Страница 68 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

292. Измеряя через каждую минуту температуру воды в баке, составили таблицу:

Постройте график зависимости $y$ от $x$ (масштаб: 1 см на оси $x$ соответствует 1 мин, 1 см на оси $y$ соответствует 10 °C).

Используя график, ответьте на вопросы:

a) какую температуру имела вода через 4 мин, через 5,5 мин, через 9 мин, через 10,7 мин после начала нагревания;

б) через сколько минут после начала нагревания температура воды стала равной 41 °C; 60 °C; 95 °C?

Для решения задачи сначала построим график зависимости температуры $y$ (в °C) от времени $x$ (в мин). Для этого в прямоугольной системе координат нанесём точки, координаты которых указаны в таблице: $(0; 14)$, $(1; 28)$, $(2; 41)$, $(3; 54)$, $(4; 66)$, $(5; 76)$, $(6; 85)$, $(7; 93)$, $(8; 98)$, $(9; 100)$, $(10; 100)$, $(11; 100)$, $(12; 100)$.

Ось абсцисс ($x$) будет представлять время в минутах с масштабом 1 см = 1 мин. Ось ординат ($y$) будет представлять температуру в градусах Цельсия с масштабом 1 см = 10 °C.

Соединив точки плавной линией, мы получим график. Можно заметить, что с 0 до 9-й минуты температура растет (график идет вверх), а с 9-й по 12-ю минуту температура остается постоянной и равной 100 °C (график представляет собой горизонтальную линию). Это соответствует процессу нагревания воды до точки кипения и последующего кипения.

Теперь, используя этот воображаемый построенный график, ответим на вопросы.

а) Чтобы определить температуру в заданный момент времени, нужно найти это время на горизонтальной оси ($x$), подняться от этой точки вертикально до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения двигаться горизонтально до вертикальной оси ($y$) и считать значение температуры.

- Через 4 мин: Находим на оси $x$ значение 4. Согласно таблице, в этот момент времени температура была равна 66 °C. График также проходит через точку $(4; 66)$.
- Через 5,5 мин: Находим на оси $x$ точку 5,5 (между 5 и 6). Поднимаемся до графика. Эта точка на графике лежит между точками $(5; 76)$ и $(6; 85)$. Проведя от нее перпендикуляр к оси $y$, получим значение примерно 81 °C.
- Через 9 мин: Находим на оси $x$ значение 9. Из таблицы и графика видно, что в этот момент температура достигла 100 °C.
- Через 10,7 мин: Находим на оси $x$ значение 10,7. Поскольку с 9-й минуты вода кипит, ее температура постоянна и равна 100 °C. Таким образом, через 10,7 мин температура воды составляет 100 °C.

Ответ: через 4 мин — 66 °C; через 5,5 мин — примерно 81 °C; через 9 мин — 100 °C; через 10,7 мин — 100 °C.

б) Чтобы определить, через какое время температура достигла заданного значения, нужно найти это значение температуры на вертикальной оси ($y$), двигаться от этой точки горизонтально до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения опуститься вертикально до горизонтальной оси ($x$) и считать значение времени.

- Температура 41 °C: Находим на оси $y$ значение 41. Из таблицы и графика видно, что это значение было достигнуто, когда $x = 2$ мин.
- Температура 60 °C: Находим на оси $y$ значение 60. Двигаемся горизонтально до графика. Точка пересечения будет находиться между отметками времени $x=3$ (где температура была 54 °C) и $x=4$ (где температура была 66 °C). Опустив перпендикуляр на ось $x$, получим значение примерно 3,5 мин.
- Температура 95 °C: Находим на оси $y$ значение 95. Двигаемся горизонтально до графика. Точка пересечения будет между отметками времени $x=7$ (температура 93 °C) и $x=8$ (температура 98 °C). Опустив перпендикуляр на ось $x$, получим значение примерно 7,4 мин.

Ответ: 41 °C — через 2 мин; 60 °C — примерно через 3,5 мин; 95 °C — примерно через 7,4 мин.

293. (Для работы в парах.) На рисунке 21 изображены графики зависимости тормозного пути автомобиля от скорости его движения на сухом асфальте (кривая ОА), на мокром асфальте (кривая ОВ), при гололёде (кривая ОС). Для каждого случая ответьте на вопросы:

а) чему равен тормозной путь автомобиля при скорости 50 км/ч;

б) с какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы его тормозной путь не превышал 60 м?

1) Выполните каждый задания а) и б).

2) Сравните полученные ответы. Исправьте ошибки, если они допущены.

3) Обсудите, насколько велико различие в тормозном пути на сухом и мокром асфальте.

$s, М$
$v, км/ч$

Рис. 21

1) Выполнение заданий а) и б)

Для ответа на вопросы воспользуемся данными, представленными на графике. На графике показаны три кривые зависимости тормозного пути $s$ (в метрах) от скорости $v$ (в км/ч):

• OA: движение по сухому асфальту
• OB: движение по мокрому асфальту
• OC: движение при гололёде

a) чему равен тормозной путь автомобиля при скорости 50 км/ч;

Чтобы найти тормозной путь при скорости 50 км/ч, нужно найти на горизонтальной оси (ось $v$) значение 50, подняться от него вертикально вверх до пересечения с каждой из кривых и затем от точек пересечения провести горизонтальные линии влево до вертикальной оси (ось $s$).

• Сухой асфальт (кривая OA): Находим на оси $v$ значение 50 км/ч. Поднимаемся до кривой OA. Из этой точки проводим горизонтальную линию к оси $s$. Получаем значение $s = 30$ м.
• Мокрый асфальт (кривая OB): Для скорости 50 км/ч, двигаясь вверх до кривой OB, находим соответствующий тормозной путь $s = 80$ м.
• Гололёд (кривая OC): Для скорости 50 км/ч, двигаясь вверх до кривой OC, находим соответствующий тормозной путь $s = 120$ м.

Ответ: При скорости 50 км/ч тормозной путь составляет: на сухом асфальте — 30 м, на мокром асфальте — 80 м, при гололёде — 120 м.

б) с какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы его тормозной путь не превышал 60 м?

Чтобы найти максимальную скорость, при которой тормозной путь не превысит 60 м, нужно найти на вертикальной оси (ось $s$) значение 60, провести от него горизонтальную линию вправо до пересечения с каждой из кривых и затем от точек пересечения опустить вертикальные линии вниз до горизонтальной оси (ось $v$).

• Сухой асфальт (кривая OA): Находим на оси $s$ значение 60 м. Двигаемся вправо до пересечения с кривой OA. Из этой точки опускаемся на ось $v$. Получаем значение $v \approx 70$ км/ч. Значит, скорость не должна превышать 70 км/ч.
• Мокрый асфальт (кривая OB): Для тормозного пути 60 м, двигаясь вправо до кривой OB, находим соответствующую скорость $v \approx 45$ км/ч. Скорость не должна превышать 45 км/ч.
• Гололёд (кривая OC): Для тормозного пути 60 м, двигаясь вправо до кривой OC, находим соответствующую скорость $v = 40$ км/ч. Скорость не должна превышать 40 км/ч.

Ответ: Чтобы тормозной путь не превышал 60 м, скорость автомобиля должна быть не более: на сухом асфальте — 70 км/ч, на мокром асфальте — 45 км/ч, при гололёде — 40 км/ч.

2) Сравните полученные ответы. Исправьте ошибки, если они допущены.

Сравним полученные результаты. Данные, снятые с графика, показывают сильную зависимость тормозного пути от состояния дорожного покрытия. При одной и той же скорости (50 км/ч) тормозной путь на мокром асфальте почти в 3 раза больше, чем на сухом ($80 / 30 \approx 2.7$), а в гололёд — в 4 раза больше ($120 / 30 = 4$).

Аналогично, для обеспечения одинаковой безопасности (тормозной путь не более 60 м) допустимая скорость на мокром асфальте (45 км/ч) и в гололёд (40 км/ч) значительно ниже, чем на сухом асфальте (70 км/ч). Это подчеркивает необходимость снижения скорости при ухудшении погодных условий. Ошибок в расчетах по графику не допущено, все значения определены корректно в пределах точности считывания с графика.

3) Обсудите, насколько велико различие в тормозном пути на сухом и мокром асфальте.

Различие в тормозном пути на сухом и мокром асфальте очень велико и критически важно для безопасности дорожного движения. Как было показано в пункте 1а, при скорости 50 км/ч разница составляет $80 \text{ м} - 30 \text{ м} = 50$ м. Это означает, что на мокрой дороге автомобилю потребуется дополнительно 50 метров для полной остановки, что сопоставимо с длиной 10-12 легковых автомобилей.

Важно отметить, что это различие не является постоянным, а увеличивается с ростом скорости. Тормозной путь примерно пропорционален квадрату скорости ($s \propto v^2$). Это означает, что при увеличении скорости вдвое, тормозной путь увеличивается вчетверо. Следовательно, абсолютная разница в тормозном пути между сухим и мокрым покрытием также резко возрастает при более высоких скоростях. Например, по графику при скорости $v=90$ км/ч тормозной путь на мокром асфальте (кривая OB) составляет 160 м, в то время как на сухом (кривая OA) он был бы примерно 90 м (экстраполяция). Разница составляет уже 70 м.

Таким образом, наличие воды на асфальте кардинально снижает сцепление шин с дорогой, что приводит к значительному увеличению тормозного пути. Это различие настолько велико, что игнорирование его и движение по мокрой дороге со скоростью, допустимой для сухой, многократно повышает риск ДТП.

Ответ: Различие в тормозном пути на сухом и мокром асфальте очень велико и опасно. На скорости 50 км/ч тормозной путь на мокрой дороге почти в 3 раза длиннее, чем на сухой. С увеличением скорости эта разница становится еще более существенной, что требует от водителей значительного снижения скорости в дождливую погоду.

294. Решите уравнение:

а) $3,7x - 2 = -2x + 3,13$;

б) $4,2x + 8 = 8 - 7x$;

в) $-27x = 5 - 54x$;

г) $x - 1 = 0,4x - 2,5$.

а) $3,7x - 2 = -2x + 3,13$

Для решения уравнения перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$3,7x + 2x = 3,13 + 2$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$5,7x = 5,13$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5,7:

$x = 5,13 : 5,7$

$x = 0,9$

Ответ: $0,9$.

б) $4,2x + 8 = 8 - 7x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую часть уравнения, меняя их знаки:

$4,2x + 7x = 8 - 8$

Упростим обе части уравнения:

$11,2x = 0$

Разделим обе части на 11,2. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Так как $11,2 \neq 0$, то $x$ должен быть равен нулю.

$x = 0 : 11,2$

$x = 0$

Ответ: $0$.

в) $-27x = 5 - 54x$

Перенесем слагаемое $-54x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$-27x + 54x = 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$27x = 5$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 27:

$x = \frac{5}{27}$

Ответ: $\frac{5}{27}$.

г) $x - 1 = 0,4x - 2,5$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные — в правой:

$x - 0,4x = -2,5 + 1$

Упростим обе части уравнения, выполнив вычисления:

$0,6x = -1,5$

Разделим обе части уравнения на 0,6:

$x = -1,5 : 0,6$

Для удобства вычисления можно умножить делимое и делитель на 10:

$x = -15 : 6$

$x = -2,5$

Ответ: $-2,5$.