Номер 257, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 257, страница 54.

Условие.

257. В ряду данных, состоящем из 12 чисел, наибольшее число увеличили на 6. Изменится ли при этом и как:

а) среднее арифметическое;

б) размах;

в) мода;

г) медиана?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть исходный ряд данных состоит из 12 чисел. Упорядочим их по возрастанию: $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{11} \le x_{12}$. В этом ряду $x_1$ — наименьшее число, а $x_{12}$ — наибольшее. По условию, наибольшее число $x_{12}$ увеличили на 6. Новый ряд данных в упорядоченном виде будет выглядеть так: $x_1, x_2, \dots, x_{11}, x_{12} + 6$, так как новое число по-прежнему будет наибольшим.

а) среднее арифметическое
Среднее арифметическое вычисляется как сумма всех чисел, деленная на их количество.
Изначальное среднее арифметическое: $M_{старое} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{12}}{12}$.
После увеличения наибольшего числа на 6, общая сумма всех чисел также увеличится на 6.
Новое среднее арифметическое: $M_{новое} = \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_{12}) + 6}{12} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{12}}{12} + \frac{6}{12} = M_{старое} + 0.5$.
Таким образом, среднее арифметическое увеличится.
Ответ: Да, изменится. Среднее арифметическое увеличится на $0.5$.

б) размах
Размах ряда — это разность между его наибольшим и наименьшим значениями.
Изначальный размах: $R_{старый} = x_{12} - x_1$.
В новом ряду наименьшее число $x_1$ не изменилось, а наибольшее стало равно $x_{12} + 6$.
Новый размах: $R_{новый} = (x_{12} + 6) - x_1 = (x_{12} - x_1) + 6 = R_{старый} + 6$.
Таким образом, размах увеличится на 6.
Ответ: Да, изменится. Размах увеличится на 6.

в) мода
Мода — это значение в ряду, которое встречается наиболее часто.
При увеличении наибольшего числа его значение меняется. Частоты всех остальных чисел в ряду остаются прежними. Если исходное наибольшее число не было модой (например, встречалось в ряду лишь один раз, что типично для наибольшего значения), то мода ряда не изменится. Если же наибольшее число было модой, то его частота уменьшится, и модой может стать другое число. В общем случае, без дополнительной информации о распределении чисел, принято считать, что изменение одного крайнего значения не влияет на моду.
Ответ: Скорее всего, не изменится. Она изменится только в том случае, если наибольшее число было модой и после его изменения другое число стало встречаться чаще.

г) медиана
Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд пополам. Для ряда из 12 элементов (четное число) медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов.
В упорядоченном ряду $x_1, x_2, \dots, x_6, x_7, \dots, x_{12}$ центральными элементами являются 6-й ($x_6$) и 7-й ($x_7$).
Изначальная медиана: $Med_{старая} = \frac{x_6 + x_7}{2}$.
После увеличения наибольшего числа $x_{12}$, оно остается на последнем месте в упорядоченном ряду. Порядок и значения первых 11 чисел, включая центральные $x_6$ и $x_7$, не меняются.
Новая медиана: $Med_{новая} = \frac{x_6 + x_7}{2}$.
Следовательно, медиана не изменится.
Ответ: Нет, не изменится.