Номер 263, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Что такое функция. Параграф 5. Функции и их графики. Глава 2. Функции - номер 263, страница 59.

Условие.

263. Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие остаток $r$ от деления этого числа на 4. Найдите $r$, если $n$ равно 13, 34, 43, 100. В рассматриваемой функциональной зависимости укажите аргумент. Какова область определения этой функции? Какие числа служат значениями функции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Найдите r, если n равно 13, 34, 43, 100.

Чтобы найти остаток $r$ от деления натурального числа $n$ на 4, необходимо выполнить операцию деления с остатком. Эта операция для любого целого числа $n$ и натурального делителя $d$ (в нашем случае $d=4$) может быть представлена в виде $n = d \cdot k + r$, где $k$ — неполное частное, а $r$ — остаток, удовлетворяющий условию $0 \le r < d$.

Выполним вычисления для каждого заданного значения $n$:

При $n = 13$:
$13 = 4 \cdot 3 + 1$. Здесь неполное частное $k=3$, а остаток $r=1$.

При $n = 34$:
$34 = 4 \cdot 8 + 2$. Здесь неполное частное $k=8$, а остаток $r=2$.

При $n = 43$:
$43 = 4 \cdot 10 + 3$. Здесь неполное частное $k=10$, а остаток $r=3$.

При $n = 100$:
$100 = 4 \cdot 25 + 0$. Здесь неполное частное $k=25$, а остаток $r=0$.

Ответ: для $n=13$ остаток $r=1$; для $n=34$ остаток $r=2$; для $n=43$ остаток $r=3$; для $n=100$ остаток $r=0$.

В рассматриваемой функциональной зависимости укажите аргумент.

Функциональная зависимость устанавливает правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументам) ставится в соответствие единственный элемент другого множества (значениям функции). В данном случае каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие остаток $r$. Значение остатка $r$ полностью определяется выбором числа $n$. Следовательно, независимой переменной, или аргументом, является натуральное число $n$.

Ответ: аргументом функции является натуральное число $n$.

Какова область определения этой функции?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений ее аргумента. Согласно условию задачи, функция определена для "каждого натурального числа $n$". Множество натуральных чисел, обозначаемое $\mathbb{N}$, включает в себя все целые положительные числа: $1, 2, 3, 4, \dots$

Ответ: область определения этой функции — множество всех натуральных чисел $\mathbb{N}$.

Какие числа служат значениями функции?

Значениями функции (или областью значений) является множество всех возможных результатов, которые может принимать функция. В данном случае это множество всех возможных остатков $r$ от деления натурального числа на 4. По определению деления с остатком, остаток всегда неотрицателен и строго меньше делителя. Таким образом, $0 \le r < 4$. Это означает, что остатками могут быть только целые числа 0, 1, 2 и 3. Можно убедиться, что все эти значения достигаются:

• При делении 4 на 4 остаток равен 0.
• При делении 1 на 4 остаток равен 1.
• При делении 2 на 4 остаток равен 2.
• При делении 3 на 4 остаток равен 3.

Следовательно, множество значений функции состоит из этих четырех чисел.

Ответ: значениями функции служат числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.