Страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

284. Принадлежат ли точки $A(4; 2)$, $B(1; -4)$ и $C(1; 4)$ графику функции, заданной формулой $y = 2x - 6$? Укажите две точки, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет.

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты этой точки $(x; y)$ в уравнение функции $y = 2x - 6$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Проверка принадлежности точек A(4; 2), B(1; –4) и C(1; 4)

• Проверим точку A(4; 2). Здесь $x = 4$, $y = 2$.

  Подставляем в формулу: $2 = 2 \cdot 4 - 6$.

  Вычисляем правую часть: $2 \cdot 4 - 6 = 8 - 6 = 2$.

  Получаем верное равенство: $2 = 2$. Следовательно, точка A принадлежит графику функции.

• Проверим точку B(1; –4). Здесь $x = 1$, $y = -4$.

  Подставляем в формулу: $-4 = 2 \cdot 1 - 6$.

  Вычисляем правую часть: $2 \cdot 1 - 6 = 2 - 6 = -4$.

  Получаем верное равенство: $-4 = -4$. Следовательно, точка B принадлежит графику функции.

• Проверим точку C(1; 4). Здесь $x = 1$, $y = 4$.

  Подставляем в формулу: $4 = 2 \cdot 1 - 6$.

  Вычисляем правую часть: $2 \cdot 1 - 6 = 2 - 6 = -4$.

  Получаем неверное равенство: $4 \neq -4$. Следовательно, точка C не принадлежит графику функции.

Ответ: Точки A(4; 2) и B(1; –4) принадлежат графику функции $y = 2x - 6$, а точка C(1; 4) не принадлежит.

Укажите две точки, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет

1. Точка, принадлежащая графику:

Возьмем произвольное значение $x$, например, $x = 0$, и найдем соответствующее значение $y$ по формуле $y = 2x - 6$.

$y = 2 \cdot 0 - 6 = 0 - 6 = -6$.

Таким образом, точка D(0; –6) принадлежит графику функции.

2. Точка, не принадлежащая графику:

Возьмем произвольную точку, например, F(3; 1), и проверим ее.

Подставляем в формулу: $1 = 2 \cdot 3 - 6$.

Вычисляем правую часть: $2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0$.

Получаем неверное равенство: $1 \neq 0$. Следовательно, точка F(3; 1) не принадлежит графику функции.

Ответ: Например, точка D(0; –6) принадлежит графику, а точка F(3; 1) не принадлежит.

285. Кривая $MN$ — график некоторой функции (рис. 15). Найдите по графику значение функции, соответствующее значению аргумента -2; -1; 0; 1; 5.

Рис. 15

Для нахождения значения функции по ее графику для заданного значения аргумента $x$, необходимо найти на оси абсцисс (горизонтальная ось $x$) это значение, затем найти соответствующую ему точку на графике и определить ее ординату (значение по вертикальной оси $y$).

Для аргумента, равного -2:

Находим на оси $x$ точку со значением $-2$. Поднимаемся от нее по вертикали до пересечения с графиком функции. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси $y$. Эта линия указывает на значение $1$. Таким образом, при $x = -2$, значение функции $y = 1$.

Ответ: 1.

Для аргумента, равного -1:

Находим на оси $x$ точку со значением $-1$. График функции проходит через эту точку на оси $x$. Это означает, что значение функции в этой точке равно нулю. Таким образом, при $x = -1$, значение функции $y = 0$.

Ответ: 0.

Для аргумента, равного 0:

Находим на оси $x$ точку со значением $0$ (начало координат). График функции пересекает ось $y$ в точке, где $y = -1$. Таким образом, при $x = 0$, значение функции $y = -1$.

Ответ: -1.

Для аргумента, равного 1:

Находим на оси $x$ точку со значением $1$. График функции проходит через эту точку на оси $x$. Это означает, что значение функции в этой точке равно нулю. Таким образом, при $x = 1$, значение функции $y = 0$.

Ответ: 0.

Для аргумента, равного 5:

Находим на оси $x$ точку со значением $5$. Поднимаемся от нее по вертикали до пересечения с графиком функции. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси $y$. Эта линия указывает на значение $2$. Таким образом, при $x = 5$, значение функции $y = 2$.

Ответ: 2.

286. Используя график функции (рис. 16), заполните таблицу:

$x$: -3, -1,5, -0,5, 0, 0,5, 3,2

$y$:

Укажите пять значений аргумента, которым соответствуют положительные значения функции, и пять значений аргумента, которым соответствуют отрицательные значения функции.

Рис. 16

Заполнение таблицы по графику функции

Чтобы заполнить таблицу, для каждого заданного значения аргумента $x$ мы находим соответствующую ему точку на графике и определяем ее ординату, то есть значение функции $y$.

• При $x = -3$: находим на горизонтальной оси (оси абсцисс) значение -3, опускаем перпендикуляр до графика и видим, что точка на графике соответствует значению $y = -2$.
• При $x = -1,5$: точка на графике лежит на оси абсцисс, следовательно, $y = 0$.
• При $x = -0,5$: находим на оси абсцисс значение -0,5, поднимаем перпендикуляр до графика. Соответствующее значение на оси ординат $y = 1$.
• При $x = 0$: график пересекает ось ординат в точке, где $y = 1,5$.
• При $x = 0,5$: функция достигает своего максимального значения. В этой точке $y = 2$.
• При $x = 3,2$: находим значение 3,2 на оси абсцисс (немного правее 3), опускаем перпендикуляр до графика. Значение ординаты в этой точке приблизительно равно $y \approx -1,1$.

Ответ: Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Значения аргумента для положительных и отрицательных значений функции

Необходимо найти пять значений аргумента ($x$), при которых функция ($y$) принимает положительные значения ($y > 0$), и пять значений, при которых она принимает отрицательные значения ($y < 0$).

1. Пять значений аргумента, которым соответствуют положительные значения функции.
Функция положительна ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс ($Ox$). По графику видно, что это происходит на интервале примерно от $x = -1,5$ до $x \approx 2,2$. Мы можем выбрать любые пять значений $x$ из этого интервала.
Например: $x = -1$; $x = 0$; $x = 0,5$; $x = 1$; $x = 2$.

2. Пять значений аргумента, которым соответствуют отрицательные значения функции.
Функция отрицательна ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси абсцисс ($Ox$). По графику видно, что это происходит на двух интервалах: левее точки $x = -1,5$ и на интервале примерно от $x \approx 2,2$ до $x \approx 4,8$. Мы можем выбрать любые пять значений $x$ из этих областей.
Например: $x = -3$; $x = -2$; $x = 3$; $x = 3,5$; $x = 4$.

Ответ: Пять значений аргумента, при которых функция положительна (например): -1; 0; 0,5; 1; 2. Пять значений аргумента, при которых функция отрицательна (например): -3; -2; 3; 3,5; 4.

283. Функция задана формулой $y = x(x - 3)$, где $-2 \le x \le 2$. Заполните таблицу и постройте график этой функции.

Заполните таблицу

Чтобы заполнить таблицу, нужно для каждого значения $x$ из верхней строки вычислить соответствующее значение $y$, подставив $x$ в формулу функции $y = x(x - 3)$. Для удобства вычислений можно раскрыть скобки: $y = x^2 - 3x$.

• При $x = -2$:
  $y = (-2) \cdot (-2 - 3) = (-2) \cdot (-5) = 10$
• При $x = -1,5$:
  $y = (-1,5) \cdot (-1,5 - 3) = (-1,5) \cdot (-4,5) = 6,75$
• При $x = -1$:
  $y = (-1) \cdot (-1 - 3) = (-1) \cdot (-4) = 4$
• При $x = -0,5$:
  $y = (-0,5) \cdot (-0,5 - 3) = (-0,5) \cdot (-3,5) = 1,75$
• При $x = 0$:
  $y = 0 \cdot (0 - 3) = 0$
• При $x = 0,5$:
  $y = 0,5 \cdot (0,5 - 3) = 0,5 \cdot (-2,5) = -1,25$
• При $x = 1$:
  $y = 1 \cdot (1 - 3) = 1 \cdot (-2) = -2$
• При $x = 1,5$:
  $y = 1,5 \cdot (1,5 - 3) = 1,5 \cdot (-1,5) = -2,25$
• При $x = 2$:
  $y = 2 \cdot (2 - 3) = 2 \cdot (-1) = -2$

Ответ: Заполненная таблица:

Постройте график этой функции

Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Для построения графика используем точки из таблицы.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$ и $b=-3$.

$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ордината вершины:

$y_0 = 1,5 \cdot (1,5 - 3) = 1,5 \cdot (-1,5) = -2,25$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке (1,5; -2,25).

Поскольку функция задана на отрезке $-2 \le x \le 2$, мы строим не всю параболу, а только её часть (дугу) между точками $x = -2$ и $x = 2$. Соединим точки из таблицы плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x(x-3)$ на отрезке $[-2; 2]$: