Страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

260. Объём куба зависит от длины его ребра. Пусть $a$ см — длина ребра куба, а $V$ см$^\text{3}$ — его объём. Задайте формулой зависимость $V$ от $a$. Возьмите два каких-либо значения аргумента и вычислите соответствующие им значения функции.

Задайте формулой зависимость V от a.

Объём куба ($V$) равен произведению его длины, ширины и высоты. Поскольку у куба все рёбра равны, и длина ребра составляет $a$ см, то для нахождения объёма нужно длину ребра возвести в третью степень.

Таким образом, зависимость объёма $V$ от длины ребра $a$ задаётся следующей формулой:

$V = a^3$

Ответ: $V = a^3$

Возьмите два каких-либо значения аргумента и вычислите соответствующие им значения функции.

В этой зависимости $a$ является аргументом, а $V$ — функцией. Возьмём два произвольных значения для аргумента $a$ и вычислим для них значения $V$.

1. Пусть длина ребра $a = 3$ см.
   Тогда объём куба $V$ будет равен:
   $V = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ см³.

2. Пусть длина ребра $a = 10$ см.
   Тогда объём куба $V$ будет равен:
   $V = 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ см³.

Ответ: Например, при $a = 3$ см, значение функции $V = 27$ см³; при $a = 10$ см, значение функции $V = 1000$ см³.

261. По озеру плавала яхта. Расстояние $s$ (в километрах), на которое удалялась яхта от базы, менялось с течением времени движения $t$ (в минутах). Изменение $s$ в зависимости от $t$ показано на рисунке 9. На каком расстоянии от базы находилась яхта через 20 мин? через 1 ч 20 мин? через 2 ч 30 мин? Какова область определения рассматриваемой функции?

Рис. 9

В задаче представлен график зависимости расстояния $s$ (в километрах), на которое удалялась яхта от базы, от времени движения $t$ (в минутах). Необходимо ответить на несколько вопросов, используя данные с этого графика.

На каком расстоянии от базы находилась яхта через 20 мин?

Чтобы найти расстояние через 20 минут, нужно найти на оси времени $t$ (горизонтальная ось) значение 20. Затем, подняться от этой точки вертикально до пересечения с графиком. От точки на графике провести горизонтальную линию к оси расстояния $s$ (вертикальная ось) и определить значение. Для $t = 20$ мин соответствующее значение $s$ равно 4 км.

Ответ: 4 км.

через 1 ч 20 мин?

Сначала необходимо перевести время в минуты, так как ось $t$ на графике размечена в минутах.

$1$ ч $20$ мин $= 60$ мин $+ 20$ мин $= 80$ мин.

Теперь находим на оси времени $t$ значение 80. Поднимаемся от этой точки до графика и определяем соответствующее значение на оси расстояния $s$. Для $t = 80$ мин значение $s$ равно 10 км.

Ответ: 10 км.

через 2 ч 30 мин?

Аналогично предыдущему пункту, переведем время в минуты.

$2$ ч $30$ мин $= 2 \cdot 60$ мин $+ 30$ мин $= 120$ мин $+ 30$ мин $= 150$ мин.

Находим на оси времени $t$ значение 150. В этой точке график пересекает ось времени, что означает, что расстояние $s$ равно 0. Это значит, что яхта вернулась к базе.

Ответ: 0 км.

Какова область определения рассматриваемой функции?

Область определения функции — это множество всех значений независимой переменной (аргумента), при которых функция имеет смысл. В данном случае, аргументом является время $t$. По графику видно, что движение яхты отслеживается с момента времени $t=0$ до момента времени $t=150$ минут. Таким образом, область определения функции $s(t)$ — это все значения $t$ от 0 до 150 включительно.

Ответ: Область определения функции — отрезок $[0; 150]$, или $0 \le t \le 150$.

262. На рисунке 10 показано изменение высоты сосны $y$ (в метрах) в зависимости от её возраста $x$ (в годах). Найдите:

а) высоту сосны в возрасте 10; 40; 90; 120 лет;

б) на сколько выросла сосна за промежуток времени от 20 до 60 лет; от 60 до 100 лет.

Рис. 10

а) Чтобы найти высоту сосны $y$ в определенном возрасте $x$, необходимо определить по графику значение функции $y(x)$ для заданных значений аргумента $x$. Горизонтальная ось $x$ представляет возраст в годах, а вертикальная ось $y$ — высоту в метрах. Из графика видно, что масштаб по оси $x$ (возраст) — 20 лет на 2 клетки (или 10 лет на клетку), а по оси $y$ (высота) — 10 метров на 2 клетки (или 5 метров на клетку).

1. Высота в 10 лет. Находим на оси $x$ значение 10. Проводим вертикальную линию до пересечения с графиком и от этой точки — горизонтальную линию до оси $y$. Пересечение происходит на отметке 5. Следовательно, высота сосны в 10 лет составляет $y(10) = 5$ м.

2. Высота в 40 лет. Аналогично, для $x=40$ лет находим соответствующее значение на оси $y$. Точка на графике соответствует отметке 20. Следовательно, высота сосны в 40 лет составляет $y(40) = 20$ м.

3. Высота в 90 лет. Находим на оси $x$ значение 90 (точка посередине между 80 и 100). Соответствующая точка на графике находится немного ниже отметки 30 м. Визуально можно оценить это значение как 29 м. Таким образом, $y(90) \approx 29$ м.

4. Высота в 120 лет. Находим на оси $x$ значение 120. Соответствующая точка на графике находится немного выше отметки 30 м. Визуально можно оценить это значение как 31,5 м. Таким образом, $y(120) \approx 31,5$ м.

Ответ: высота сосны в возрасте 10 лет – 5 м; 40 лет – 20 м; 90 лет – примерно 29 м; 120 лет – примерно 31,5 м.

б) Чтобы найти, на сколько выросла сосна за определенный промежуток времени, нужно найти разность между ее высотой в конце и в начале этого промежутка. Прирост высоты $\Delta y$ за время от $x_1$ до $x_2$ вычисляется по формуле $\Delta y = y(x_2) - y(x_1)$.

Прирост за промежуток времени от 20 до 60 лет.

Сначала определим высоту сосны в 20 и 60 лет по графику:

- Высота в 20 лет: $y(20) = 12,5$ м (точка на графике находится на полпути между 10 и 15).

- Высота в 60 лет: $y(60) = 25$ м.

Теперь вычислим прирост: $\Delta y = y(60) - y(20) = 25 \text{ м} - 12,5 \text{ м} = 12,5$ м.

Прирост за промежуток времени от 60 до 100 лет.

Определим высоту сосны в 60 и 100 лет по графику:

- Высота в 60 лет: $y(60) = 25$ м.

- Высота в 100 лет: $y(100) = 30$ м.

Вычислим прирост: $\Delta y = y(100) - y(60) = 30 \text{ м} - 25 \text{ м} = 5$ м.

Ответ: за промежуток времени от 20 до 60 лет сосна выросла на 12,5 м; за промежуток от 60 до 100 лет – на 5 м.