Страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

108. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

а) $\frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ и $\frac{1}{6} - \frac{1}{5}$;

б) $3,7 \cdot \frac{1}{3}$ и $3,7 : \frac{1}{3}$;

в) $5,6 : 2,5$ и $5,6 \cdot 2,5$.

Ответ запишите в виде неравенства.

а) Сравним выражения $\frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ и $\frac{1}{6} - \frac{1}{5}$.

Для начала сравним дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $5 < 6$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$.

В первом выражении $\frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ из большего числа вычитается меньшее, следовательно, результат будет положительным.

Во втором выражении $\frac{1}{6} - \frac{1}{5}$ из меньшего числа вычитается большее, следовательно, результат будет отрицательным.

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Таким образом, первое выражение больше второго.

Ответ: $\frac{1}{5} - \frac{1}{6} > \frac{1}{6} - \frac{1}{5}$

б) Сравним выражения $3,7 \cdot \frac{1}{3}$ и $3,7 : \frac{1}{3}$.

В первом выражении положительное число $3,7$ умножается на правильную дробь $\frac{1}{3}$ (дробь, которая меньше 1). Умножение положительного числа на число, меньшее 1, даёт в результате число, которое меньше исходного. То есть, $3,7 \cdot \frac{1}{3} < 3,7$.

Во втором выражении положительное число $3,7$ делится на правильную дробь $\frac{1}{3}$. Деление на число, меньшее 1, равносильно умножению на обратное ему число, которое будет больше 1. В данном случае, $3,7 : \frac{1}{3} = 3,7 \cdot 3$. Результат будет больше исходного числа $3,7$.

Следовательно, значение первого выражения меньше $3,7$, а значение второго больше $3,7$. Значит, первое выражение меньше второго.

Ответ: $3,7 \cdot \frac{1}{3} < 3,7 : \frac{1}{3}$

в) Сравним выражения $5,6 : 2,5$ и $5,6 \cdot 2,5$.

В обоих выражениях участвуют положительные числа $5,6$ и $2,5$. Число $2,5$ больше 1.

В первом выражении $5,6 : 2,5$ положительное число $5,6$ делится на число, большее 1. Результат такого деления всегда будет меньше исходного числа $5,6$.

Во втором выражении $5,6 \cdot 2,5$ положительное число $5,6$ умножается на число, большее 1. Результат такого умножения всегда будет больше исходного числа $5,6$.

Таким образом, значение первого выражения меньше $5,6$, а значение второго больше $5,6$. Следовательно, первое выражение меньше второго.

Ответ: $5,6 : 2,5 < 5,6 \cdot 2,5$

109. Техническое перевооружение цеха позволило выпускать в сутки 180 станков вместо 160. На сколько процентов повысился выпуск станков в сутки?

Чтобы определить, на сколько процентов повысился выпуск станков, необходимо найти абсолютное увеличение выпуска и соотнести его с первоначальным объемом производства, который принимается за 100%.

Первоначальный выпуск составлял 160 станков в сутки. После технического перевооружения он вырос до 180 станков в сутки.

Сначала найдем абсолютное увеличение выпуска. Для этого вычтем из нового значения старое:
$180 - 160 = 20$ станков.

Теперь рассчитаем, какую часть это увеличение (20 станков) составляет от первоначального выпуска (160 станков). Для этого разделим абсолютное увеличение на первоначальное значение и умножим результат на 100%.

Процентное увеличение = $\frac{\text{абсолютное увеличение}}{\text{первоначальное значение}} \times 100\% = \frac{20}{160} \times 100\%$.

Выполним вычисления. Сначала сократим дробь:
$\frac{20}{160} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
Теперь переведем полученную дробь в десятичный вид и умножим на 100%, чтобы получить проценты:
$\frac{1}{8} = 0.125$
$0.125 \times 100\% = 12.5\%$.

Таким образом, выпуск станков в сутки повысился на 12,5%.
Ответ: 12,5%.

110. Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие числам:

$-3.9; 2.6; -0.7; 3.2; -1.5; 1.25.$

Для того чтобы отметить заданные числа на координатной прямой, необходимо начертить горизонтальную прямую, выбрать на ней начало отсчета (точку $0$) и единичный отрезок (например, расстояние от $0$ до $1$), который задаст масштаб. Положительные числа откладываются вправо от нуля, а отрицательные — влево.

-3,9

Это отрицательное число, поэтому его точка находится слева от нуля. Откладываем от точки $0$ влево расстояние, равное $3,9$ единичным отрезкам. Точка будет расположена очень близко к отметке $-4$, но немного правее нее (ближе к нулю).

2,6

Это положительное число, его точка находится справа от нуля. Откладываем от точки $0$ вправо расстояние в $2,6$ единичных отрезка. Точка будет находиться между целыми числами $2$ и $3$, немного дальше чем на полпути к $3$.

-0,7

Это отрицательное число, расположенное между $0$ и $-1$. Откладываем от $0$ влево расстояние в $0,7$ единичных отрезка. Точка будет ближе к $-1$, чем к $0$.

3,2

Это положительное число, его точка находится справа от нуля. Откладываем вправо от $0$ расстояние в $3,2$ единичных отрезка. Точка будет расположена между $3$ и $4$, но значительно ближе к $3$.

-1,5

Это отрицательное число. Откладываем от $0$ влево расстояние в $1,5$ единичных отрезка. Точка будет находиться ровно посередине между отметками $-1$ и $-2$.

1,25

Это положительное число. Его можно представить в виде смешанной дроби $1 \frac{1}{4}$. Откладываем от $0$ вправо $1,25$ единичных отрезка. Точка будет расположена между $1$ и $2$, на четверти пути от $1$ к $2$.

Для наглядности, на координатной прямой точки будут располагаться в следующем порядке (слева направо): $ -3,9; -1,5; -0,7; 1,25; 2,6; 3,2$.

Ответ:

Изображение координатной прямой с отмеченными точками:

107. Составьте выражение по условию задачи и упростите его:

a) У Игоря 3 альбома с марками. В первом альбоме $a$ марок, во втором — на 15 марок больше, чем в первом, а в третьем — втрое больше, чем во втором. Сколько марок в трёх альбомах?

б) Пётр приобрёл 8 билетов лотереи «Надежда» и 6 билетов лотереи «Удача». Билет лотереи «Удача» стоил $a$ р., а лотереи «Надежда» был на 10% дороже. Найдите стоимость покупки.

а)

Обозначим количество марок в каждом альбоме:
- В первом альбоме: $a$ марок.
- Во втором альбоме на 15 марок больше, чем в первом: $(a + 15)$ марок.
- В третьем альбоме втрое больше, чем во втором: $3 \cdot (a + 15)$ марок.

Чтобы найти общее количество марок в трёх альбомах, составим выражение, сложив количество марок в каждом альбоме:

$a + (a + 15) + 3 \cdot (a + 15)$

Теперь упростим это выражение. Сначала раскроем скобки:

$a + a + 15 + 3a + 45$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые (члены с переменной $a$ и постоянные члены):

$(a + a + 3a) + (15 + 45) = 5a + 60$

Ответ: $5a + 60$

б)

Определим стоимость каждого вида билетов:
- Стоимость одного билета лотереи «Удача»: $a$ р.
- Стоимость одного билета лотереи «Надежда» на 10% дороже. Это значит, что его цена составляет 100% + 10% = 110% от цены билета «Удача». Выразим это в виде десятичной дроби: $1.1$.
- Стоимость билета «Надежда»: $a \cdot 1.1 = 1.1a$ р.

Теперь найдём стоимость всей покупки. Пётр купил 8 билетов «Надежда» и 6 билетов «Удача». Составим выражение для общей стоимости:

2 Какие выражения называются тождественно равными? Приведите пример тождественно равных выражений.

Какие выражения называются тождественно равными?

Два выражения называются тождественно равными, если их значения равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Областью допустимых значений переменных называют множество всех значений, при которых оба эти выражения имеют смысл (определены).

Равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называется тождеством. Например, равенство $a+b = b+a$ является тождеством.

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием.

Ответ: Тождественно равные выражения — это выражения, значения которых равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных.

Приведите пример тождественно равных выражений.

Примеров тождественно равных выражений в алгебре очень много. Часто они основаны на основных законах арифметики или являются формулами сокращенного умножения.

Пример 1: На основе распределительного закона умножения. Выражения $5(x+y)$ и $5x+5y$ являются тождественно равными. Если мы раскроем скобки в первом выражении, то получим второе. Это равенство будет верным для любых значений переменных $x$ и $y$.

Пример 2: Формула сокращенного умножения «квадрат суммы». Выражения $(a+b)^2$ и $a^2+2ab+b^2$ являются тождественно равными. Проверим это, подставив произвольные числа, например, $a=3$ и $b=2$:
Значение первого выражения: $(3+2)^2 = 5^2 = 25$.
Значение второго выражения: $3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2^2 = 9 + 12 + 4 = 25$.
Значения выражений равны. Равенство $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ является тождеством.

Пример 3: Приведение подобных слагаемых. Выражения $12c - 5c$ и $7c$ являются тождественно равными, так как второе выражение получается из первого путем выполнения арифметической операции над коэффициентами подобных слагаемых.

Ответ: Примером тождественно равных выражений являются $(a+b)^2$ и $a^2+2ab+b^2$.

3. Какое равенство называется тождеством? Приведите пример тождества.

Какое равенство называется тождеством?

Тождеством называется равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Это означает, что при подстановке любых чисел или выражений вместо переменных (из области определения) левая и правая части равенства всегда будут принимать одинаковые значения. В отличие от уравнения, которое верно лишь для определённых значений переменных (корней), тождество справедливо всегда.

Ответ: Равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных.

Приведите пример тождества.

Примеров тождеств очень много, они часто выражают основные законы арифметики и алгебры. Вот несколько классических примеров:

1. Распределительный закон умножения: $a(b+c) = ab+ac$. Это равенство будет верным для любых значений $a$, $b$ и $c$.

2. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Это равенство верно для любых $a$ и $b$.

3. Формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

4. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$. Равенство справедливо для любого значения $x$.

Ответ: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

1 Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения.

Переместительное свойство сложения (также известное как коммутативное свойство): формулируется так: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Это означает, что для любых чисел $a$ и $b$ их сумма будет одинаковой, независимо от того, в каком порядке мы их складываем. В буквенном виде это свойство записывается формулой:
$a + b = b + a$.
Например, $5 + 3 = 8$ и $3 + 5 = 8$.
Ответ: Переместительное свойство сложения гласит, что результат сложения не зависит от порядка слагаемых.

Переместительное свойство умножения (коммутативное свойство): формулируется так: от перестановки мест множителей произведение не меняется. Это означает, что для любых чисел $a$ и $b$ их произведение будет одинаковым, независимо от порядка их перемножения. В буквенном виде это свойство записывается формулой:
$a \cdot b = b \cdot a$.
Например, $4 \cdot 6 = 24$ и $6 \cdot 4 = 24$.
Ответ: Переместительное свойство умножения гласит, что результат умножения не зависит от порядка множителей.

Сочетательное свойство сложения (также известное как ассоциативное свойство): формулируется так: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. Это свойство позволяет группировать слагаемые произвольным образом. В буквенном виде это записывается формулой:
$(a + b) + c = a + (b + c)$.
Например, $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ и $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$.
Ответ: Сочетательное свойство сложения гласит, что при сложении трех и более чисел способ их группировки не влияет на итоговую сумму.

Сочетательное свойство умножения (ассоциативное свойство): формулируется так: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Это свойство позволяет группировать множители произвольным образом. В буквенном виде это записывается формулой:
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Например, $(2 \cdot 3) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$ и $2 \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 15 = 30$.
Ответ: Сочетательное свойство умножения гласит, что при умножении трех и более чисел способ их группировки не влияет на итоговое произведение.

Распределительное свойство умножения (также известное как дистрибутивное свойство): это свойство связывает операции умножения со сложением и вычитанием. Оно формулируется для двух случаев:
1. Относительно сложения: чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое по отдельности и полученные произведения сложить. В буквенном виде:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Например, $5 \cdot (2 + 3) = 5 \cdot 5 = 25$ и $5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 10 + 15 = 25$.
2. Относительно вычитания: чтобы умножить число на разность двух чисел, можно это число умножить на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе. В буквенном виде:
$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.
Например, $4 \cdot (10 - 2) = 4 \cdot 8 = 32$ и $4 \cdot 10 - 4 \cdot 2 = 40 - 8 = 32$.
Ответ: Распределительное свойство умножения позволяет раскрывать скобки, умножая множитель перед скобками на каждый член внутри скобок, или, наоборот, выносить общий множитель за скобки.