Страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

264. В таблице, составленной в результате измерений, показана зависимость атмосферного давления $p$ (в миллиметрах ртутного столба) от высоты $h$ (в километрах):

h, км: 0, 0,5, 1, 2, 3, 4, 5

p, мм рт. ст.: 760,0, 716,0, 614,0, 596,7, 525,7, 462,2, 404,8

Каково атмосферное давление на высоте 1 км? 4 км?

На какой высоте атмосферное давление равно 596,7 мм рт. ст.? 404,8 мм рт. ст.?

Для решения задачи воспользуемся данными из предоставленной таблицы, которая устанавливает зависимость между высотой $h$ в километрах и атмосферным давлением $p$ в миллиметрах ртутного столба.

Каково атмосферное давление на высоте 1 км? 4 км?

Чтобы определить давление на заданной высоте, необходимо найти в верхней строке таблицы ($h$, км) указанное значение высоты и посмотреть, какое значение давления ($p$, мм рт. ст.) ему соответствует в нижней строке.

1. Находим в таблице столбец для высоты $h = 1$ км. В этом столбце значение давления $p$ равно $614,0$ мм рт. ст.

2. Находим в таблице столбец для высоты $h = 4$ км. В этом столбце значение давления $p$ равно $462,2$ мм рт. ст.

Ответ: На высоте 1 км атмосферное давление составляет $614,0$ мм рт. ст., а на высоте 4 км — $462,2$ мм рт. ст.

На какой высоте атмосферное давление равно 596,7 мм рт. ст.? 404,8 мм рт. ст.?

Чтобы определить высоту по заданному давлению, необходимо найти в нижней строке таблицы ($p$, мм рт. ст.) указанное значение давления и посмотреть, какое значение высоты ($h$, км) ему соответствует в верхней строке.

1. Находим в таблице значение давления $p = 596,7$ мм рт. ст. Этому значению соответствует высота $h = 2$ км.

2. Находим в таблице значение давления $p = 404,8$ мм рт. ст. Этому значению соответствует высота $h = 5$ км.

Ответ: Давление $596,7$ мм рт. ст. наблюдается на высоте $2$ км, а давление $404,8$ мм рт. ст. — на высоте $5$ км.

265. В одном резервуаре $380 \text{ м}^3$ воды, а в другом $1500 \text{ м}^3$. В первый резервуар каждый час поступает $80 \text{ м}^3$ воды, а из второго каждый час выкачивают $60 \text{ м}^3$. Через сколько часов воды в резервуарах станет поровну?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $t$ — это количество часов, через которое объем воды в резервуарах станет одинаковым.

Объем воды в первом резервуаре через $t$ часов можно выразить формулой. Начальный объем составляет 380 м³, и каждый час в него добавляется 80 м³. Таким образом, объем будет равен:
$V_1(t) = 380 + 80t$ (м³)

Объем воды во втором резервуаре через $t$ часов также можно выразить формулой. Начальный объем — 1500 м³, и каждый час из него выкачивают 60 м³. Значит, объем составит:
$V_2(t) = 1500 - 60t$ (м³)

Нам необходимо найти время $t$, когда объемы воды станут равными, то есть когда $V_1(t) = V_2(t)$. Приравняем два выражения:
$380 + 80t = 1500 - 60t$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $t$ в левую часть уравнения, а числовые константы — в правую:
$80t + 60t = 1500 - 380$

Упростим обе части уравнения:
$140t = 1120$

Чтобы найти $t$, разделим обе части уравнения на 140:
$t = \frac{1120}{140}$
$t = \frac{112}{14}$
$t = 8$

Таким образом, через 8 часов объем воды в обоих резервуарах станет одинаковым.

Ответ: через 8 часов.

266. Отметьте точки $A(4; -3)$ и $B(-2; 6)$. Проведите прямую $AB$ и найдите координаты точек пересечения этой прямой с осью $x$ и осью $y$.

Для решения задачи сначала необходимо найти уравнение прямой, проходящей через заданные точки A(4; -3) и B(-2; 6). Общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член, который также является ординатой точки пересечения прямой с осью y.

Чтобы найти коэффициенты $k$ и $b$, подставим координаты точек A и B в уравнение прямой. Это даст нам систему из двух линейных уравнений:

Для точки A(4; -3): $-3 = k \cdot 4 + b$

Для точки B(-2; 6): $6 = k \cdot (-2) + b$

Получаем систему:

$\begin{cases} 4k + b = -3 \\ -2k + b = 6 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно вычесть второе уравнение из первого, чтобы исключить $b$:

$(4k + b) - (-2k + b) = -3 - 6$

$4k + 2k = -9$

$6k = -9$

$k = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Теперь, зная $k$, найдем $b$, подставив значение $k$ в любое из уравнений системы. Используем второе уравнение:

$-2(-1.5) + b = 6$

$3 + b = 6$

$b = 3$

Итак, уравнение прямой AB имеет вид: $y = -1.5x + 3$.

Теперь мы можем найти координаты точек пересечения этой прямой с осями координат.

Координаты точки пересечения с осью x

Прямая пересекает ось абсцисс (ось x) в точке, у которой координата $y$ равна нулю. Подставим $y = 0$ в уравнение нашей прямой:

$0 = -1.5x + 3$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:

$1.5x = 3$

Найдем $x$:

$x = \frac{3}{1.5} = 2$

Таким образом, точка пересечения с осью x имеет координаты (2; 0).

Ответ: (2; 0).

Координаты точки пересечения с осью y

Прямая пересекает ось ординат (ось y) в точке, у которой координата $x$ равна нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение прямой:

$y = -1.5 \cdot 0 + 3$

$y = 0 + 3$

$y = 3$

Таким образом, точка пересечения с осью y имеет координаты (0; 3). Стоит отметить, что эта координата совпадает со значением коэффициента $b$ в уравнении прямой.

Ответ: (0; 3).

263. Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие остаток $r$ от деления этого числа на 4. Найдите $r$, если $n$ равно 13, 34, 43, 100. В рассматриваемой функциональной зависимости укажите аргумент. Какова область определения этой функции? Какие числа служат значениями функции?

Найдите r, если n равно 13, 34, 43, 100.

Чтобы найти остаток $r$ от деления натурального числа $n$ на 4, необходимо выполнить операцию деления с остатком. Эта операция для любого целого числа $n$ и натурального делителя $d$ (в нашем случае $d=4$) может быть представлена в виде $n = d \cdot k + r$, где $k$ — неполное частное, а $r$ — остаток, удовлетворяющий условию $0 \le r < d$.

Выполним вычисления для каждого заданного значения $n$:

При $n = 13$:
$13 = 4 \cdot 3 + 1$. Здесь неполное частное $k=3$, а остаток $r=1$.

При $n = 34$:
$34 = 4 \cdot 8 + 2$. Здесь неполное частное $k=8$, а остаток $r=2$.

При $n = 43$:
$43 = 4 \cdot 10 + 3$. Здесь неполное частное $k=10$, а остаток $r=3$.

При $n = 100$:
$100 = 4 \cdot 25 + 0$. Здесь неполное частное $k=25$, а остаток $r=0$.

Ответ: для $n=13$ остаток $r=1$; для $n=34$ остаток $r=2$; для $n=43$ остаток $r=3$; для $n=100$ остаток $r=0$.

В рассматриваемой функциональной зависимости укажите аргумент.

Функциональная зависимость устанавливает правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументам) ставится в соответствие единственный элемент другого множества (значениям функции). В данном случае каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие остаток $r$. Значение остатка $r$ полностью определяется выбором числа $n$. Следовательно, независимой переменной, или аргументом, является натуральное число $n$.

Ответ: аргументом функции является натуральное число $n$.

Какова область определения этой функции?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений ее аргумента. Согласно условию задачи, функция определена для "каждого натурального числа $n$". Множество натуральных чисел, обозначаемое $\mathbb{N}$, включает в себя все целые положительные числа: $1, 2, 3, 4, \dots$

Ответ: область определения этой функции — множество всех натуральных чисел $\mathbb{N}$.

Какие числа служат значениями функции?

Значениями функции (или областью значений) является множество всех возможных результатов, которые может принимать функция. В данном случае это множество всех возможных остатков $r$ от деления натурального числа на 4. По определению деления с остатком, остаток всегда неотрицателен и строго меньше делителя. Таким образом, $0 \le r < 4$. Это означает, что остатками могут быть только целые числа 0, 1, 2 и 3. Можно убедиться, что все эти значения достигаются:

• При делении 4 на 4 остаток равен 0.
• При делении 1 на 4 остаток равен 1.
• При делении 2 на 4 остаток равен 2.
• При делении 3 на 4 остаток равен 3.

Следовательно, множество значений функции состоит из этих четырех чисел.

Ответ: значениями функции служат числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.