значений $a$ и $b$. Следовательно, исходное равенство $|a - b| - |b - a| = 0$ также верно для любых $a$ и $b$.

Ответ: да, является.

г) $|a + b| - |a| = |b|$

Для проверки, является ли равенство тождеством, достаточно найти хотя бы один контрпример, при котором оно не выполняется. Перепишем равенство в виде $|a + b| = |a| + |b|$. Это равенство известно как одно из следствий неравенства треугольника ($|a+b| \le |a|+|b|$). Равенство достигается только тогда, когда $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (или одно из них равно нулю). Если знаки разные, равенство не выполняется. Давайте проверим это на примере для исходного уравнения.

Пусть $a = 3$ и $b = -5$.

Левая часть: $|3 + (-5)| - |3| = |-2| - 3 = 2 - 3 = -1$.

Правая часть: $|-5| = 5$.

Поскольку $-1 \ne 5$, равенство не выполняется. Следовательно, оно не является тождеством.

Ответ: нет, не является.