Страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

296. Верно ли, что:

а) $6\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1\frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 6 > 0;$

б) $(5\frac{1}{6} - 5\frac{1}{12}) \cdot 12 - 6\frac{1}{3} : 3 > 0;$

в) $7 + 2424 : (11,8 + 0,2) + 2,3 < 200;$

г) $(3,08 - 2,16) : 8 - 0,17 \cdot 3 < 0?$

а) $6\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1\frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 6 > 0$

Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала умножение, затем сложение и вычитание слева направо).
1) Сначала выполним умножение. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.
$\frac{1}{3} \cdot 1\frac{3}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{4} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 4} = \frac{7}{12}$.
2) Теперь подставим результат в исходное выражение: $6\frac{2}{3} - \frac{7}{12} + \frac{1}{4} - 6$.
Сгруппируем целые и дробные части: $(6 - 6) + (\frac{2}{3} - \frac{7}{12} + \frac{1}{4})$.
$6 - 6 = 0$.
3) Вычислим сумму и разность дробей, приведя их к общему знаменателю 12:
$\frac{2}{3} - \frac{7}{12} + \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{7}{12} + \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{8}{12} - \frac{7}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8 - 7 + 3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
4) Сравним полученный результат с нулем: $\frac{1}{3} > 0$.
Неравенство верно.
Ответ: верно.

б) $(5\frac{1}{6} - 5\frac{1}{12}) \cdot 12 - 6\frac{1}{3} : 3 > 0$

Решим по действиям: сначала действие в скобках, затем умножение и деление, и в конце вычитание.
1) Вычислим значение в скобках: $5\frac{1}{6} - 5\frac{1}{12}$. Приведем дробные части к общему знаменателю 12.
$5\frac{2}{12} - 5\frac{1}{12} = (5-5) + (\frac{2}{12} - \frac{1}{12}) = 0 + \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$.
2) Выполним умножение: $\frac{1}{12} \cdot 12 = 1$.
3) Выполним деление. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $6\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{19}{3}$.
$6\frac{1}{3} : 3 = \frac{19}{3} : \frac{3}{1} = \frac{19}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{19}{9}$.
4) Выполним вычитание: $1 - \frac{19}{9} = \frac{9}{9} - \frac{19}{9} = \frac{9 - 19}{9} = -\frac{10}{9}$.
5) Сравним полученный результат с нулем: $-\frac{10}{9} > 0$.
Это неверно, так как отрицательное число меньше нуля.
Ответ: неверно.

в) $7 + 2424 : (11,8 + 0,2) + 2,3 < 200$

Решим по действиям: сначала действие в скобках, затем деление, затем сложение.
1) Вычислим значение в скобках: $11,8 + 0,2 = 12$.
2) Выполним деление: $2424 : 12 = 202$.
3) Выполним сложение: $7 + 202 + 2,3 = 209 + 2,3 = 211,3$.
4) Сравним полученный результат с 200: $211,3 < 200$.
Это неверно, так как 211,3 больше 200.
Ответ: неверно.

г) $(3,08 - 2,16) : 8 - 0,17 \cdot 3 < 0$

Решим по действиям: сначала действие в скобках, затем деление и умножение, в конце вычитание.
1) Вычислим значение в скобках: $3,08 - 2,16 = 0,92$.
2) Выполним деление: $0,92 : 8 = 0,115$.
3) Выполним умножение: $0,17 \cdot 3 = 0,51$.
4) Выполним вычитание: $0,115 - 0,51 = -0,395$.
5) Сравним полученный результат с нулем: $-0,395 < 0$.
Неравенство верно, так как отрицательное число меньше нуля.
Ответ: верно.

295. В автопарке было в 1,5 раза больше грузовых машин, чем легковых. После того как автопарк получил ещё 45 легковых автомашин, а 12 грузовых машин передал фермерам, в нём стало легковых машин на 17 больше, чем грузовых. Сколько всего автомашин было в автопарке?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество легковых машин в автопарке.

Исходя из условия, грузовых машин было в 1,5 раза больше, значит, их количество составляло $1.5x$.

После того как автопарк получил 45 легковых автомашин, их стало $x + 45$.

После того как 12 грузовых машин передали фермерам, их количество в автопарке уменьшилось и стало $1.5x - 12$.

В итоге, по условию, количество легковых машин стало на 17 больше, чем грузовых. На основе этих данных мы можем составить уравнение:

Количество легковых машин = Количество грузовых машин + 17

$x + 45 = (1.5x - 12) + 17$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала упростим правую часть:

$x + 45 = 1.5x + 5$

Далее перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$45 - 5 = 1.5x - x$

$40 = 0.5x$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 0.5:

$x = \frac{40}{0.5}$

$x = 80$

Таким образом, первоначально в автопарке было 80 легковых машин.

Теперь найдем первоначальное количество грузовых машин:

$1.5x = 1.5 \cdot 80 = 120$

Итак, грузовых машин было 120.

Основной вопрос задачи — сколько всего автомашин было в автопарке первоначально. Для этого нужно сложить количество легковых и грузовых машин:

Всего машин = $80 + 120 = 200$

Ответ: 200 автомашин.

Покажите, как с помощью графика функции можно найти:

а) значение функции, соответствующее заданному значению аргумента;

б) значения аргумента, которым соответствует данное значение функции. Используйте для этого график функции, изображённый на рисунке 15.

Поскольку в вопросе содержится ссылка на рисунок 15, который не предоставлен, объяснение будет дано в общем виде с гипотетическими примерами.

а) значение функции, соответствующее заданному значению аргумента

Чтобы найти значение функции (значение $y$) для заданного значения аргумента (значения $x$), необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Найти на горизонтальной оси, оси абсцисс ($Ox$), точку, соответствующую заданному значению аргумента. Пусть это значение равно $x_0$.

2. Провести через эту точку вертикальную прямую (перпендикуляр к оси $Ox$) до пересечения с графиком функции.

3. Из полученной точки пересечения на графике провести горизонтальную прямую (перпендикуляр к оси $Oy$) до пересечения с вертикальной осью, осью ординат ($Oy$).

4. Точка пересечения этой горизонтальной прямой с осью $Oy$ и даст искомое значение функции. Если эта точка на оси $Oy$ имеет координату $y_0$, то это и есть значение функции при $x=x_0$, то есть $f(x_0) = y_0$.

Например, если нам нужно найти значение функции при $x = 4$, мы находим число 4 на оси $Ox$. Затем мысленно или с помощью линейки проводим вертикальную линию до графика, а от точки пересечения с графиком — горизонтальную линию до оси $Oy$. Если эта линия пересекает ось $Oy$ в точке 2, то значение функции при $x=4$ равно 2.

Ответ: Чтобы найти значение функции по заданному значению аргумента $x_0$, нужно найти на оси $Ox$ эту точку, от нее провести вертикальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения с графиком — горизонтальную линию до оси $Oy$. Точка пересечения с осью $Oy$ и будет искомым значением функции.

б) значения аргумента, которым соответствует данное значение функции

Чтобы найти значения аргумента (значения $x$), которым соответствует заданное значение функции (значение $y$), необходимо выполнить обратную последовательность действий:

1. Найти на вертикальной оси, оси ординат ($Oy$), точку, соответствующую заданному значению функции. Пусть это значение равно $y_0$.

2. Провести через эту точку горизонтальную прямую. Эта прямая может пересечь график функции в одной, нескольких точках или не пересечь вовсе.

3. Для каждой точки пересечения горизонтальной прямой с графиком функции найти ее абсциссу.

4. Для этого из каждой точки пересечения нужно опустить вертикальную прямую (перпендикуляр) на ось абсцисс ($Ox$).

5. Значения на оси $Ox$, в которые попали эти перпендикуляры, и являются искомыми значениями аргумента. Если перпендикуляры попали в точки $x_1, x_2, \ldots$, то это и есть аргументы, для которых значение функции равно $y_0$.

Например, если нам нужно найти значения аргумента, при которых значение функции равно 3, мы находим число 3 на оси $Oy$. Проводим горизонтальную прямую $y=3$ и смотрим, где она пересекает график. Допустим, она пересекла график в двух точках. Из этих двух точек опускаем перпендикуляры на ось $Ox$ и видим, что они попадают в точки -1 и 5. Это означает, что $f(-1) = 3$ и $f(5) = 3$.

Ответ: Чтобы найти значения аргумента по заданному значению функции $y_0$, нужно найти на оси $Oy$ эту точку, провести через нее горизонтальную линию до пересечения с графиком, а из каждой точки пересечения опустить перпендикуляр на ось $Ox$. Значения, в которые попали перпендикуляры на оси $Ox$, и являются искомыми значениями аргумента.

1 Приведите пример функциональной зависимости одной переменной от другой. Укажите независимую и зависимую переменные.

Функциональная зависимость — это правило, по которому каждому значению одной переменной, называемой независимой переменной (или аргументом), ставится в соответствие единственное значение другой переменной, называемой зависимой переменной (или функцией).

Рассмотрим в качестве примера зависимость площади квадрата от длины его стороны. Обозначим длину стороны квадрата переменной $a$, а его площадь — переменной $S$. Тогда зависимость площади от стороны можно выразить следующей формулой: $S = a^2$

Эта формула задает функциональную зависимость, так как для любого (положительного) значения длины стороны $a$, которое мы выберем, мы можем вычислить одно-единственное соответствующее ему значение площади $S$.

В этом примере:

Независимая переменная (аргумент) — это длина стороны квадрата $a$. Мы можем самостоятельно выбирать значение этой переменной (например, $a=2$ см, $a=5$ м, $a=10.5$ км).

Зависимая переменная (функция) — это площадь квадрата $S$. Ее значение не является произвольным, а полностью определяется значением, которое было выбрано для стороны $a$. Например, если $a = 5$ см, то значение $S$ однозначно равно $S = 5^2 = 25$ см$^2$.

Ответ: Примером функциональной зависимости является зависимость площади квадрата $S$ от длины его стороны $a$, которая задается формулой $S = a^2$. В этой зависимости $a$ — независимая переменная, а $S$ — зависимая переменная.

2 Объясните на примере функции, заданной формулой $y = 6x + 12$:

а) как по значению аргумента найти соответствующее значение функции;

б) как найти значения аргумента, которым соответствует указанное значение функции.

а) как по значению аргумента найти соответствующее значение функции
В функции, заданной формулой $y = 6x + 12$, переменная $x$ является аргументом (независимой переменной), а $y$ — значением функции (зависимой переменной). Чтобы найти значение функции, соответствующее заданному значению аргумента, необходимо подставить это значение $x$ в формулу и выполнить вычисления.
Например, найдем значение функции, если значение аргумента $x = 2$.
Подставляем $x = 2$ в формулу функции:
$y = 6 \cdot 2 + 12$
$y = 12 + 12$
$y = 24$
Следовательно, значению аргумента $x=2$ соответствует значение функции $y=24$.
Ответ: Чтобы найти значение функции по известному значению аргумента, нужно подставить значение аргумента ($x$) в формулу $y = 6x + 12$ и вычислить соответствующее значение $y$.

б) как найти значения аргумента, которым соответствует указанное значение функции
Чтобы найти значение аргумента, которому соответствует указанное значение функции, необходимо подставить это значение $y$ в формулу и решить полученное уравнение относительно $x$.
Например, найдем значение аргумента, если значение функции $y = 30$.
Подставляем $y = 30$ в формулу функции:
$30 = 6x + 12$
Теперь решим это линейное уравнение, чтобы найти $x$. Перенесем 12 в левую часть уравнения с противоположным знаком:
$30 - 12 = 6x$
$18 = 6x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:
$x = \frac{18}{6}$
$x = 3$
Следовательно, значение функции $y=30$ соответствует значению аргумента $x=3$.
Ответ: Чтобы найти значение аргумента по известному значению функции, нужно подставить значение функции ($y$) в формулу $y = 6x + 12$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

3. Что называется графиком функции?

Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы (координаты по оси $x$) которых равны значениям аргумента, а ординаты (координаты по оси $y$) — соответствующим значениям функции.

Проще говоря, для построения графика функции мы берем каждое возможное значение аргумента $x$ из её области определения. Для каждого такого $x$ мы вычисляем значение функции $y$ по формуле $y = f(x)$. Каждая полученная пара чисел $(x; y)$ является координатами одной точки в системе координат. Множество всех таких точек и есть график функции.

Таким образом, любая точка, лежащая на графике функции, имеет координаты $(x; f(x))$. И наоборот, если точка с координатами $(a; b)$ принадлежит графику функции $f$, то это означает, что $b = f(a)$.

Геометрически график — это линия (прямая, кривая) или совокупность точек, которая наглядно показывает, как меняется значение функции при изменении её аргумента.

Ответ: Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.