Страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. В фермерском хозяйстве собирали по 36 ц пшеницы с гектара. Применение интенсивной технологии позволило увеличить производство пшеницы на той же площади на 25%. Сколько центнеров пшеницы стали собирать с 1 га в этом фермерском хозяйстве?

Для решения этой задачи необходимо рассчитать новую урожайность пшеницы после ее увеличения на 25%.

1. Находим величину увеличения урожайности.

Первоначальная урожайность составляла 36 центнеров (ц) с 1 гектара (га). Производство увеличилось на 25% от этого значения. Чтобы найти 25% от 36, нужно умножить 36 на 0,25 (что эквивалентно 25/100).

Величина увеличения = $36 \text{ ц} \times 0,25 = 9 \text{ ц}$.

Таким образом, урожайность увеличилась на 9 центнеров с гектара.

2. Рассчитываем новую урожайность.

Чтобы найти, сколько центнеров стали собирать с 1 гектара, нужно к первоначальной урожайности прибавить величину увеличения.

Новая урожайность = $36 \text{ ц} + 9 \text{ ц} = 45 \text{ ц}$.

Альтернативный способ решения:

Можно сразу рассчитать итоговую урожайность. Если исходная урожайность — это 100%, то после увеличения на 25% она составит $100\% + 25\% = 125\%$. Переведем проценты в десятичную дробь: $125\% = 1,25$.

Теперь умножим первоначальную урожайность на этот коэффициент:

Новая урожайность = $36 \text{ ц} \times 1,25 = 45 \text{ ц}$.

Ответ: 45 центнеров пшеницы стали собирать с 1 га.

13. Из данных выражений выберите выражение, не имеющее смысла.

1. $126 : (36 \cdot 2 - 5 \cdot 8)$

2. $\frac{2,6 - 13 \cdot 0,2}{8}$

3. $(1,7 \cdot 2 - 3,4) : 11$

4. $\frac{0,57}{0,8 - 0,4 \cdot 2}$

Чтобы определить, какое из выражений не имеет смысла, нужно проверить их на наличие математически недопустимых операций. Самой распространенной такой операцией является деление на ноль.

1. $126 : (36 \cdot 2 - 5 \cdot 8)$

Вычислим значение выражения в скобках, которое является делителем. Соблюдаем порядок действий: сначала умножение, затем вычитание.

$36 \cdot 2 = 72$

$5 \cdot 8 = 40$

$72 - 40 = 32$

Получаем выражение $126 : 32$. Так как делитель (32) не равен нулю, это выражение имеет смысл.

Ответ: выражение имеет смысл.

2. $\frac{2,6 - 13 \cdot 0,2}{8}$

В данном выражении делитель (знаменатель дроби) равен 8. Поскольку $8 \ne 0$, деление возможно, и выражение имеет смысл. Для полноты решения вычислим значение числителя:

$13 \cdot 0,2 = 2,6$

$2,6 - 2,6 = 0$

В результате получаем $\frac{0}{8} = 0$. Выражение имеет смысл.

Ответ: выражение имеет смысл.

3. $(1,7 \cdot 2 - 3,4) : 11$

Делитель в этом выражении равен 11, что не равно нулю. Вычислим значение в скобках:

$1,7 \cdot 2 = 3,4$

$3,4 - 3,4 = 0$

Получаем выражение $0 : 11 = 0$. Выражение имеет смысл.

Ответ: выражение имеет смысл.

4. $\frac{0,57}{0,8 - 0,4 \cdot 2}$

Проверим значение делителя (знаменателя дроби). Сначала выполним умножение:

$0,4 \cdot 2 = 0,8$

Теперь выполним вычитание:

$0,8 - 0,8 = 0$

Знаменатель равен нулю. Выражение принимает вид $\frac{0,57}{0}$. Деление на ноль является недопустимой операцией. Следовательно, это выражение не имеет смысла.

Ответ: выражение не имеет смысла.

17. Используя термины «сумма», «разность», «произведение» и «частное», прочитайте выражение:

а) $8,5 - 7,3;$

б) $4,7 \cdot 12,3;$

в) $65 \div 1,3;$

г) $5,6 + 0,9;$

д) $2 \cdot 9,5 + 14;$

е) $(10 - 2,7) \div 5;$

ж) $6,1 \cdot (8,4 \div 4);$

з) $(6,4 + 7) \div 2;$

и) $2,5 - (3,2 + 1,8);$

к) $(5,74 - 1,24) \cdot 3,6;$

л) $8 - (1,71 + 0,19);$

м) $0,36 \div 0,3 - 1,78.$

а) Выражение $8,5 - 7,3$ читается как «разность чисел восемь целых пять десятых и семь целых три десятых».
Решение: $8,5 - 7,3 = 1,2$.
Ответ: 1,2.

б) Выражение $4,7 \cdot 12,3$ читается как «произведение чисел четыре целых семь десятых и двенадцать целых три десятых».
Решение: $4,7 \cdot 12,3 = 57,81$.
Ответ: 57,81.

в) Выражение $65 : 1,3$ читается как «частное чисел шестьдесят пять и одна целая три десятых».
Решение: $65 : 1,3 = 650 : 13 = 50$.
Ответ: 50.

г) Выражение $5,6 + 0,9$ читается как «сумма чисел пять целых шесть десятых и ноль целых девять десятых».
Решение: $5,6 + 0,9 = 6,5$.
Ответ: 6,5.

д) Выражение $2 \cdot 9,5 + 14$ читается как «сумма произведения чисел два и девять целых пять десятых и числа четырнадцать».
Решение: $2 \cdot 9,5 + 14 = 19 + 14 = 33$.
Ответ: 33.

е) Выражение $(10 – 2,7) : 5$ читается как «частное от деления разности чисел десять и две целых семь десятых на число пять».
Решение: $(10 – 2,7) : 5 = 7,3 : 5 = 1,46$.
Ответ: 1,46.

ж) Выражение $6,1 \cdot (8,4 : 4)$ читается как «произведение числа шесть целых одна десятая и частного от деления восьми целых четырех десятых на четыре».
Решение: $6,1 \cdot (8,4 : 4) = 6,1 \cdot 2,1 = 12,81$.
Ответ: 12,81.

з) Выражение $(6,4 + 7) : 2$ читается как «частное от деления суммы чисел шесть целых четыре десятых и семь на число два».
Решение: $(6,4 + 7) : 2 = 13,4 : 2 = 6,7$.
Ответ: 6,7.

и) Выражение $2,5 – (3,2 + 1,8)$ читается как «разность числа две целых пять десятых и суммы чисел три целых две десятых и одна целая восемь десятых».
Решение: $2,5 – (3,2 + 1,8) = 2,5 - 5 = -2,5$.
Ответ: -2,5.

к) Выражение $(5,74 – 1,24) \cdot 3,6$ читается как «произведение разности чисел пять целых семьдесят четыре сотых и одна целая двадцать четыре сотых и числа три целых шесть десятых».
Решение: $(5,74 – 1,24) \cdot 3,6 = 4,5 \cdot 3,6 = 16,2$.
Ответ: 16,2.

л) Выражение $8 – (1,71 + 0,19)$ читается как «разность числа восемь и суммы чисел одна целая семьдесят одна сотая и ноль целых девятнадцать сотых».
Решение: $8 – (1,71 + 0,19) = 8 - 1,9 = 6,1$.
Ответ: 6,1.

м) Выражение $0,36 : 0,3 – 1,78$ читается как «разность частного от деления ноля целых тридцати шести сотых на ноль целых три десятых и числа одна целая семьдесят восемь сотых».
Решение: $0,36 : 0,3 – 1,78 = 1,2 - 1,78 = -0,58$.
Ответ: -0,58.

10. За несколько книг уплатили 320 р. Стоимость одной из книг составила 30%, а другой — 45% израсходованных денег. На сколько рублей первая книга дешевле второй?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, сперва нужно найти стоимость каждой из двух книг в рублях. За 100% принимается общая сумма, уплаченная за все книги, то есть 320 рублей.

1. Вычислим стоимость первой книги.
Стоимость первой книги составляет 30% от общей суммы. Чтобы найти 30% от 320, нужно умножить 320 на долю, соответствующую 30%, то есть на 0,3.
$320 \cdot \frac{30}{100} = 320 \cdot 0,3 = 96$ рублей.

2. Вычислим стоимость второй книги.
Стоимость второй книги составляет 45% от общей суммы. Чтобы найти 45% от 320, нужно умножить 320 на долю, соответствующую 45%, то есть на 0,45.
$320 \cdot \frac{45}{100} = 320 \cdot 0,45 = 144$ рубля.

3. Найдем разницу в стоимости.
Чтобы узнать, на сколько рублей первая книга дешевле второй, нужно из стоимости второй книги вычесть стоимость первой.
$144 - 96 = 48$ рублей.

Задачу можно решить и более коротким способом, найдя разницу в процентах и затем ее денежное выражение.
Разница в процентах: $45\% - 30\% = 15\%$.
Теперь вычислим, сколько рублей составляют эти 15% от общей суммы:
$320 \cdot \frac{15}{100} = 320 \cdot 0,15 = 48$ рублей.

Ответ: первая книга дешевле второй на 48 рублей.

14. Составьте какое-либо выражение, не имеющее смысла.

Выражение в математике считается не имеющим смысла (или неопределенным), если оно нарушает установленные математические правила или для него не существует определенного значения в рамках рассматриваемого числового множества. Можно составить несколько типов таких выражений.

Деление на ноль

Это самый известный пример выражения, не имеющего смысла. Рассмотрим выражение $ \frac{7}{0} $. Оно не имеет смысла, так как операция деления является обратной к умножению. Если бы мы предположили, что $ \frac{7}{0} = x $, то это было бы равносильно утверждению $ 7 = 0 \cdot x $. Однако любое число, умноженное на ноль, равно нулю, что приводит к противоречию $ 7 = 0 $. Следовательно, операция деления на ноль не определена.

Ответ: $ \frac{7}{0} $.

Квадратный корень из отрицательного числа

В множестве действительных чисел ($ \mathbb{R} $) невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Рассмотрим выражение $ \sqrt{-9} $. Оно не имеет смысла в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательным числом. Не существует такого действительного числа $ x $, для которого выполнялось бы равенство $ x^2 = -9 $.

Ответ: $ \sqrt{-9} $.

Логарифм неположительного числа

Логарифмическая функция определена только для положительных аргументов. Рассмотрим выражение $ \ln(0) $. По определению, если $ \ln(0) = x $, то $ e^x = 0 $. Однако показательная функция $ e^x $ всегда строго больше нуля для любого действительного $x$. Таким образом, не существует числа $x$, которое удовлетворяло бы этому равенству, и выражение не имеет смысла. То же самое относится и к логарифму отрицательного числа, например $ \log_2(-4) $.

Ответ: $ \ln(0) $.

7. Найдите:

а) $1\%$ числа $240$;

б) $40\%$ числа $15$;

в) $120\%$ числа $8$;

г) $9,5\%$ числа $280$.

а) 1% числа 240;

Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число. Один процент — это одна сотая часть, поэтому для нахождения 1% от числа 240, нужно разделить 240 на 100 или умножить на 0,01.

Представим 1% в виде дроби: $1\% = \frac{1}{100} = 0.01$.

Вычислим значение: $240 \cdot 0.01 = 2.4$.

Ответ: 2,4

б) 40% числа 15;

Сначала представим 40% в виде десятичной дроби. Для этого разделим 40 на 100.

$40\% = \frac{40}{100} = 0.4$.

Теперь умножим число 15 на полученную десятичную дробь:

$15 \cdot 0.4 = 6$.

Ответ: 6

в) 120% числа 8;

Переведем 120% в десятичную дробь. Для этого разделим 120 на 100.

$120\% = \frac{120}{100} = 1.2$.

Теперь умножим число 8 на полученную десятичную дробь. Так как процент больше 100, результат будет больше исходного числа.

$8 \cdot 1.2 = 9.6$.

Ответ: 9,6

г) 9,5% числа 280.

Переведем 9,5% в десятичную дробь, разделив 9,5 на 100.

$9.5\% = \frac{9.5}{100} = 0.095$.

Далее умножим число 280 на полученную десятичную дробь:

$280 \cdot 0.095 = 26.6$.

Ответ: 26,6

11. Используя три раза цифру 2, составьте выражение, значение которого равно:

а) 6;

б) 8;

в) 3;

г) 1.

а) Чтобы получить число 6, можно использовать операцию сложения.

Решение: $2 + 2 + 2 = 6$.

Также можно скомбинировать умножение и сложение:

Решение: $2 \times 2 + 2 = 4 + 2 = 6$.

Ответ: $2 + 2 + 2$.

б) Чтобы получить число 8, можно использовать операцию умножения.

Решение: $2 \times 2 \times 2 = 4 \times 2 = 8$.

Ответ: $2 \times 2 \times 2$.

в) Чтобы получить нечетное число 3, необходимо использовать операцию деления.

Решение: $2 + 2 / 2 = 2 + 1 = 3$.

Ответ: $2 + 2 / 2$.

г) Для получения единицы также можно применить деление в комбинации с вычитанием.

Решение: $2 - 2 / 2 = 2 - 1 = 1$.

Другой элегантный способ — использовать возведение в степень, где показатель степени равен нулю:

Решение: $2 ^ {(2 - 2)} = 2^0 = 1$.

Ответ: $2 - 2 / 2$.

15. Составьте числовое выражение для решения задачи: «Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Какое расстояние будет между ними через 3 ч, если известно, что скорость одного пешехода 4 км/ч, а скорость другого пешехода 5 км/ч?»

$40 - (4 + 5) \times 3$

Для решения задачи необходимо определить, на какое расстояние пешеходы приблизятся друг к другу за 3 часа, и вычесть это расстояние из первоначального.

1. Находим скорость сближения пешеходов.
Поскольку пешеходы движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Это называется скоростью сближения.
Скорость первого пешехода: $v_1 = 4$ км/ч.
Скорость второго пешехода: $v_2 = 5$ км/ч.
Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей: $v_1 + v_2$.
Часть выражения, отвечающая за скорость сближения: $(4 + 5)$.

2. Находим расстояние, которое пешеходы пройдут вместе за 3 часа.
Чтобы найти расстояние, на которое они сблизятся, нужно их общую скорость (скорость сближения) умножить на время в пути.
Время в пути: $t = 3$ ч.
Расстояние, на которое они сблизятся: $S_{сбл} = v_{сбл} \cdot t$.
Часть выражения, отвечающая за это расстояние: $(4 + 5) \cdot 3$.

3. Составляем итоговое числовое выражение.
Чтобы найти, какое расстояние останется между пешеходами, нужно из начального расстояния ($S_{нач} = 40$ км) вычесть расстояние, на которое они сблизились.
Итоговое расстояние = $S_{нач} - S_{сбл}$.
Подставляя числовые значения и полученные части, мы получаем полное выражение для решения задачи.

Ответ: $40 - (4 + 5) \cdot 3$

8. На пакете молока написано, что в молоке содержится 3,2% жира, 2,5% белка и 4,7% углеводов. Какое количество каждого из этих веществ содержится в стакане (200 г) молока?

Для решения этой задачи необходимо найти указанный процент от общего количества молока, которое составляет 200 грамм. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую этому проценту.

Количество жира

Содержание жира в молоке составляет 3,2%. Чтобы найти массу жира в 200 г молока, нужно 200 г умножить на 3,2% (или 0,032).

Расчет: $200 \text{ г} \times \frac{3,2}{100} = 200 \times 0,032 = 6,4 \text{ г}$.

Ответ: в стакане молока содержится 6,4 г жира.

Количество белка

Содержание белка в молоке составляет 2,5%. Чтобы найти массу белка в 200 г молока, нужно 200 г умножить на 2,5% (или 0,025).

Расчет: $200 \text{ г} \times \frac{2,5}{100} = 200 \times 0,025 = 5 \text{ г}$.

Ответ: в стакане молока содержится 5 г белка.

Количество углеводов

Содержание углеводов в молоке составляет 4,7%. Чтобы найти массу углеводов в 200 г молока, нужно 200 г умножить на 4,7% (или 0,047).

Расчет: $200 \text{ г} \times \frac{4,7}{100} = 200 \times 0,047 = 9,4 \text{ г}$.

Ответ: в стакане молока содержится 9,4 г углеводов.

12. Составьте какое-нибудь выражение, содержащее два знака действия, значение которого равно:

а) 12;

б) 0.

а)

Требуется составить выражение, которое содержит два знака действия и равно 12. Существует множество таких выражений. Рассмотрим один из вариантов.

Мы можем использовать умножение и сложение. Например, составим такое выражение: $4 \cdot 2 + 4$.

Проверим его значение, соблюдая правильный порядок действий (сначала умножение, затем сложение):

1. Первое действие: $4 \cdot 2 = 8$.

2. Второе действие: $8 + 4 = 12$.

Выражение $4 \cdot 2 + 4$ содержит два знака действия (умножение и сложение), и его значение равно 12. Таким образом, условие задачи выполнено.

Другие возможные примеры: $15 - 5 + 2 = 12$, $24 : 2 + 0 = 12$, $5 \cdot 3 - 3 = 12$.

Ответ: $4 \cdot 2 + 4 = 12$.

б)

Требуется составить выражение, которое содержит два знака действия и равно 0. Эта задача также имеет много решений. Рассмотрим один из примеров.

Мы можем использовать вычитание. Например, составим выражение: $10 - 5 - 5$.

Вычислим его значение, выполняя действия по порядку слева направо:

1. Первое действие: $10 - 5 = 5$.

2. Второе действие: $5 - 5 = 0$.

Выражение $10 - 5 - 5$ содержит два знака вычитания, и его значение равно 0. Условие задачи выполнено.

Другие возможные примеры: $8 + 2 - 10 = 0$, $6 \cdot 2 - 12 = 0$, $20 : 4 - 5 = 0$.

Ответ: $10 - 5 - 5 = 0$.

16. Решите задачу, составив выражение: «Один рабочий изготовляет за час 7 деталей, а другой — 9 деталей. Сколько деталей они изготовят за 4 ч?»

Для решения задачи нужно составить математическое выражение. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1

Сначала найдем, сколько деталей рабочие изготовляют вместе за 1 час (их совместную производительность). Для этого сложим количество деталей, которое каждый из них производит за час. Затем умножим эту общую производительность на время работы (4 часа).

1. Находим совместную производительность:
$7 + 9 = 16$ (деталей в час)

2. Находим общее количество деталей за 4 часа:
$16 \cdot 4 = 64$ (детали)

Таким образом, выражение для решения задачи выглядит так: $(7 + 9) \cdot 4$.

Способ 2

Сначала найдем, сколько деталей изготовит каждый рабочий за 4 часа по отдельности, а затем сложим эти два значения.

1. Количество деталей от первого рабочего за 4 часа:
$7 \cdot 4 = 28$ (деталей)

2. Количество деталей от второго рабочего за 4 часа:
$9 \cdot 4 = 36$ (деталей)

3. Общее количество деталей:
$28 + 36 = 64$ (детали)

Выражение для этого способа: $7 \cdot 4 + 9 \cdot 4$.

Оба выражения приводят к одному и тому же результату. Вычислим значение первого выражения:

$(7 + 9) \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$

Ответ: 64 детали.