Страница 6 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Найдите значение выражения:

а) $6,965 + 23,3;$
б) $50,4 - 6,98;$
в) $88 - 9,804;$

г) $6,5 \cdot 1,22;$
д) $0,48 \cdot 2,5;$
е) $0,016 \cdot 0,25;$

ж) $53,4 : 15;$
з) $16,94 : 2,8;$
и) $75 : 1,25.$

а) Чтобы сложить десятичные дроби $6,965$ и $23,3$, нужно записать их "в столбик" так, чтобы запятая оказалась под запятой. Для удобства можно уравнять количество знаков после запятой, добавив нули: $23,3 = 23,300$.
Выполним сложение:
$6,965 + 23,300$
Складываем по разрядам справа налево:
Тысячные: $5 + 0 = 5$.
Сотые: $6 + 0 = 6$.
Десятые: $9 + 3 = 12$. Пишем $2$ и $1$ переносим в следующий разряд (в единицы).
Единицы: $6 + 3 + 1 = 10$. Пишем $0$ и $1$ переносим в следующий разряд (в десятки).
Десятки: $0 + 2 + 1 = 3$.
Собираем результат: $30,265$.
Ответ: 30,265

б) Чтобы найти разность десятичных дробей $50,4$ и $6,98$, запишем их "в столбик", выровняв по запятой. Уравняем количество знаков после запятой: $50,4 = 50,40$.
Выполним вычитание:
$50,40 - 6,98$
Вычитаем по разрядам справа налево:
Сотые: из $0$ вычесть $8$ нельзя, занимаем из старшего разряда. $10 - 8 = 2$.
Десятые: в разряде десятых была $4$, но мы заняли, осталась $3$. Из $3$ вычесть $9$ нельзя, занимаем из старшего разряда. $13 - 9 = 4$.
Единицы: в разряде единиц был $0$, но мы заняли из десятков. Получилось $10$, из которых мы заняли для десятых, осталось $9$. $9 - 6 = 3$.
Десятки: в разряде десятков была $5$, но мы заняли, осталась $4$. $4 - 0 = 4$.
Собираем результат: $43,42$.
Ответ: 43,42

в) Чтобы вычесть из целого числа $88$ десятичную дробь $9,804$, представим $88$ как десятичную дробь $88,000$.
Выполним вычитание:
$88,000 - 9,804$
Вычитаем по разрядам справа налево, занимая из старших разрядов:
Тысячные: $10 - 4 = 6$.
Сотые: $9 - 0 = 9$.
Десятые: $9 - 8 = 1$.
Единицы: из $8$ заняли, осталось $7$. Из $7$ вычесть $9$ нельзя, занимаем. $17 - 9 = 8$.
Десятки: из $8$ заняли, осталось $7$. $7 - 0 = 7$.
Собираем результат: $78,196$.
Ответ: 78,196

г) Чтобы перемножить десятичные дроби $6,5$ и $1,22$, сначала перемножим их как целые числа, не обращая внимания на запятые: $65 \cdot 122$.
$65 \cdot 122 = 65 \cdot (100 + 20 + 2) = 6500 + 1300 + 130 = 7930$.
Теперь посчитаем общее количество знаков после запятой в обоих множителях. В числе $6,5$ один знак, в числе $1,22$ — два знака. Всего $1+2=3$ знака.
В полученном произведении $7930$ отделяем справа три знака запятой.
Получаем $7,930$ или $7,93$.
Ответ: 7,93

д) Чтобы перемножить $0,48$ и $2,5$, сначала перемножим их как целые числа: $48 \cdot 25$.
$48 \cdot 25 = 1200$.
Посчитаем количество знаков после запятой в исходных числах. В $0,48$ два знака, в $2,5$ — один. Всего $2+1=3$ знака.
В результате $1200$ отделяем справа три знака запятой.
Получаем $1,200$ или $1,2$.
Ответ: 1,2

е) Чтобы перемножить $0,016$ и $0,25$, сначала перемножим их как целые числа: $16 \cdot 25$.
$16 \cdot 25 = 400$.
Посчитаем количество знаков после запятой. В $0,016$ три знака, в $0,25$ — два. Всего $3+2=5$ знаков.
В результате $400$ нужно отделить справа пять знаков. Так как цифр не хватает, дописываем слева нули: $0,00400$.
Нули в конце дробной части можно отбросить, получаем $0,004$.
Ответ: 0,004

ж) Чтобы разделить $53,4$ на $15$, выполним деление "уголком".
$53,4 : 15$.
Сначала делим целую часть $53$ на $15$. Получаем $3$. $3 \cdot 15 = 45$. Остаток $53-45=8$.
В частном ставим запятую, так как целая часть закончилась. Сносим $4$.
Делим $84$ на $15$. Получаем $5$. $5 \cdot 15 = 75$. Остаток $84-75=9$.
Сносим $0$. Делим $90$ на $15$. Получаем $6$. $6 \cdot 15 = 90$. Остаток $0$.
Результат деления: $3,56$.
Ответ: 3,56

з) Чтобы разделить $16,94$ на $2,8$, нужно сначала избавиться от запятой в делителе. Для этого умножим и делимое, и делитель на $10$.
$16,94 : 2,8 = 169,4 : 28$.
Теперь выполним деление "уголком".
Делим $169$ на $28$. Получаем $6$. $6 \cdot 28 = 168$. Остаток $169-168=1$.
В частном ставим запятую. Сносим $4$.
Делим $14$ на $28$. Получаем $0$. Остаток $14$.
Сносим $0$. Делим $140$ на $28$. Получаем $5$. $5 \cdot 28 = 140$. Остаток $0$.
Результат деления: $6,05$.
Ответ: 6,05

и) Чтобы разделить $75$ на $1,25$, избавимся от запятой в делителе. Умножим и делимое, и делитель на $100$ (так как в $1,25$ два знака после запятой).
$75 : 1,25 = 7500 : 125$.
Выполним деление "уголком".
Делим $750$ на $125$. Получаем $6$. $6 \cdot 125 = 750$. Остаток $0$.
Сносим оставшийся $0$ из делимого в частное.
Результат деления: $60$.
Также можно представить $1,25$ как обыкновенную дробь: $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.
Тогда $75 : 1,25 = 75 : \frac{5}{4} = 75 \cdot \frac{4}{5} = \frac{75 \cdot 4}{5} = 15 \cdot 4 = 60$.
Ответ: 60

5. Выполните действие:

а) $4.2 - 8;$

б) $-2.4 + 5.6;$

в) $-2.1 - 3.2;$

г) $1.2 \cdot (-5);$

д) $-8 \cdot 4.5;$

е) $-0.9 \cdot (-0.1);$

ж) $38 : (-0.19);$

з) $-16 : 0.2;$

и) $-6.4 : (-8).$

а) Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед результатом поставить знак «минус».

$4,2 - 8 = -(8 - 4,2) = -3,8$

Ответ: -3,8

б) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из числа с большим модулем вычесть число с меньшим модулем и поставить знак числа с большим модулем. В данном случае это равносильно вычитанию.

$-2,4 + 5,6 = 5,6 - 2,4 = 3,2$

Ответ: 3,2

в) Вычитание положительного числа из отрицательного равносильно сложению двух отрицательных чисел. Складываем их модули и ставим перед результатом знак «минус».

$-2,1 - 3,2 = -(2,1 + 3,2) = -5,3$

Ответ: -5,3

г) При умножении положительного числа на отрицательное, произведение будет отрицательным.

$1,2 \cdot (-5) = -(1,2 \cdot 5) = -6$

Ответ: -6

д) При умножении отрицательного числа на положительное, произведение будет отрицательным.

$-8 \cdot 4,5 = -(8 \cdot 4,5) = -36$

Ответ: -36

е) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

$-0,9 \cdot (-0,1) = 0,9 \cdot 0,1 = 0,09$

Ответ: 0,09

ж) При делении положительного числа на отрицательное, частное будет отрицательным. Чтобы упростить деление, можно умножить делимое и делитель на 100.

$38 : (-0,19) = -(38 : 0,19) = -(3800 : 19) = -200$

Ответ: -200

з) При делении отрицательного числа на положительное, частное будет отрицательным. Чтобы упростить деление, можно умножить делимое и делитель на 10.

$-16 : 0,2 = -(16 : 0,2) = -(160 : 2) = -80$

Ответ: -80

и) Частное от деления двух отрицательных чисел является положительным числом.

$-6,4 : (-8) = 6,4 : 8 = 0,8$

Ответ: 0,8

2. Выполните действия:

а) $481,92 : 12 - 20,16;$

б) $1,08 \cdot 30,5 - 9,72 : 2,4.$

а) В данном выражении $481,92 : 12 - 20,16$ порядок действий следующий: сначала выполняется деление, а затем вычитание.

1. Первое действие – деление:

$481,92 : 12 = 40,16$

2. Второе действие – вычитание:

$40,16 - 20,16 = 20$

Ответ: 20.

б) В выражении $1,08 \cdot 30,5 - 9,72 : 2,4$ сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.

1. Первое действие – умножение:

$1,08 \cdot 30,5 = 32,94$

2. Второе действие – деление. Чтобы избавиться от запятой в делителе, умножим делимое и делитель на 10:

$9,72 : 2,4 = 97,2 : 24 = 4,05$

3. Третье действие – вычитание:

$32,94 - 4,05 = 28,89$

Ответ: 28,89.

6. Вычислите:

а) $6\frac{1}{3} - 8;$

б) $-2\frac{2}{7} + 4\frac{3}{5};$

в) $5\frac{1}{3} - 6\frac{1}{4};$

г) $\frac{3}{8} : \left(-\frac{9}{16}\right);$

д) $\frac{5}{12} \cdot (-6);$

е) $-3\frac{2}{9} \cdot 3;$

ж) $\frac{4}{7} \cdot (-49);$

з) $-16 : \left(-\frac{4}{9}\right);$

и) $-3\frac{1}{2} \cdot \left(-1\frac{3}{7}\right).$

а) $6\frac{1}{3} - 8$
Сначала преобразуем смешанное число $6\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $6\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{19}{3}$.
Затем представим число 8 в виде дроби со знаменателем 3: $8 = \frac{24}{3}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{19}{3} - \frac{24}{3} = \frac{19-24}{3} = -\frac{5}{3}$.
Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:
$-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.
Ответ: $-1\frac{2}{3}$

б) $-2\frac{2}{7} + 4\frac{3}{5}$
Для удобства вычислений поменяем слагаемые местами: $4\frac{3}{5} - 2\frac{2}{7}$.
Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:
$4\frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{23}{5}$
$2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 7 это 35.
$\frac{23}{5} = \frac{23 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{161}{35}$
$\frac{16}{7} = \frac{16 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{80}{35}$
Выполним вычитание:
$\frac{161}{35} - \frac{80}{35} = \frac{161-80}{35} = \frac{81}{35}$.
Преобразуем результат в смешанное число:
$\frac{81}{35} = 2\frac{11}{35}$.
Ответ: $2\frac{11}{35}$

в) $5\frac{1}{3} - 6\frac{1}{4}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{16}{3} = \frac{16 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{64}{12}$
$\frac{25}{4} = \frac{25 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{75}{12}$
Выполним вычитание:
$\frac{64}{12} - \frac{75}{12} = \frac{64-75}{12} = -\frac{11}{12}$.
Ответ: $-\frac{11}{12}$

г) $\frac{3}{8} : (-\frac{9}{16})$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Знак результата будет отрицательным.
$\frac{3}{8} : (-\frac{9}{16}) = -\left(\frac{3}{8} \cdot \frac{16}{9}\right)$.
Выполним умножение, сократив дроби перед вычислением:
$-\frac{3 \cdot 16}{8 \cdot 9} = -\frac{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{16}^2}{\cancel{8}^1 \cdot \cancel{9}^3} = -\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$

д) $\frac{5}{12} \cdot (-6)$
Представим -6 в виде дроби: $-6 = -\frac{6}{1}$.
Выполним умножение. Результат будет отрицательным.
$\frac{5}{12} \cdot (-\frac{6}{1}) = -\frac{5 \cdot 6}{12 \cdot 1} = -\frac{30}{12}$.
Сократим дробь на 6:
$-\frac{30}{12} = -\frac{5}{2}$.
Переведем в смешанное число:
$-\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$.
Ответ: $-2\frac{1}{2}$

е) $-3\frac{2}{9} \cdot 3$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-3\frac{2}{9} = -\frac{3 \cdot 9 + 2}{9} = -\frac{29}{9}$.
Выполним умножение:
$-\frac{29}{9} \cdot 3 = -\frac{29 \cdot 3}{9} = -\frac{29}{\cancel{9}_3} \cdot \cancel{3}^1 = -\frac{29}{3}$.
Преобразуем в смешанное число:
$-\frac{29}{3} = -9\frac{2}{3}$.
Ответ: $-9\frac{2}{3}$

ж) $\frac{4}{7} \cdot (-49)$
Выполним умножение дроби на целое число. Результат будет отрицательным.
$\frac{4}{7} \cdot (-49) = -\frac{4 \cdot 49}{7}$.
Сократим 49 и 7 на 7:
$-\frac{4 \cdot \cancel{49}^7}{\cancel{7}_1} = -4 \cdot 7 = -28$.
Ответ: $-28$

з) $-16 : (-\frac{4}{9})$
Деление двух отрицательных чисел дает положительный результат. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь.
$-16 : (-\frac{4}{9}) = 16 \cdot \frac{9}{4}$.
Выполним умножение:
$\frac{16 \cdot 9}{4} = \frac{\cancel{16}^4 \cdot 9}{\cancel{4}_1} = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: $36$

и) $-3\frac{1}{2} \cdot (-1\frac{3}{7})$
Умножение двух отрицательных чисел дает положительный результат.
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$-3\frac{1}{2} = -\frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{7}{2}$
$-1\frac{3}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = -\frac{10}{7}$
Выполним умножение дробей:
$(-\frac{7}{2}) \cdot (-\frac{10}{7}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{10}{7} = \frac{7 \cdot 10}{2 \cdot 7}$.
Сократим дроби:
$\frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{10}^5}{\cancel{2}_1 \cdot \cancel{7}_1} = 5$.
Ответ: $5$

3. Найдите значение выражения:

а) $3.6 \div 0.08 + 5.2 \cdot 2.5;$

б) $(9.885 - 0.365) \div 1.7 + 4.4.$

а) Для нахождения значения выражения $3,6 : 0,08 + 5,2 \cdot 2,5$ необходимо следовать порядку арифметических действий. Сначала выполняются деление и умножение (слева направо), а затем сложение.
1. Выполним деление: $3,6 : 0,08$. Чтобы упростить вычисление, избавимся от десятичной дроби в делителе, умножив делимое и делитель на 100. Это равносильно перемещению запятой на два знака вправо в обоих числах.
$3,6 : 0,08 = 360 : 8 = 45$
2. Выполним умножение:
$5,2 \cdot 2,5 = 13$
3. Теперь сложим результаты первого и второго действий:
$45 + 13 = 58$
Ответ: 58

б) Для нахождения значения выражения $(9,885 - 0,365) : 1,7 + 4,4$ сначала выполняются действия в скобках, затем деление и в конце сложение.
1. Выполним вычитание в скобках:
$9,885 - 0,365 = 9,52$
2. Выполним деление результата на 1,7. Для удобства умножим делимое и делитель на 10.
$9,52 : 1,7 = 95,2 : 17 = 5,6$
3. К полученному результату прибавим 4,4:
$5,6 + 4,4 = 10$
Ответ: 10

4. Выполните действие:

а) $\frac{5}{6} + \frac{1}{4}$;

б) $\frac{7}{8} - \frac{5}{6}$;

в) $\frac{3}{10} - \frac{4}{15}$;

г) $5 - 3\frac{2}{7}$;

д) $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$;

е) $\frac{5}{8} : \frac{9}{10}$;

ж) $2\frac{6}{7} : 1\frac{3}{7}$;

з) $6\frac{3}{5} \cdot 10$.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 это 12. Дополнительный множитель для первой дроби – 2, для второй – 3.
$\frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{10+3}{12} = \frac{13}{12}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$.
Ответ: $1\frac{1}{12}$

б) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 6 это 24. Дополнительный множитель для первой дроби – 3, для второй – 4.
$\frac{7}{8} - \frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{21}{24} - \frac{20}{24} = \frac{21-20}{24} = \frac{1}{24}$.
Ответ: $\frac{1}{24}$

в) Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 15 это 30. Дополнительный множитель для первой дроби – 3, для второй – 2.
$\frac{3}{10} - \frac{4}{15} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{9}{30} - \frac{8}{30} = \frac{9-8}{30} = \frac{1}{30}$.
Ответ: $\frac{1}{30}$

г) Чтобы вычесть из целого числа смешанное, "займем" единицу у целого числа и представим ее в виде дроби с нужным знаменателем.
$5 - 3\frac{2}{7} = 4\frac{7}{7} - 3\frac{2}{7} = (4-3) + (\frac{7}{7} - \frac{2}{7}) = 1 + \frac{5}{7} = 1\frac{5}{7}$.
Ответ: $1\frac{5}{7}$

д) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Перед умножением можно сократить дроби.
$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8}$.
Сокращаем 4 и 8 на 4, а 3 и 9 на 3:
$\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

е) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).
$\frac{5}{8} : \frac{9}{10} = \frac{5}{8} \cdot \frac{10}{9} = \frac{5 \cdot 10}{8 \cdot 9}$.
Сокращаем 10 и 8 на 2:
$\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 9} = \frac{25}{36}$.
Ответ: $\frac{25}{36}$

ж) Для деления смешанных чисел, сначала преобразуем их в неправильные дроби.
$2\frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{20}{7}$
$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$
Теперь выполним деление:
$\frac{20}{7} : \frac{10}{7} = \frac{20}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{20 \cdot 7}{7 \cdot 10}$.
Сокращаем 7 и 7 на 7, а 20 и 10 на 10:
$\frac{2 \cdot 1}{1 \cdot 1} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: $2$

з) Для умножения смешанного числа на целое, преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$6\frac{3}{5} = \frac{6 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{33}{5}$.
Теперь выполним умножение:
$\frac{33}{5} \cdot 10 = \frac{33}{5} \cdot \frac{10}{1} = \frac{33 \cdot 10}{5 \cdot 1}$.
Сокращаем 10 и 5 на 5:
$\frac{33 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{66}{1} = 66$.
Ответ: $66$