Номер 57, страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сравнение значение выражений. Параграф 1. Выражения. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 57, страница 15.

Условие.

57. Подберите какое-нибудь число, заключённое между числами:

а) 8,6 и 8,7;

б) $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{8}$;

в) -3,6 и -3,7;

г) $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$.

Результат запишите в виде двойного неравенства.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) 8,6 и 8,7;
Чтобы найти число, заключенное между десятичными дробями 8,6 и 8,7, можно увеличить количество знаков после запятой. Представим эти числа как 8,60 и 8,70. Между ними находится любое число от 8,61 до 8,69. В качестве примера можно выбрать среднее арифметическое или любое другое число из этого интервала. Возьмем число 8,65.
Таким образом, мы можем записать двойное неравенство: $8,6 < 8,65 < 8,7$.
Ответ: $8,6 < 8,65 < 8,7$.

б) $ \frac{1}{7} $ и $ \frac{1}{8} $;
Чтобы найти число между двумя обыкновенными дробями, их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 8 равен $7 \times 8 = 56$.
$ \frac{1}{7} = \frac{1 \times 8}{7 \times 8} = \frac{8}{56} $
$ \frac{1}{8} = \frac{1 \times 7}{8 \times 7} = \frac{7}{56} $
Поскольку $ \frac{7}{56} < \frac{8}{56} $, то $ \frac{1}{8} < \frac{1}{7} $. Нам нужно найти число между $ \frac{7}{56} $ и $ \frac{8}{56} $. Для этого можно, например, удвоить знаменатель и числители:
$ \frac{7}{56} = \frac{14}{112} $ и $ \frac{8}{56} = \frac{16}{112} $.
Между дробями $ \frac{14}{112} $ и $ \frac{16}{112} $ находится, например, дробь $ \frac{15}{112} $.
Запишем итоговое двойное неравенство: $ \frac{1}{8} < \frac{15}{112} < \frac{1}{7} $.
Ответ: $ \frac{1}{8} < \frac{15}{112} < \frac{1}{7} $.

в) -3,6 и -3,7;
При сравнении отрицательных чисел, меньшим является то, чей модуль больше. Следовательно, $-3,7 < -3,6$.
Чтобы найти число между ними, представим их как -3,70 и -3,60. Любое число из интервала от -3,69 до -3,61 будет являться решением. Возьмем, к примеру, число -3,65.
Запишем двойное неравенство: $-3,7 < -3,65 < -3,6$.
Ответ: $-3,7 < -3,65 < -3,6$.

г) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{5}{6} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 - это 12.
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12} $
Поскольку $ \frac{9}{12} < \frac{10}{12} $, то $ \frac{3}{4} < \frac{5}{6} $. Нам нужно найти число между $ \frac{9}{12} $ и $ \frac{10}{12} $. Удвоим знаменатель и числители:
$ \frac{9}{12} = \frac{18}{24} $ и $ \frac{10}{12} = \frac{20}{24} $.
Между $ \frac{18}{24} $ и $ \frac{20}{24} $ находится дробь $ \frac{19}{24} $.
Запишем итоговое двойное неравенство: $ \frac{3}{4} < \frac{19}{24} < \frac{5}{6} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} < \frac{19}{24} < \frac{5}{6} $.