Страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

280. Для сельской библиотеки ученики шестых и седьмых классов собрали 315 книг. Сколько книг собрали семиклассники, если известно, что они собрали на $10\%$ книг больше, чем шестиклассники?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество книг, собранных учениками шестых классов.

Согласно условию, ученики седьмых классов собрали на 10% книг больше. Чтобы найти 10% от числа $x$, нужно умножить $x$ на 0,1. Таким образом, семиклассники собрали на $0,1x$ книг больше.

Количество книг, собранных семиклассниками, составляет: $x + 0,1x = 1,1x$.

Общее количество книг, собранных учениками шестых и седьмых классов, равно 315. Мы можем составить уравнение, сложив количество книг, собранных каждой группой:

$x$ (шестиклассники) + $1,1x$ (семиклассники) = 315

Решим полученное уравнение:

$2,1x = 315$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2,1:

$x = \frac{315}{2,1}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 10:

$x = \frac{3150}{21}$

$x = 150$

Таким образом, ученики шестых классов собрали 150 книг.

Теперь найдем, сколько книг собрали семиклассники. Для этого подставим найденное значение $x$ в выражение для количества их книг ($1,1x$):

$1,1 \times 150 = 165$

Также можно было вычесть книги шестиклассников из общего числа:

$315 - 150 = 165$

Оба способа дают одинаковый результат. Семиклассники собрали 165 книг.

Проверка: $150 + 165 = 315$. 10% от 150 это 15. $150 + 15 = 165$. Условия задачи выполнены.

Ответ: семиклассники собрали 165 книг.

277. Двигаясь со скоростью $v$ км/ч в течение 6 ч, автомобиль прошёл путь $s$ км. Задайте формулой зависимость $s$ от $v$. Пользуясь этой формулой:

Для того чтобы задать формулой зависимость пути $s$ от скорости $v$, используется основная формула движения: путь равен произведению скорости на время. В виде формулы это записывается как $s = v \cdot t$.

По условию задачи, автомобиль двигался в течение 6 часов, то есть время $t = 6$ ч. Подставим это значение в общую формулу, чтобы получить зависимость $s$ от $v$:

$s = v \cdot 6$

Или, в более привычном виде:

$s = 6v$

Теперь воспользуемся этой формулой для решения подпунктов.

а) Найдём $s$, если $v = 65$.

Подставим значение скорости $v = 65$ км/ч в выведенную формулу:

$s = 6 \cdot 65$

$s = 390$

Таким образом, автомобиль прошёл путь в 390 км.

Ответ: 390 км.

б) Найдём $v$, если $s = 363$.

Подставим значение пути $s = 363$ км в ту же формулу $s = 6v$:

$363 = 6v$

Чтобы найти скорость $v$, необходимо разделить обе части уравнения на 6:

$v = \frac{363}{6}$

$v = 60,5$

Таким образом, скорость автомобиля составляла 60,5 км/ч.

Ответ: 60,5 км/ч.

281. Отметьте в координатной плоскости точки $M(0; -4)$ и $N(6; 2)$ и соедините их отрезком. Найдите координаты точки пересечения этого отрезка с осью $x$.

Для того чтобы найти координаты точки пересечения отрезка $MN$ с осью $x$, сначала необходимо найти уравнение прямой, проходящей через точки $M(0; -4)$ и $N(6; 2)$.

Уравнение прямой в общем виде выглядит так: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$ (y-перехват).

1. Найдём коэффициент b.
Так как точка $M(0; -4)$ принадлежит прямой, её координаты удовлетворяют уравнению. Подставим $x=0$ и $y=-4$ в уравнение прямой:
$-4 = k \cdot 0 + b$
Отсюда следует, что $b = -4$.

2. Найдём угловой коэффициент k.
Теперь уравнение прямой имеет вид $y = kx - 4$. Для нахождения $k$ воспользуемся координатами второй точки $N(6; 2)$, которая также лежит на этой прямой. Подставим $x=6$ и $y=2$:
$2 = k \cdot 6 - 4$
Перенесём $-4$ в левую часть:
$2 + 4 = 6k$
$6 = 6k$
Отсюда $k = \frac{6}{6} = 1$.

Итак, уравнение прямой, содержащей отрезок $MN$, имеет вид: $y = x - 4$.

3. Найдём точку пересечения с осью x.
Ось $x$ (ось абсцисс) — это прямая, на которой все точки имеют ординату (координату $y$), равную нулю. Чтобы найти точку пересечения, нужно подставить $y=0$ в уравнение нашей прямой:
$0 = x - 4$
Решив это простое уравнение, получаем:
$x = 4$

Следовательно, точка пересечения отрезка $MN$ с осью $x$ имеет координаты $(4; 0)$.

Ответ: $(4; 0)$

278. С турбазы на станцию, удалённую на расстояние 60 км, отправился велосипедист со скоростью 12 км/ч. Задайте формулой зависимость переменной $s$ от переменной $t$, где $s$ — расстояние велосипедиста до станции (в километрах), а $t$ — время его движения (в часах). Найдите по формуле:

a) $s$, если $t = 3,5$;

б) $t$, если $s = 30$.

Сначала выведем формулу, которая описывает зависимость расстояния до станции $s$ от времени движения $t$.

Известно, что:

• Общее расстояние от турбазы до станции: 60 км.
• Скорость велосипедиста $v$: 12 км/ч.
• Время в пути: $t$ часов.
• Расстояние, которое велосипедист проехал за время $t$, вычисляется как $v \cdot t$, то есть $12t$ км.
• $s$ — это оставшееся расстояние до станции.

Чтобы найти оставшееся расстояние $s$, нужно из общего расстояния вычесть то расстояние, которое велосипедист уже преодолел. Таким образом, формула зависимости имеет вид:

$s = 60 - 12t$

Теперь воспользуемся этой формулой для решения подпунктов задачи.

а) s, если t = 3,5

Подставим значение времени $t = 3,5$ в полученную формулу:

$s = 60 - 12 \cdot 3,5$

Выполним вычисление:

$s = 60 - 42$

$s = 18$

Таким образом, через 3,5 часа велосипедисту останется проехать 18 км до станции.

Ответ: $s=18$ км.

б) t, если s = 30

Подставим значение расстояния $s = 30$ в формулу:

$30 = 60 - 12t$

Решим это уравнение относительно $t$. Перенесем слагаемое с $t$ в левую часть, а число 30 — в правую:

$12t = 60 - 30$

$12t = 30$

Теперь найдем $t$, разделив обе части на 12:

$t = \frac{30}{12}$

Сократим дробь на 6:

$t = \frac{5}{2} = 2,5$

Таким образом, велосипедист будет на расстоянии 30 км от станции через 2,5 часа после начала движения.

Ответ: $t=2,5$ ч.

282. Отметьте в координатной плоскости точки $A(-2; -3)$ и $B(4; 5)$ и соедините их отрезком. Найдите координаты середины отрезка $AB$.

Для решения задачи необходимо найти координаты середины отрезка AB. Пусть концы отрезка заданы точками A$(x_A; y_A)$ и B$(x_B; y_B)$. Координаты середины отрезка, назовем ее C$(x_C; y_C)$, находятся по следующим формулам:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

По условию задачи даны координаты точек: A(-2; -3) и B(4; 5).

Подставим эти значения в формулы для нахождения координат середины отрезка.

Сначала вычислим абсциссу (координату x) середины:
$x_C = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Затем вычислим ординату (координату y) середины:
$y_C = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (1; 1). Первая часть задания, касающаяся построения точек и отрезка в координатной плоскости, является графической иллюстрацией и не влияет на вычисление.

Ответ: (1; 1).

279. У мальчика было 80 р. Он купил $x$ карандашей по 10 р. за штуку. Обозначив число рублей, оставшихся у мальчика, буквой $y$, задайте формулой зависимость $y$ от $x$. Какова область определения этой функции?

Для того чтобы задать формулу зависимости, проанализируем условие задачи.

Пусть $x$ — это количество купленных карандашей.
Цена одного карандаша — 10 рублей.
Тогда общая стоимость покупки составляет $10 \cdot x$ рублей.

Изначально у мальчика было 80 рублей.
Пусть $y$ — это количество рублей, оставшихся у мальчика после покупки. Чтобы найти $y$, нужно из начальной суммы вычесть стоимость всех карандашей.
Таким образом, формула зависимости $y$ от $x$ выглядит следующим образом:
$y = 80 - 10x$

Теперь найдем область определения этой функции. Область определения — это множество всех допустимых значений переменной $x$ (в данном случае — количества карандашей).

На переменную $x$ накладываются следующие естественные ограничения:
1. Количество карандашей $x$ не может быть отрицательным числом, то есть $x \ge 0$.
2. По смыслу задачи, $x$ может быть только целым числом, так как нельзя купить часть карандаша.
3. Сумма, потраченная на карандаши ($10x$), не может превышать количество денег, которое было у мальчика (80 рублей). Это также означает, что остаток $y$ не может быть отрицательным: $y \ge 0$.

Используем последнее ограничение и нашу формулу:
$80 - 10x \ge 0$

Решим это неравенство:
$80 \ge 10x$
Разделим обе части на 10:
$8 \ge x$, или $x \le 8$.

Итак, мы получили, что $x$ должен быть целым числом, удовлетворяющим двум условиям: $x \ge 0$ и $x \le 8$. Объединив их, получаем $0 \le x \le 8$.
Следовательно, допустимые значения для $x$ — это целые числа от 0 до 8 включительно.

Ответ: Формула зависимости: $y = 80 - 10x$. Область определения этой функции — множество целых чисел $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.